第4章 第7节 三角函数中有关ω的范围问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第七节　三角函数中有关ω的范围问题 [重点解读]　在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 [例1]　(2025·梅河口模拟)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω∈N*，0<φ≤π)是R上的奇函数，且f(x)在区间上是单调函数，则ω的最大值为(　　) A．3　　　　　　 　 　B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω∈N*，0<φ≤π)是R上的奇函数， 所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π. 所以f(x)＝sin (ωx＋π)＝－sin ωx， 又x∈，可得ωx∈， 因为f(x)在区间上是单调函数， 所以f(x)在区间上是单调函数， 故可得ω≤， 由ω∈N*，可得ω的最大值为5. 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．　 　[即时训练] (2025·南京模拟)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　令2kπ＋≤ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω>0，得≤x≤，k∈Z. 由 可得，4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z. 因为4k＋≤2k＋，k∈Z，所以k≤，k∈Z，所以k≤0，k∈Z； 又2k＋≥0，k∈Z，所以k≥－，k∈Z， 所以k≥0，k∈Z. 所以k＝0，此时有≤ω≤.故选B. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 [例2]　(2025·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________． 答案　 解析　函数f(x)＝cos ωx－sin ωx ＝2＝2cos ， 因为x∈(0，2π)，ω>0， 所以ωx＋∈， 由于函数f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0，2π)上有且仅有2条对称轴， 则2π<2πω＋≤3π， 解得ω∈. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．　 　[即时训练] (2025·河北保定模拟)已知函数f＝sin (ω>0，φ∈R)满足f＝－f，且在上单调，则ω的最大值为________． 答案　3 解析　由题可得f＝cos ， 由f＝－f，且f在上单调， 得f的图象关于点中心对称， 因为直线x＝与直线x＝0关于直线x＝对称，结合f的图象对称性， 所以f在上单调，得＝≥， 又ω>0，所以0<ω≤3，故ω的最大值为3. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 [例3]　若函数f(x)＝sin (ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为ω>0，所以当x∈时， ωx－∈. 又因为函数f(x)＝sin (ω>0)在上的值域是， 所以≤－≤，解得≤ω≤3. 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．　 　[即时训练] (2025·上海质检)若奇函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，π))在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因为f＝cos (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，π))为奇函数， 所以f＝0，即φ＝，所以f＝－sin ωx， 当x∈时，则ωx∈， 所以解得3≤ω<.故选C. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 [例4]　(2025·开封统考)若函数g(x)＝cos 在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A．≤ω< B．<ω≤ C．≤ω< D．<ω≤ 答案　D 解析　g(x)＝cos ， 当x∈[0，π)时，2ωx－∈， y＝cos x在y轴右方的零点为x＝，，，，，，…， 因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点， 所以<2ωπ－≤， 解得<ω≤. 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．　 　[即时训练] (2025·广东佛山模拟)已知函数f＝cos ωx＋sin ωx－1(ω>0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围为______． 答案　 解析　因为f＝cos ωx＋sin ωx－1 ＝2sin －1(ω>0)， 令ωx＋＝t，则y＝2sin t－1，因为x∈，所以t∈， 令y＝0，得sin t＝，由题意可知函数y＝2sin t－1在区间上有且仅有3个零点，所以<π≤，所以<ω≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$