第4章 第6节 函数y＝A sin (ωx＋φ)(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第六节 　函数y＝A sin (ωx＋φ) [课标要求]　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【常用结论】 　函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　) (2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin .(　×　) (3)把y＝sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝sin .(　×　) (4)如果y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　) 2．y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π，　　　　　B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝， 初相为－. 3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin ，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m. 答案　1 解析　当t＝12时，f(12)＝2sin ＝2sin ＝1，即12点时潮水的高度是1 m. 4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 答案　sin 解析　将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin ＝sin . 题型一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [例1]　(1)(2025·湖南岳阳高三质检)已知曲线C1：y＝2sin x，C2：y＝2sin ，则下列说法错误的是(　　) A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C2 C.把C1向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线C2 D．把C1向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线C2 答案　D 解析　对于A. C1上各点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin 2x，再向左平移个单位长度，得到y＝2sin 2＝2sin ，正确； 对于B. C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin 2x，再向右平移个单位长度，得到y＝2sin 2＝2sin ＝2sin ＝2sin ，正确； 对于C. C1向左平移个单位长度，得到y＝2sin ，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin ，正确； 对于D. C1向左平移个单位长度，得到y＝2sin ，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝2sin ，错误．故选D. (2)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 答案　C 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin ＝sin .因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝. (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　 　[即时训练] (1) (2025·山东德州模拟)为了得到函数g＝cos 2x的图象，可以将函数f＝cos 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　对于A，f＝cos ＝cos ＝－cos 2x≠g，A错误； 对于B，f＝cos ＝cos ≠g，B错误； 对于C，f＝cos ＝cos ≠g，C错误； 对于D，f＝cos ＝cos 2x＝g，D正确．故选D. (2)(2025·陕西西安质检)已知函数f＝2sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象，则φ的可能值为(　　) A．0 B． C． D． 答案　A 解析　y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， 函数f＝2sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象解析式为： f＝2sin ， 所以有⇒φ＝2kπ， 显然只有选项A符合．故选A. 题型二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例2]　(1)(多选)(2025·邢台模拟)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　) A．A＝4 B．ω＝2 C．φ＝ D．k＝1 答案　BD 解析　由图象可知，A＝2，k＝＝1，故A错误，D正确； 又由图象可得T＝2×＝π，∴＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确； ∴f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1，又f＝3， ∴2sin ＋1＝3， ∴sin ＝1，又0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ＋1，故C错误． (2)已知函数f＝A sin ＋B在一个周期内的图象如图所示，则函数f的表达式为______． 答案　f＝2sin ＋1 解析　根据函数f的图象可得2A＝3－＝4，且3＋＝2B， 所以A＝2，B＝1， 因为＝π－＝π＝π，可得T＝π，所以ω＝＝， 又因为f＝3，可得2sin ＋1＝3，所以sin ＝1， 所以π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又因为<，所以φ＝π， 所以f＝2sin ＋1. 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·安徽马鞍山质检)已知函数f＝2sin 的部分图象，则(　　) A．ω＝2 B．φ＝ C．点是f图象的一个对称中心 D．f的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数 答案　ACD 解析　A选项，由图象可得到函数最小正周期T＝－＝，故T＝π， 因为ω>0，所以＝π，解得ω＝2，A正确； B选项，将代入解析式得2sin ＝2， 因为<，解得φ＝－，B错误； C选项，f＝2sin ，故f＝2sin ＝0， 故点是f图象的一个对称中心，C正确； D选项，f的图象向左平移个单位后得到g＝2sin ＝2sin ＝2cos 2x， 因为g＝2cos 2x的定义域为R，且g(－x)＝2cos ＝2cos 2x＝g， 故g＝2cos 2x为偶函数，D正确．故选ACD. (2)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的取值集合为________． 答案　 解析　根据所给图象，可得最小正周期 T＝4×＝π， 故π＝，所以ω＝2， 因此f(x)＝sin (2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点，代入得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 再由|φ|<，得φ＝－， 所以f(x)＝sin ， 所以f＝sin ， 当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时， y＝f取得最小值． 此时x的取值集合为. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 [例3]　(1)(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 答案　BCD 解析　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确； 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由 解得 又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－， 所以点P距离水面的高度H＝2sin ＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确； 将H＝1＋代入H＝2sin ＋1中， 得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋， 解得t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N). 所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确． (2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈上函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C. (1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． (3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．　 　[即时训练] (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．如表所示是今年前四个月的统计情况． 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为______________． 答案　y＝sin ＋6(答案不唯一) 解析　设y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得A＝1，B＝6，T＝4， 因为T＝，所以ω＝， 所以y＝sin ＋6. 因为当x＝1时，y＝6， 所以6＝sin ＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取φ＝－， 所以y＝sin ＋6. (2)已知关于x的方程2sin －m＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是__________． 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin －m＝0可转化为m＝2sin ，x∈. 设2x＋＝t，则t∈， ∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根． 即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y＝，y＝sin t，t∈的图象，如图中实线部分所示． 由图象观察知，的取值范围是， 故m的取值范围是(－2，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $$