第10章 第1节 计数原理(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

　　　　　第十章　计数原理、概率、随机变量 及其公布　　　　　　 　 第一节　计数原理 [课标要求]　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 　两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(　×　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　√　) (3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　) (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　√　) 2．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16　　　　　　　　　B．13 C．12 D．10 答案　C 解析　将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种). 3．由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行性极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有(　　) A．10条 B．8条 C．6条 D．4条 答案　C 解析　由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步； 其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有C种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有C种走法． 所以所求路线共有CC＝6(条). 4．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1，2，3层各取1本书，不同的取法种数为________． 答案　15　120 解析　由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为4＋5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1，2，3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120. 金榜题名　创新高考总复习　数学(这是双页眉，请据需要手工删加) 第十章　计数原理、概率、随机变量及其公布(这是单页眉，请据需要手工删加) 题型一　分类加法计数原理 [例1]　(1)(2025·齐齐哈尔模拟)完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有(　　) A．6种　　　　　　　　B．10种 C．4种 D．60种 答案　B 解析　根据分类加法计数原理，6＋4＝10.故选B. (2)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为(　　) A．10 B．12 C．20 D．35 答案　A 解析　因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：当m＝5时，n有4种选择；第二类：当m＝4时，n有3种选择；第三类：当m＝3时，n有2种选择；第四类：当m＝2时，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个． 延伸探究 在本例(2)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？ 解　因为m>n， 当m＝k时，n＝1，2，…，k－1. 当m＝k－1时，n＝1，2，…，k－2. … 当m＝3时，n＝1，2. 当m＝2时，n＝1. 所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝(个)椭圆． 使用分类加法计数原理的两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．　 　[即时训练] (1)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有________种不同的选法． 答案　24 解析　第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法； 第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法； 第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法； 由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24种不同的选法． (2)设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个． 答案　9 解析　对子集A分类讨论： 当A＝{1，2}时，B可以为{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4种情况； 当A＝{1，2，3}时，B可以为{1，2，4}，{1，2}，共2种情况； 当A＝{1，2，4}时，B可以为{1，2，3}，{1，2}，共2种情况； 当A＝{1，2，3，4}时，B可以为{1，2}，有1种情况． 根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个． 题型二　分步乘法计数原理 [例2]　(1)一次时装表演中，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有________种不同的选法． 答案　672 解析　模特完成穿戴需要分三步：第一步，选择帽子，共有7种选择；第二步，选择上衣，共有12种选择；第三步，选择裤子，共有8种选择，根据分步乘法计数原理知，共有7×12×8＝672(种)不同的选法． (2)(多选)年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　) A．所有可能的方法有35种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 答案　BC 解析　对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5＝53(种)选择方案，A错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，B正确； 对于选项C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，C正确； 对于选项D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，D错误． 利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．　 　[即时训练] (1)(2025·江西师大附中模拟)用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为(　　) A．16 B．24 C．36 D．48 答案　B 解析　先从4个数中选1个排在百位，有4种； 然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种； 最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种； 根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.故选B. (2)某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为(　　) A．1200 B．600 C．300 D．26 答案　A 解析　分四步： 第一步，选O型血的人有10种选法； 第二步，选A型血的人有5种选法； 第三步，选B型血的人有8种选法； 第四步，选AB型血的人有3种选法． 故共有10×5×8×3＝1200种． 题型三　两个计数原理的综合应用 命题点1　涂色、种植问题 [例3]　某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．(用数字作答) 答案　180 解析　先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法， 再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法， 所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种). 命题点2　与几何有关的问题 [例4]　如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A．60 B．48 C．36 D．24 答案　B 解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48. 命题点3　排数与排队问题 [例5]　用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 答案　B 解析　①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；②当万位数字为5，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)；③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝24(个)；④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；⑤当万位数字为4，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个).由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个). 完成一件事的方法种数的计算步骤 (1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的． (2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种． (3)弄清在每一类或每一步中的方法种数． (4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．　 　[即时训练] (1)现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有(　　) A.48种 B．64种 C．96种 D．144种 答案　C 解析　根据题意，假设正五角星的区域为A，B，C，D，E，F，如图所示， 先对A区域涂色，有3种方法，再对B，C，D，E，F这5个区域进行涂色， ∵B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，∴每个区域都有2种涂色方法， ∴共有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方法．故选C. (2)(2025·乐清模拟)一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为________． 答案　8 解析　如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个； 如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个， 所以在这7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为6＋2＝8. (3)用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数(用数字作答). 答案　8 解析　当个位数字为0时，有6×5×4＝120(个)无重复数字的四位偶数；当个位数字为2，4，6中的一个时，千位数字不能为0，有3×5×5×4＝300(个)无重复数字的四位偶数．根据分类加法计数原理知，共有120＋300＝420(个)无重复数字的四位偶数． 学科网（北京）股份有限公司 $$