第10章 第3节 二项式定理(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　二项式定理 [课标要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 二项式 定理 (a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开 式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第 k＋1项 二项式 系数 C(k＝0，1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值： ①当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小． ②当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n． 【常用结论】 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1. 2．C＝C＋C. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　) (2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　) (3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　) (4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(　×　) 2．在二项式6的展开式中，二项式系数最大的是(　　) A．第3项　　　　　　B．第4项 C．第5项 D．第3项和第4项 答案　B 解析　二项式6的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项．故选B. 3．已知n∈N*，n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　) A．81 B．64 C．27 D．32 答案　D 解析　a1＝C·2＝2n，a2＝C·22＝4C， ∴4×2n＋4C＝80，解得n＝5， ∴该展开式各项的二项式系数和为25＝32.故选D.　 4．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为__________． 答案　15 解析　因为n展开式的二项式系数之和为64， 所以2n＝64，所以n＝6， 所以二项式为6， 所以第k＋1项展开式为Tk＋1＝C6-kk＝Cx12-3k， 若求常数项，则令12－3k＝0，所以k＝4， 所以T5＝C＝15，即常数项为15. 题型一　通项公式的应用 命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式 [例1]　(1)(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________． 答案　20 解析　因为6的展开式的通项为Tr＋1＝C6-rr＝36-2rCx6，r＝0，1，…，6，令6＝0，可得r＝3， 所以常数项为30C＝20. (2)(2025·山西临汾模拟)6的展开式中含x2的项的系数是________．(用数字作答) 答案　240 解析　因为6的展开通项公式为 Tr＋1＝C6-rr＝r·26-rCx4r-6， 令4r－6＝2，得r＝2， 所以其中含x2的项的系数为2·24C＝16×15＝240. 命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 [例2]　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56　　　　　　　　B．84 C．112 D．168 答案　D 解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. (2)(2025·宜春模拟)(1－x)7的展开式中x2的系数为(　　) A．－7 B．7 C．77 D．－77 答案　B 解析　7的展开式通项为Tr＋1＝C·r＝rC·xr， 故7的展开式中x2的系数为2×2C＋3C＝7.故选B. 破解三项展开式问题 求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法： (1)两项看成一项，利用二项式定理展开． (2)因式分解，转化为两个二项式再求解． (3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答． 典例　(2025·安徽联考)8展开式中，x3y2z3项的系数为________． 答案　－2240 解析　8＝8，∵z的指数是3，∴得到C53， ∵y的指数是2，得到Cx32，∴x3y2z3项的系数为C3C22＝－2240.　 (1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．　 　[即时训练] (1)(2025·重庆模拟)5的展开式中x3y3项的系数为______． 答案　－160 解析　5的展开式中，构成x3y3项只能是一个x2、一个、3个相乘， 故此项为Cx2·C·C(2y)3＝－160x3y3. (2)若(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝________． 答案　－2 解析　由(1＋x)4的展开式通项为Tk＋1＝Cxk， 所以含x3的项为Cx3＋(－ax2)Cx＝(C－aC)x3， 故C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2. 题型二　二项式系数与项的系数的问题 命题点1　二项式系数和与系数和 [例3]　(1)(多选)已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 答案　AD 解析　由题意得＝， 则＝，解得n＝4，故A正确； 所以n+1＝，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误； 所以的二项式系数和为29，故C错误； 的通项公式为Tk＋1＝Ck·(－2x)k＝C(－2)kx2k-9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝∉N，所以不存在常数项，故D正确． (2)设(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. ①求a0； ②求(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2； ③求二项式系数的和． 解　①令x＝0，得a0＝210＝1 024. ②令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－)10，(ⅰ) 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋)10.(ⅱ) 结合(ⅰ)(ⅱ)可得 (a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10) ＝(2－)10×(2＋)10＝1. ③二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1 024. 延伸探究 若题目条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值． 解　由(2－x)10的展开式的通项公式及题意可得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10， 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋)10. 命题点2　系数与二项式系数的最值 [例4]　已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　) A．二项展开式中各项系数之和为37 B．二项展开式中二项式系数最大的项为90x C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为240x3 答案　D 解析　因为的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以2n＝64，则n＝6， 所以二项式为， 则二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6-k＝C26-kx6-k. 令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误； 第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝C26-3·x6-×3＝160x，故B错误； 令6－k＝0，则k＝4， 所以二项展开式中的常数项为C26-4x6-×4＝60，故C错误； 令第k＋1项的系数最大，则 解得≤k≤， 因为k∈N，所以k＝2. 所以二项展开式中系数最大的项为T3＝C24x3＝240x3，故D正确． (1)赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]. (2)二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k.　 　[即时训练] (1)(2025·广西模拟)已知二项式n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n＝________． 答案　6 解析　因为二项式n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以n为偶数且＝3，可得n＝6. (2)(多选)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则(　　) A．a0＝22 025 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D．＋＋＋…＋＝22 025－1 答案　BD 解析　对于A，当x＝0时，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A错误； 对于B，C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1， 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025， 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝， a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，所以B正确，C错误； 对于D，当x＝时，＝a0＋＋＋…＋， 所以＋＋＋…＋＝(－1)2 025－a0＝22 025－1，D正确． 题型三　二项式定理的综合应用 [例5]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　B 解析　因为a∈Z，且0≤a≤13， 所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a ＝C·522 025－C·522 024＋C·522 023－…＋C·52－C＋a， 因为512 025＋a能被13整除， 所以－C＋a＝－1＋a能被13整除， 又0≤a≤13， 所以a＝1. (2)(2025·南昌一模)二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋…＋·xk＋…，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：(1＋x)α≈1＋α·x，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：＝＝＝2≈2×＝2.25，用这样的方法，估计 的近似值约为(　　) A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930 答案　C 解析　＝＝＝3×＝3×≈3×≈2.926.故选C. 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.　　 　[即时训练] (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n-1＋C·11n-2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　) A．－3 B．2 C．10 D．11 答案　C 解析　11n＋C·11n-1＋C·11n-2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n-1＋C·11n-2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2 ＝12n－2＝(13－1)n－2 ＝C·13n－C·13n-1＋…＋(－1)n-1·C·13＋(－1)n·C－2， 因为n为奇数，则上式＝ C·13n－C·13n-1＋…＋(－1)n-1·C·13－3＝[C·13n－C·13n-1＋…＋(－1)n-1·C·13－13]＋10， 所以11n＋C·11n-1＋C·11n-2＋…＋C·11－1除以13的余数是10. (2)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的结果，精确到0.01的近似值为(　　) A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 答案　A 解析　原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022＋…＋C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$