第10章 第4节 随机事件与概率(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　随机事件与概率 [课标要求]　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互 不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为 对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 4．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝． 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 【常用结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　×　) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　√　) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　×　) 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(　　) A．C＝A∩B　　　　B．C＝A∪B C．C⊆A D．C⊆B 答案　D 解析　记事件D＝{1枚硬币正面朝上}，E＝{2枚硬币正面朝上}，F＝{3枚硬币正面朝上}，则A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E， 显然C≠A∩B，C≠A∪B，C⊆B，C不含于A.故选D. 3．下列试验是古典概型的是(　　) A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 答案　C 解析　对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误； 对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误； 对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误．故选C. 4．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为_____． 答案　 解析　由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件的总数为N＝5×5＝25个， 则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为： (1，1)，(2，2)，(2，1)，(3，3)，(3，2)，(3，1)，(4，4)，(4，3)，(3，2)，(4，1)，(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，共有15个， 所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为P＝＝. 题型一　随机事件的关系 命题点1　随机事件的间关系的判断 [例1]　掷一枚骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数；B：落地时向上的点数是3的倍数；C：落地时向上的点数是2；D：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是(　　) A．A和B有可能同时发生 B．A和D是对立事件 C．B和C是对立事件 D．A和C是互斥事件 答案　C 解析　依题意，事件A＝{1，3，5}，B＝{3，6}，C＝{2}，D＝{2，4，6}， 对于A，事件A和B有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件A和D不能同时发生，但必有一个发生，则A和D是对立事件，B正确； 对于C，事件B和C不能同时发生，但可以同时不发生，则B和C不是对立事件，C错误； 对于D，事件A和C不能同时发生，它们是互斥事件，D正确．故选C. 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 [例2]　某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解　(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 故1张奖券中奖的概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 命题点3　用频率估计概率 [例3]　(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示： 总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数 1 000 550 260 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(　　) A．P(M)＝0.55　　　　B．P(N)＝0.26 C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65 答案　ABC 解析　用频率估计概率得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确； P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误． 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．　 　[即时训练] (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立的两个事件的是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 答案　B 解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”也可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． (2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是________． 答案　0.034 解析　由题意可知，恰好抽到不合格产品的概率为P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034. 题型二　古典概型 [例4]　(1)从1，2，3，4，5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　从1，2，3，4，5中任选3个不同数字组成一个三位数，有A＝5×4×3＝60(种)可能； 要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除， 所以数字为1，2，3时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为1，3，5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为2，3，4时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为3，4，5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能，共24种可能． 所以该三位数能被3整除的概率为＝. (2)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自主选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A＝24(种)选法， 其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有CA＝4(种)选法，按学校规定每人只能加入一个社团，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率P＝＝. 利用公式法求解古典概型问题的步骤 　 　[即时训练] (1)(2025·济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　从正六边形的6个顶点中任取3个，有C＝20(个)三角形， 其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(个)， 所以所求概率为＝. (2)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 答案　 解析　从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝＝. 题型三　概率的综合问题 [例5]　某省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某大学医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率． 解　(1)用a，b分别表示事件“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示事件“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12个样本点， 设M＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”，则M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5个样本点， ∴P(M)＝＝. (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”的事件分别是N1，N2，N3，由题意知事件N1，N2，N3相互独立． 由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝. 记N＝“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”， 则N＝N1N23∪N12N3∪1N2N3， 则P(N)＝P(N1N23)＋P(N12N3)＋ P(1N2N3)＝×××3＝. 求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算．　 　[即时训练] 甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人命中目标与否互不影响．已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为． (1)求甲没有命中目标的概率； (2)在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率． 解　(1)记“甲命中目标”为事件A，则P(A)＝， 所以甲没有命中目标的概率P()＝1－P(A)＝. (2)记“乙命中目标”为事件B，则P(B)＝，P()＝， 两次射击中，恰好有一人命中目标的事件为A∪B， 由题意知事件A，B相互独立， 所以所求概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$