第9章 第2节 用样本估计总体(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　用样本估计总体 [课标要求]　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3．方差和标准差 (1)方差：一组数据x1，x2，x3，…，xn用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差：s2＝(xi－)2.　 (2)标准差：s＝. 4．总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2. 【常用结论】 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　) (2)方差与标准差具有相同的单位．(　×　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　) (4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．(　√　) 2．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为(　　) A．8.4　　 　 　　　B．8.5 C．8.6 D．8.7 答案　B 解析　依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数， 所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为＝8.5.故选B. 3．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a，b可以分别大致反映这组数据的(　　) A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数 答案　A 解析　由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD， 由中位数和平均数的分布规律得(直方图在左边拖尾)， 故在这个频率分布直方图内a是平均数，b是中位数，故A正确，C错误．故选A. 4．甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是_______． 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 答案　丙 解析　由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选． 题型一　样本的数字特征的估计 [例1]　(1)(多选)(2025·湖南长沙一中模拟)树人中学为了解年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．a＝0.15 B．这200名学生每天体育活动时间的众数是55 C．这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60 D．这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟 答案　BCD 解析　由频率之和为1得：10×(0.01＋0.02＋0.03＋2a＋0.01)＝1，解得a＝0.015，故A错误； 由频率分布直方图可估计200名学生每天体育活动时间的众数是55，故B正确； 由10×0.01＝0.1<0.5，10×0.01＋10×0.02＝0.3<0.5，10×0.01＋10×0.02＋10×0.03＝0.6>0.5，故中位数位于[50，60)内，故C正确， 由于10×0.01＋10×0.02＝0.3，故200名学生中每天体育活动时间低于50分钟的人数约为200×0.3＝60人，故D正确．故选BCD. (2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 答案　BD 解析　取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9， 则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确； 根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确； 根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确． 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·河南模拟)某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%(含20%)的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则下列说法正确的是(　　) A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80 C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分 答案　BD 解析　对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有3200×45%＝1440人， 00后的考生有3200×40%＝1280人，可得1440－1280＝160人，所以A不正确； 对于B中，由频率分布直方图性质，可得(0.01＋0.02＋a＋a＋0.01)×10＝1， 解得a＝0.03，则前三个矩形的面积和(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，所以笔试成绩的60%分位数为80分，所以B正确； 对于C中，设面试成绩的最低分为x，由前三个矩形的面积和为0.6，第四个矩形的面积为0.3，则80＋×10＝86.6≈87分，所以C不正确； 对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为： ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.3＋95×0.1＝76分，所以D正确．故选BD. (2)(2025·河南南阳中学模拟)①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是________． 答案　①③ 解析　对于①，男生应抽取10×＝6人，故①正确； 对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率均为0.5，故②错误； 对于③，这组数据从小到大排列依次为：1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，因为10×75%＝7.5，所以75%分位数为4，故③正确． 题型二　总体集中趋势的估计 [例2]　2024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革的省份进入新高考.2024年10月，进入新高考的七个省份相继公布了高考选考科目的试卷结构．某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)； (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． 解　(1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003. 所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%. (2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66， 得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94， 所以第80百分位数位于[110，130)内， 由110＋20×＝120，估计第80百分位数为120. (3)由图可得，众数的估计值为100. 平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6. 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．　 　[即时训练] 某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数； (2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数． 解　(1)由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1， 解得a＝0.3； 月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000. (2)由图可估计众数为2.25； 设中位数为x， 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5， 由0.50(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04， 故居民月均用水量的中位数为2.04. 题型三　总体离散程度的估计 [例3]　(2025·黑龙江鸡西模拟)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10 个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？ 解　(1)记甲厂提供的10个轮胎宽度的平均值为1，乙厂提供的10个轮胎宽度的平均值为2， 1＝(195×2＋194×2＋196×2＋193×2＋197×2)＝195，2＝(195×4＋194＋196＋193×2＋192×2)＝194. (2)甲厂10个轮胎宽度在内的数据为195，194，196，194，196，195， 则平均数为＝195， 所以方差s＝×[02＋2＋12＋2＋12＋02]＝； 乙厂10个轮胎宽度在内的数据为195，196，195，194，195，195， 则平均数为＝195， 所以方差s＝×[02＋12＋02＋2＋02＋02]＝. 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小， 所有乙厂的轮胎相对更好． 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.　 　[即时训练] (2025·江门模拟)某果园试种了 A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为s和s.　 A(单位/kg) 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B(单位/kg) 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数； (2)求，，s，s； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 解　(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90， 这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60， 中位数为＝60， 这10棵B品种桃树产量从小到大分别为 20，40，50，50，60，60，70，80，80，80， 这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60， 中位数为＝60. (2)＝×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60， ＝×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59， s＝×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300， s＝×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349. (3)由(1)可知这两个品种极差和中位数都相等， 由(2)可知>，s<s， 则A品种桃树平均产量高，波动小， 所以应该选种A品种桃树． 学科网（北京）股份有限公司 $$