第8章 第10节 圆锥曲线中常见结论及应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十节　圆锥曲线中常见结论及应用 [重点解读]　椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 题型一　椭圆、双曲线的常用结论及其应用 命题点1　焦点三角形 [例1]　(2025·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的面积为(a＋c)，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2　　　　　　　　B．4 C．6 D．12 答案　D 解析　由e＝，得＝，即a＝2c.① 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan ＝(a＋c)， 即b2＝(a＋c)，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中S△PF1F2＝b2·tan ， 双曲线中S△PF1F2＝．　 　[即时训练] 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设双曲线C2的方程为－＝1(a2>0，b2>0)， 则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3. 设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1， 又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2的面积为btan 45°＝， 即b＝b＝1. 所以a＝c－b＝3－1＝2. 故双曲线C2的离心率e＝＝＝. 命题点2　周角定理 [例2]　(2025·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．3 答案　A 解析　如图，∵·＝0， ∴BA⊥BP，令kAB＝k， ∵∠ADO＝∠AOD， ∴kAP＝－kAB＝－k， 又BA⊥BP，∴kPB＝－， 依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝， ∴＝1，即e＝＝＝. 周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝． 周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝．　 　[即时训练] 已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即<e<⇔<<⇔<<， 所以<<⇒－<－<－， 即－<kMA·kMB<－. 命题点3　切线、切点弦方程 [例3]　椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案　C 解析　设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1， 令y＝0，可得C，令x＝0，可得D， 所以△OCD的面积S＝··＝， 又点B在椭圆上，所以＋y＝1， 所以S＝＝＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立， 所以△OCD面积的最小值为. (1)已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1. (2)若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1. 　 　[即时训练] 点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线－y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 答案　(－1，－1) 解析　设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则PA，PB的方程分别为－y1y＝1，－y2y＝1， 因为点P在两条直线上，所以－y1y0＝1， －y2y0＝1. 这表明，点A，B都在直线－y0y＝1上， 即直线AB的方程为－y0y＝1. 又y0＝＋1，代入整理得(x－y)－(y＋1)＝0， 令解得 即直线AB过定点(－1，－1). 题型二　抛物线的常用结论及其应用 　与抛物线的焦点弦有关的二级结论 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝， (2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， (3)S△OAB＝(O为坐标原点)， (4)x1x2＝，y1y2＝－p2， (5)＋＝， (6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． [例4]　(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　) A． B． C．4 D．2 答案　A 解析　如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈， ∵＝3， ∴F为AB的三等分点， 令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 由＋＝，得＋＝⇒t＝p， ∴|AB|＝3t＝p， 又|AB|＝，∴＝p⇒sinα＝， 又S△OAB＝|AB|，∴＝|AB|， 即＝·p⇒p＝2，∴|AB|＝. (2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是(　　) A．4 B． C． D． 答案　D 解析　不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限，则yAyB＝－p2＝－8，所以p＝2. 又因为|AF|＝3|BF|，所以＝3， 即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8， 可得3y＝8，由于B在第四象限，则yB＝－，所以yA＝2， 所以S△OAB＝|OF|·|yA－yB|＝. 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．　 　[即时训练] (1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________． 答案　 解析　 直线l的倾斜角α＝60°， 由|AF|＝＝4， 得p＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB|＝＝＝. (2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为________． 答案　3＋2 解析　因为p＝2，所以＋＝＝1， 所以2|AF|＋|BF| ＝(2|AF|＋|BF|)· ＝3＋＋ ≥3＋2＝3＋2， 当且仅当|BF|＝|AF|，即|AF|＝＋1， |BF|＝＋1时，等号成立， 因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2. (3)(2025·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 答案　64 解析　依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 又l的倾斜角α＝. 所以S△OAB＝＝＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $$