第4章 第9节 解三角形(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第九节　解三角形 [课标要求]　1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题． 题型一　三角形中角平分线、中线、高线 [例1]　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2. (1)若D是BC的中点，求AD的长度； (2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度． 解　(1)∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2， ∴S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝×2×4×sin ∠BAC＝2，∴sin ∠BAC＝， 又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝， ∵D是BC的中点，∴＝(＋)， ∴2＝(＋)2， ∴||2＝＝3， ∴||＝，即AD＝. (2)∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝， ∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， ∴AB·AE·sin ＋AC·AE·sin ＝2， 即×2AE×＋×4AE×＝2， ∴AE＝. 在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝(b2＋c2＋2bc cos A)；若AD平分∠BAC，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，＝.　 　[即时训练] (2025·安徽宿城模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a＋c＝b. (1)求B； (2)若b＝3，且△ABC的面积为，BD是△ABC的中线，求BD的长． 解　(1)因为a＋c＝b， 由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B(sin A＋cos A)， 即sin A＋sin ＝sin B(sin A＋cos A)， 即sin A＋sin A cos B＝sin A sin B， 又因为sin A>0，所以sin B－cos B＝1， 所以sin ＝. 又因为B∈，所以B－∈， 所以B－＝，所以B＝. (2)因为S△ABC＝，所以ac sin B＝得ac＝4， 由余弦定理得：a2＋c2＝b2＋2ac cos B＝13. 又＝， 所以||2＝(＋)2＝(c2＋a2＋2ac cos B)＝， 得＝，故BD的长为. 题型二　与多边形有关的问题 [例2]　(2025·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4. (1)若△ABC的面积为3，求AC； (2)若AD＝3，∠ACB＝∠ACD＋，求tan ∠ACD. 解　(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝， ∴S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝3， 解得AB＝3， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝13， ∴AC＝. (2)设∠ACD＝α， 则∠ACB＝∠ACD＋＝α＋， 在Rt△ACD中，AD＝3， 易知AC＝＝， 在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝－α， 由正弦定理得＝， 即＝， ∴2sin α＝3sin ＝cos α－sin α， 可得tan α＝，即tan ∠ACD＝. 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．　 　[即时训练] (2025·株洲模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4. (1)求cos ∠DBC的值； (2)求AC的长度． 解　(1)在△ABD中，由勾股定理得 BD＝＝2，sin ∠ABD＝＝， cos ∠ABD＝＝， cos ∠DBC＝cos (60°－∠ABD) ＝cos 60°cos ∠ABD＋sin 60°sin ∠ABD ＝×＋×＝. (2)因为∠DCB＝90°， 所以BC＝BD·cos ∠DBC＝3， 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC ＝12＋27－2×2×3×＝21， 所以AC的长度为. 题型三　三角形中的存在性问题 [例3]　(2025·包头模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin C＝sin A cos B＋sin (A＋C). (1)求A； (2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得△ABC唯一确定，当唯一确定时，求边BC上的高h. 条件①：a＝2，sin C＝； 条件②：a＝，b＝. 解　(1)在△ABC中，sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B， 由sin C＝sin A cos B＋sin (A＋C)及正弦定理得c＝a cos B＋b， 由余弦定理得c＝a·＋b， 化简得a2－b2－c2＋bc＝0， 所以cos A＝＝， 结合0<A<π，得A＝. (2)若增加条件①：a＝2，sin C＝， 因为C＝π－－B＝－B∈， 由sin C＝，得C＝或C＝， 所以△ABC不能唯一确定，不合题意． 若增加条件②：a＝，b＝， 将a＝，b＝代入a2－b2－c2＋bc＝0， 得c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去). 此时△ABC唯一确定． 由S△ABC＝bc sin A＝ah， 得h＝＝. 所以BC边上的高h＝. (1)先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么． (2)将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质． (3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件．　 　[即时训练] (2025·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2－cos A)＝a sin B. (1)若a∶b∶c＝1∶2∶2，则此时△ABC是否存在？若存在，求△ABC的面积；若不存在，请说明理由； (2)若△ABC的外接圆半径R＝4，且b－c＝，求△ABC的面积． 解　(1)在△ABC中，由b(2－cos A)＝a sin B，得2b＝a sin B＋b cos A， 由正弦定理得2sin B＝sin A sin B＋sin B cos A，而sin B>0，则sin A＋cos A＝2， 即sin ＝1， 因为0<A<π，于是得A＋＝，解得A＝，而a∶b∶c＝1∶2∶2，则B＝C>A＝，必有A＋B＋C>π， 所以△ABC不存在． (2)因为△ABC的外接圆半径R＝4，由正弦定理得a＝2R sin A＝8sin ＝4，则b－c＝＝2， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2＋c2－bc＝(b－c)2＋bc，即48＝12＋bc，则bc＝36， 因此△ABC的面积S＝bc sin A＝×36× ＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$