第9章 第3节 一元线性回归模型及其应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　一元线性回归模型及其应用 [课标要求]　1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数： r＝ (1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (2)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中 (2)残差：观测值减去预测值称为残差． 【常用结论】 1．经验回归直线过点(，). 2．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系．(　√　) (2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　√　) (3)经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　×　) (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　√　) 2．已知x，y取表中的数值，若x，y具有线性相关关系，线性回归方程为＝0.95x＋2.6，则a＝(　　) x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7 A.2.2　　　　　 　 　B．2.4 C．2.5 D．2.6 答案　A 解析　由题意可知：＝＝2，＝＝， 所以样本中心为， 代入回归方程有：＝0.95×2＋2.6，解得a＝2.2.故选A. 3．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出决定系数R2，则线性相关程度最高的是(　　) 甲 乙 丙 丁 R2 0.87 0.91 0.58 0.83 A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　B 解析　R2越接近于1，两个变量的线性相关程度越高． 0．91>0.87>0.83>0.58，则线性相关程度最高的是乙． 4．某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量 y/万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为＝0.24x＋.则＝________． 答案　4.68 解析　根据表格可知， ＝＝3， ＝＝5.4， 代入＝0.24x＋，可得＝4.68. 题型一　成对数据的相关性 [例1]　(1)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，则下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5 答案　C 解析　根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B错误，C正确； 由于r＝0.824 5是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.824 5，故D错误． (2)(多选)(2025·湛江模拟)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 /cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182 体重 /kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80 由表中数据制作成如图所示的散点图， 由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，样本相关系数为r1，决定系数为R；经过残差分析确定(168，89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，样本相关系数为r2，决定系数为R．则以下结论中正确的有(　　) A．1>2　　　　　　B．1>2 C．r1<r2 D．R>R 答案　AC 解析　身高的平均数为(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182)＝173.5， 因为离群点(168，89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大， 所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大， 所以1>2，1<2，所以A正确，B错误； 去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好， 所以r1<r2，R<R，所以C正确，D错误． 判定两个变量相关性的方法 (1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关． (2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强． (3)经验回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．　 　[即时训练] (1)(2024·天津高考)下列图中，线性相关性系数最大的是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A. (2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln (k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为(　　) A．r1>r2 B．r1＝r2 C．r1<r2 D．不确定 答案　C 解析　由散点图可知，用y＝b1ln (k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|， 又因为x，y负相关，所以－r1>－r2，即r1<r2. 题型二　回归模型 命题点1　一元线性回归模型 [例2]　(2025·青岛模拟)现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流 成本x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差i ＝yi－i 0.2 0.6 1.8 －3 －1 －4.6 －1 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为＝3.2x－151.8. (1)求m的值，并利用已知的线性回归方程求出8月份对应的残差值8； (2)请先求出线性回归模型＝3.2x－151.8的决定系数R2(精确到0.0001)；若根据非线性模型y＝267.76ln x－1069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)决定系数R＝0.9057，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？ (3)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程． 附1(修正前的参考数据)： iyi＝78 880，＝56 528，＝84， 2＝904. 附2：R2＝1－. 附3：＝＝，＝－. 解　(1)因为＝3.2x－151.8，＝84，所以＝3.2×84－151.8＝117. 由114＋116＋106＋122＋132＋114＋m＋132＝117×8，解得m＝100， 所以8月份对应的残差值8＝132－3.2×86.5＋151.8＝7. (2)由已知公式得2＝0.22＋0.62＋1.82＋2＋2＋2＋2＋72＝84.8， R2＝1－＝1－≈0.9062>R， 所以线性回归模型＝3.2x－151.8拟合程度更好． (3)由(1)可知，第八组数据的利润应为116(万元)， 此时iyi＝78880－86.5×16＝77496，又＝56528，＝84，＝117－＝115， 所以＝＝＝2.7，所以＝115－2.7×84＝－111.8， 所以重新采集数据后，线性回归方程为＝2.7x－111.8 命题点2　非线性回归模型 [例3]　汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损．某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型y＝c1ec2x，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①c2＝－0.18；②＝10，令u＝ln y，＝0.35，则经验回归方程应为________． 答案　y＝e2.15-0.18x 解析　因为回归模型为y＝c1ec2x， 且c2＝－0.18，则y＝c1e-0.18x， 两边同时取对数，可得ln y＝ln (c1e-0.18x) ＝ln c1－0.18x， 令u＝ln y，此时u＝ln c1－0.18x， 又因为＝10，＝0.35， 所以ln c1＝0.35＋0.18×10＝2.15，即c1＝e2.15， 所以y＝e2.15·e-0.18x＝e2.15-0.18x. 求经验回归方程的步骤 (1)计算出，，iyi或(xi－)(yi－)，的值； (2)利用分式算出，； (3)写出经验回归方程＝x＋.　 　[即时训练] (2025·贵阳模拟)为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断y＝bx＋a(a，b为常数)与y＝c1ec2x(c1，c2为常数，且c1>0，c2≠0)哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)对于非线性回归方程y＝c1ec2x(c1，c2为常数，且c1>0，c2≠0)，令z＝ln y，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． 2 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09 ①证明：“对于非线性回归方程y＝c1ec2x，令z＝ln y，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系(即z＝βx＋α，β，α为常数)”； ②根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数保留2位小数). 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解　(1)作出散点图如图所示． 由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围， 故选择y＝c1ec2x为回归方程较适宜． (2)①由已知，z＝ln y，则z＝ln y＝ln ＝ln c1＋ln ec2x＝ln c1＋c2x， 则α＝ln c1，β＝c2，即z＝βx＋α.所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系． ②由①知繁殖个数的对数z关于天数x可以用线性回归方程来拟合． 由表中数据可得＝＝≈0.69， ＝－＝3.53－0.69×3.5≈1.12， 则z关于x的线性回归方程为＝0.69x＋1.12. 又z＝ln y， 因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性回归方程为＝e0.69x+1.12. 题型三　残差分析 [例4]　今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济，带动消费复苏、市场回暖．“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长．因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x(单位：人)与年收益增量y(单位：万元)的数据如表： 服务人员增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 据此，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的经验回归方程为＝4.1x＋11.8； 模型②：由散点图(如图)的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线＝＋的附近． 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值：＝2.5，＝38.9，iyi＝761.75，＝47.55，其中ti＝，＝i. (1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程(精确到0.1)； (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 ＝4.1x＋11.8 ＝＋ (yi－i)2 182.4 79.2 附：样本(ti，yi)(i＝1，2，…，n)的最小二乘估计公式为＝＝，＝－；刻画样本回归效果的决定系数R2＝1－. 解　(1)令t＝，则＝t＋.由参考数据得 ＝＝＝≈21.3，＝－≈38.9－21.3×2.5≈－14.4， 所以模型②中y关于x的经验回归方程为 ＝21.3－14.4. (2)由表格中的数据，有182.4>79.2， 模型①的R2小于模型②，说明回归模型②的拟合效果更好； 当x＝25时，模型②的年收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元). 所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元． 检验回归模型的拟合效果的两种方法 (1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·滨州模拟)下列说法正确的是(　　) A．在经验回归方程＝－0.3x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B．在回归分析中，残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越差 C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D．在一元线性回归模型分析中，决定系数R2用来刻画模型的拟合效果，若R2的值越小，则模型的拟合效果越好 答案　AC 解析　在经验回归方程＝－0.3x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位，故A正确； 在回归分析中，残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越好，故B错误； 残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 在一元线性回归模型分析中，若R2的值越小，则模型的拟合效果越差，故D错误． (2)(多选)(2025·长沙模拟)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e-0.163x，决定系数为 R＝0.99，则下列说法正确的是(　　) A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0 kPa C．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好 答案　ACD 解析　由题图知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 当x＝11时，1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由题图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确； 随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$