第4章 第8节 正弦定理、余弦定理(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第八节　正弦定理、余弦定理 [课标要求]　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 (1)a＝2R sin A， b＝2R_sin_B， c＝2R_sin_C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 【常用结论】 　在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B. (6)三角形中的面积S＝.　 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(　×　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　√　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　) 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．－1 D． 答案　B 解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，将A＝，a＝，b＝1，代入得3＝12＋c2－2c cos ， 则有c2－c－2＝0，且c>0，解得c＝2.故选B. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2，b＝2，则B＝________． 答案　 解析　在△ABC中，A＝60°，a＝2，b＝2， 因为a>b，所以A>B，因为＝， 所以sin B＝＝，所以B＝. 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝8，A＝30°，则△ABC的面积为________． 答案　4 解析　由题意可得△ABC的面积为S＝bc sin A＝×2×8×＝4. 题型一　利用正弦定理解三角形 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈，所以sin C >0， 从而sin C＝＝＝， 又因为sin C＝cos B，即cos B＝， 注意到B∈， 所以B＝. (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈，从而C＝，A＝π－－＝， 而sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝， 由正弦定理有＝＝， 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2， 由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋， 所以c＝2. 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角．　 　[即时训练] (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于(　　) A．30°　　　　　　　　B．60° C．120° D．60°或120° 答案　D 解析　因为a＝1，c＝，A＝45°， 所以由正弦定理可得sin C＝＝ ＝， 又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°， 所以C＝60°或120°. (2)(2025·上海模拟)在△ABC中，设角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若a＝3，c＝5，B＝2A，则边长b＝________． 答案　2 解析　由正弦定理得＝＝，即＝， 5sin A＝3sin 3A＝3sin A cos 2A＋3cos A sin 2A ＝3sin A＋6sin Acos 2A ＝12sin Acos 2A－3sin A， 由于B＝2A，所以A为锐角，sin A>0， 所以12cos 2A＝8，cos A＝， 由正弦定理得＝＝＝， 则a＝，b＝2a cos A＝2×3×＝2. 题型二　利用余弦定理解三角形 [例2]　(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，cos A＝，则△ABC的面积为(　　) A．36 B．18 C．27 D．36 答案　C 解析　∵a＝2，b＝5，cos A＝， ∴由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得c2－8c－18＝(c－9)(c＋)＝0， 解得c＝9(负值舍去). ∵cos A＝， ∴sin A＝＝， ∴△ABC的面积为bc sinA＝×5×9×＝27. (2)(2025·宝鸡统考)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　B 解析　法一：设BC＝2x，则BD＝CD＝x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADC＝＝. 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADB＝＝. 又∠ADC＋∠ADB＝π， 所以cos ∠ADC＝－cos ∠ADB， 所以有＝－， 整理可得x2＝12，解得x＝2，所以BC＝4. 法二：＝(＋)， 则2＝(2＋2＋2·)， 即25＝(25＋49＋2×5×7×cos ∠BAC)， 解得cos ∠BAC＝， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝25＋49－2×5×7×＝48， 所以BC＝4. 利用余弦定理可解决两类三角形问题 (1)已知两边和它们的夹角，求其他边或角． (2)已知三边求角． 由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．　 　[即时训练] (1)(2025·江苏扬州质检)已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D．不确定 答案　C 解析　由题意，设三角形为△ABC，b＝1，c＝2， 由三角形的几何性质c－b<a<c＋b， ∴1<a<3， ∵三角形是锐角三角形，a>b，c>b， ∴只需要A，C为锐角， ∵cos A＝>0，即5－a2>0， cos C＝>0，即a2－3>0， 联立解得：<a<.故选C. (2)(2025·红河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为b(b sin B－a sin A－c sin C)，则B等于(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题知，△ABC的面积为 b(b sin B－a sin A－c sin C)， 所以ab sin C＝b(b sin B－a sin A－c sin C)， 即a sin C＝b sin B－a sin A－c sin C， 所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2， 即a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 题型三　三角形的形状判断 [例3]　(2025·临沂模拟)在△ABC中，已知＝且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②b cos A＋a cos B＝c sin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　由＝及正弦定理得 ＝，即a2＋ac＝b2＋bc， ∴a2－b2＋ac－bc＝0， ∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b. 若选①，则△ABC为等边三角形．推理如下： 由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. ∴由余弦定理得cos C＝＝， 又C∈(0，π)，∴C＝. ∴△ABC为等边三角形． 若选②，则△ABC为等腰直角三角形．推理如下： ∵b cos A＋a cos B＝b·＋a·＝＝c＝c sin C， ∴sin C＝1，∴C＝， ∴△ABC为等腰直角三角形． 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．　 　[即时训练] (1)(2025·黑龙江哈尔滨质检)在△ABC中，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由余弦定理知cos C＝， 因为c2＝ab，C＝60°， 所以cos 60°＝＝， 所以2＝0，所以b＝a， 因此B＝A，所以B＝A＝C＝60°， 即△ABC是等边三角形．故选D. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　因为＝， 由正弦定理得＝， 所以sin A cos A＝sin B cos B， 即sin 2A＝sin 2B. 由＝，可得a≠b，所以A≠B. 又A，B∈(0，π)，A＋B<π， 所以2A＝π－2B，即A＋B＝， 所以C＝，故△ABC是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$