第9章 第4节 列联表与独立性检验(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　列联表与独立性检验 [课标要求]　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用． 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示． 2．列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y Y＝0 Y＝1 合计 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 如表为5个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(　√　) (2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　×　) (3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(　√　) (4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(　×　) 2．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　　) A．均值　　　　　 　B．方差 C．独立性检验 D．回归分析 答案　C 解析　由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 3．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　) 　　 　 答案　D 解析　观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．故选D. 4．某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得χ2＝8.133.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有________把握喜欢篮球与性别有关(　　) α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 A.95% B．99.5% C．99% D．99.9% 答案　B 解析　∵χ2＝8.133∈， ∴有99.5%把握认为与性别有关．故选B. 题型一　列联表与χ2的计算 [例1]　有甲、乙两个班级进行数学考试，按照成绩大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到2×2列联表如下： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 答案　D 解析　依题意＝，解得c＝20， 由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45， 所以A，B，C错误． 补全2×2列联表如表所示： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 甲班的优秀率为＝， 乙班的优秀率为＝，<， 所以成绩与班级有关．所以D正确． 2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．　 　[即时训练] (2025·苏州模拟)为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.11人　　　　　　　B．12人 C．13人 D．14人 答案　B 解析　设男性人数为k，依题意，得2×2列联表如下： 喜爱足球 不喜爱足球 合计 男性 k 女性 2k 合计 3k 依据列联表中数据计算得到χ2＝＝， 因为本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论， 于是χ2≥7.879＝x0.005，即≥7.879， 解得k≥11.818 5，而k是6的正整数倍，因此kmin＝12. 题型二　列联表与独立性检验 [例2]　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：K2＝ P 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得K2＝＝＝4.6875， 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.568， 可知>p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式χ2＝计算． (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.　 　[即时训练] 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表： 性别 锻炼 不经常 经常 合计 女生 5 10 15 男生 5 20 25 合计 10 30 40 (1)根据上表数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？ (2)如果将表中的数据都扩大为原来的n倍，在相同的检验标准下，得到与(1)中不一样的结论． (ⅰ)求n的最小值； (ⅱ)如果抽样方式不变，你认为(1)和(2)的结论哪个更可靠，并说明理由． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)H0：学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系． χ2＝＝<6.635， 根据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系． (2)(ⅰ)当表中的数据都扩大为原来的n倍时，χ2＝. 根据α＝0.01的独立性检验，若推断H0不成立，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生体育锻炼的经常性与学生性别有关系． 则有：>6.635，解得n>7.46，又n∈N*，故n的最小值为8. (ⅱ)在抽样方式不变的情况下，(2)中的结论更可靠． 这是因为对于随机样本而言，频率具有随机性，我们的推断可能犯错误，样本容量越小，犯错误的可能性会越大，因此在抽样方式不变的前提下，样本容量大的结果更可靠． 题型三　独立性检验的综合应用 [例3]　(2025·开封模拟)某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有50人．下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间(单位：分钟)的频率分布直方图．将日均校内体育锻炼时间在[60，80]内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生． (1)若该校共有1 000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数； (2)根据样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“锻炼时间达标”与性别有关？ 锻炼时间达标 锻炼时间未达标 合计 男 女 合计 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解　(1)由频率分布直方图得“锻炼时间达标”的学生的概率估计为(0.010＋0.005)×10＝0.15， 所以该校“锻炼时间达标”的学生人数估计为1 000×0.15＝150. (2)样本数据中“锻炼时间达标”的学生有100×0.15＝15(人)，其中女生有5人，男生有10人， “锻炼时间未达标”的女生有50－5＝45(人)， 男生有50－10＝40(人)， 所以2×2列联表为 锻炼时间达标 锻炼时间未达标 合计 男 10 40 50 女 5 45 50 合计 15 85 100 零假设为H0：“锻炼时间达标”与性别无关． χ2＝≈1.961<2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为“锻炼时间达标”与性别无关． 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．　 　[即时训练] (2025·焦作模拟)近年来，直播带货逐渐兴起，成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了两个直播间一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的表格： 下单的观众数 未下单的观众数 甲直播间 120 80 乙直播间 60 80 (1)分别估计甲、乙直播间的观众下单的概率； (2)是否有99%的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据表格中的数据得，估计甲直播间观众下单的概率为＝， 估计乙直播间观众下单的概率为＝. (2)根据题意，得到2×2的列联表： 下单的观众数 未下单的观众数 合计 甲直播间 120 80 200 乙直播间 60 80 140 合计 180 160 340 可得χ2＝＝≈9.714， 因为9.714>6.635，所以有99%的把握认为两个直播间观众的下单意愿有差异． 学科网（北京）股份有限公司 $$