第4章 第10节 解三角形中的最值与范围问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十节　解三角形中的最值与范围问题 [重点解读]　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 题型一　利用基本不等式求最值(范围) [例1]　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解　(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos A cos B＝sin B＋sin A sin B， 所以cos (A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos (A＋B)＝sin B， 所以sin ＝sin B，且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积最值时，S＝bc sin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值．　 　[即时训练] (2025·广东东莞联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A＋a cos B＝－2c cos A. (1)求角A的值； (2)已知点D为BC的中点，且AD＝2，求a的最大值． 解　(1)因为A，C∈，则sin C >0， 由正弦定理可得－2cos A sin C＝sin B cos A＋sin A cos B＝sin ＝sin C， 所以cos A＝－，故A＝. (2)因为D为BC的中点，则＝＋＝＋＝＋＝， 所以2＝＋， 所以42＝2＋2＋2·＝b2＋c2＋2bc cos ＝b2＋c2－bc＝16. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2＋bc， 所以b2＋c2＝，2bc＝a2－16， 由基本不等式可得b2＋c2≥2bc，即≥a2－16，解得0<a≤4， 当且仅当时，即当b＝c＝4时，等号成立， 故a的最大值为4. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) [例2]　(2025·佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B). (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 解　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos ＝cos ， 又A∈，B∈， 所以<A＋<，<B＋<， 所以A＋＝B＋，即B＝A＋， 又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A， 又∠ABC＝A＋， 可得∠DBC＝， 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin (A＋B)＝sin ， 因为△ABC为锐角三角形， 所以 解得<A<， 所以<2A＋<，<sin <1， 所以∈(1，2)，即CD的取值范围为(1，2). 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围．　 　[即时训练] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＋ac＝0. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，求△ABC的周长的最大值． 解　(1)由a2＋c2－b2＋ac＝0，可得a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝＝－， 又B∈，所以B＝. (2)由(1)得B＝，所以sin B＝， 则由正弦定理可得＝＝＝4， 即a＝4sin A，c＝4sin C， 所以△ABC的周长a＋b＋c＝4sin A＋4sin C＋2， 又在△ABC中，C＝π－A－B＝－A， 则a＋b＋c＝4sin A＋4sin ＋2 ＝4sin ＋2， 又在△ABC中，所以0<A<， 所以当A＝时，周长取最大值为4＋2. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) [例3]　(2025·石家庄模拟)已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝cos 2A. (1)求的取值范围； (2)若a＝1，求△ABC周长的取值范围． 解　(1)因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，0<B<，0<2A<π. 又因为cos B＝cos 2A，所以B＝2A， 由正弦定理得＝＝＝＝2cos A， 因为△ABC为锐角三角形， 所以即 解得<A<， 所以<cos A<，即<2cos A<， 所以的取值范围为(，). (2)因为a＝1，由(1)知，b＝2cos A， 由正弦定理＝， 得c＝＝＝ ＝ ＝ ＝4cos 2A－1， 故△ABC的周长a＋b＋c＝4cos 2A＋2cos A， 令t＝cos A，由(1)知<cos A<，则t∈， 因为函数y＝4t2＋2t＝42－在上单调递增， 所以△ABC周长的取值范围为. 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解．　 　[即时训练] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解　(1)∵cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0， ∴－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin A cos B＝0， 即－cos A cos B＋sin A sin B＋cos A cos B－sin A cos B＝0， ∵sin A≠0，∴tan B＝，∴B＝. (2)由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B， ∴b2＝a2＋c2－ac， 又a＋c＝1，∴c＝1－a，且a∈(0，1)， 故b2＝a2＋(1－a)2－a(1－a)＝3a2－3a＋1 ＝3＋. ∵0<a<1，∴≤b2<1， 又b>0，∴≤b<1， 故b的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$