第10章 第2节 排列、组合(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　排列、组合 [课标要求]　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题． 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n). (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝1；A＝n！． (2)C＝1；C＝C；C＝C＋C 【常用结论】 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　) (3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　) (4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m).(　×　) 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．3×4×5＝A B．C＋C＝C C．若C＝C，则x＝3 D．C＋C＋C＋C＝64 答案　AD 解析　3×4×5＝A，故A正确； C＋C＝2C＝2×＝20，C＝＝15，故C＋C≠C，故B错误； 若C＝C，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2 或x＝4，故C错误； C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝1＋＋＋7＝64，故D正确． 3．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训(每个项目都有志愿者参加)，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有(　　) A．12种　　　　　　　　B．24种 C．18种 D．48种 答案　C 解析　由题意，4名志愿者任意分配共有A＝24种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有A＝6种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有24－6＝18种．故选C. 4．已知C＝C＋C，则n＝(　　) A．14 B．15 C．13 D．12 答案　A 解析　由组合数性质知，C＋C＝C， 所以C＝C， 所以7＋8＝n＋1，得n＝14.故选A. 题型一　排列问题 [例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)男生顺序已定，女生顺序不定． 解　(1)从7人中选5人排列，排法有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种排法，余下4人站后排，有A种排法， 故排法共有AA＝5 040(种). (3)法一：(特殊元素优先法) 先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，故排法共有5×A＝3 600(种). 法二：(特殊位置优先法) 首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，故排法共有AA＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种排法，再将女生全排列，有A种排法，故排法共有AA＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种排法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种排法，故排法共有AA＝1 440(种). (6)(定序问题)7名学生站成一排，有A种排法，其中3名男生的排法有A种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有＝840(种). 　[思维升华] 求解排列问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 　[即时训练] (多选)(2025·齐齐哈尔模拟)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是(　　) A．AA　　　　　　　B．A－2A C．84 D．A 答案　AB 解析　先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共A＝3×2×1＝6种不同的排法， 再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共A＝12种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，不同的排法种数是AA＝6×12＝72； 5人并排站成一行有A＝5×4×3×2×1＝120种不同的排法， 若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有2A＝2×4×3×2×1＝48种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是A－2A＝72.故选AB. 题型二　组合问题 [例2]　从含有A，B的7名男生、5名女生中选取5名，分别求符合下列条件的不同选法种数． (1)A，B必须当选； (2)至少有2名女生当选； (3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任． 解　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可， 所以有C＝120(种)选法． (2)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”， 故可用间接法进行选取， 所以有C－CC－C＝596(种)选法． (3)分三步进行， 第一步：选1名男生、1名女生分别担任体育委员和班长两个职务有CC种选法； 第二步：选2名男生、1名女生补足5人有CC种选法； 第三步：为这3人安排职务有A种选法． 由分步乘法计数原理， 得共有CCCCA＝12 600(种)选法． 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法；分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．　 　[即时训练] (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　) A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 答案　CD 解析　如果4人全部为男生，选法有C＝15(种)，故A错误； 如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C＝15(种)，女生的选法有C＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，故B错误； 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C＝28(种)选法，故C正确； 在10人中任选4人，有C＝210(种)选法，甲、乙都不在其中的选法有C＝70(种)， 故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确． (2)某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________． 答案　96 解析　由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程， 则有：C＝6种情况． 剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：C＝4种情况， ②2名同学各选择1个学科竞赛则有CC＝12种情况， 所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：6×＝96种情况． 题型三　排列组合的综合问题 命题点1　不等分问题 [例3]　6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 答案　C 解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有CCC＝60(种)不同的安排方法． 命题点2　整体均分问题 [例4]　(2025·徐州模拟)六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则有×A＝90(种)分配方法， 甲、乙被分配到同一所学校有×A＝18(种)分配方法，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为＝. 命题点3　部分均分问题 [例5]　(2025·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答). 答案　54 解析　由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门， 则四门学科可按2，1，1和2，2，0两种情况分成三组， 若按2，1，1分成三组，有C＝6(种)分组方法， 若按2，2，0分成三组，有＝3(种)分组方法， 所以每位学生共有(6＋3)A＝54(种)不同的选修方式． 对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！.　 　[即时训练] (1)(2025·石家庄模拟)为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为(　　) A．96 B．120 C．144 D．240 答案　D 解析　由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学， 由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练， 则分4组有C种方法，再将4组人分配到4所学校有A种方法， 则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为CA＝10×24＝240. (2)(2025·锦州模拟)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即算筹)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了之算、成数算、把头算、龟算、珠算、和计数．某学习小组有甲、乙、丙3人，该小组要收集九宫算、运筹算、了之算、成数算、把头算、珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为(　　) A．240 B．300 C．420 D．540 答案　D 解析　将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有A＋CCCA＋A＝90＋360＋90＝540.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$