第4章 第4节 简单的三角恒等变换(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　简单的三角恒等变换 [课标要求]　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α． (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)公式T2α：tan2α＝. 2．半角公式(不要求记忆) sin ＝± ；cos ＝± ；tan ＝± .符号由所在象限决定． 【常用结论】 1．二倍角公式的变形公式 (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝， tan2α＝.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 tan ＝＝. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　×　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　√　) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　√　) (4)sin2－cos2＝.(　×　) 2．cos 15°等于(　　) A．　　　　　B． C．± D．± 答案　A 解析　因为15°是第一象限角， 所以cos 15°>0， 由半角的余弦公式可知cos 15°＝. 3．已知函数f＝sin sin ，则f＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　f＝sin sin ＝－cos x sin x＝－sin 2x， 故f＝－sin ＝－sin ＝. 4．若cos ＝－，则cos 2θ的值为________． 答案　 解析　因为cos ＝－，所以sin θ＝， 所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝. 题型一　三角函数式的化简 [例1]　(1)＋的化简结果为(　　) A．－sin 20°　　　　　B．－cos 20° C．cos 20° D．sin 20° 答案　C 解析　原式＝ ＋＝|sin20°－cos 20°|＋ ＝cos20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°. (2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝________． 答案　 解析　cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝ ＝＝＝. [即时训练] (1)化简sin2＋sin2－sin2α＝________． 答案　 解析　法一：由倍角公式cos 2α＝1－2sin 2α，得sin 2α＝. 原式＝＋－ ＝－ ＝－＝. 法二：sin 2＋sin 2－sin 2α ＝2＋2－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝. (2)(2025·广州模拟)已知0<θ<π，则＝________． 答案　－cos θ 解析　原式＝ ＝cos·＝. 因为0<θ<π，所以0<<， 所以cos >0. 所以原式＝－cos θ. 题型二　三角函数式的求值 命题点1　给角求值 [例2]　＝________． 答案　－4 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 命题点2　给值求值 [例3]　(2025·济宁模拟)已知cos ＝，则sin 等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　sin ＝sin ＝－cos 2 ＝1－2cos2＝1－2×＝. 命题点3　给值求角 [例4]　已知α，β均为锐角，cosα＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 答案　　 解析　因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sinβ＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin (2α－β)＝， 所以2α－β＝. (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可． (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解． (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： 已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．　 [即时训练] 　(1)(2025·山东德州质检)已知sin ＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　C 解析　sin ＝cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝1－2sin 2＝1－2×2＝，故选C. (2)(2025·成都模拟)已知cos ＝，α∈，则cos ＝__________． 答案　 解析　∵sin ＝＝cos ＝cos ＝， ∴cos ＝1－2sin 2＝1－2×2＝. 题型三　三角恒等变换的综合应用 [例5]　(2025·广州模拟)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是(　　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋β＝ D．α－β＝ 答案　A 解析　∵α，β∈， ∴sin α≠0， ∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β， ∴2sin2α(1＋sinβ)＝2sin αcos αcos β， 即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β. ∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)， ∴cos (α＋β)＝cos ， ∵α，β∈， ∴π<α＋β<2π，且－<－α<0， ∴α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝. (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． (2)形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．　 [即时训练] 　(2025·江苏泰州质检)如图，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为(　　) A．(2－)R2 B．R2 C．R2 D．R2 答案　B 解析　设∠POB＝a，矩形PNMQ面积为S， 因为扇形AB的半径为R，圆心角为， 所以QM＝PN＝R sin α，ON＝R cos α，OM＝QM tan ＝R sin α， 所以S＝R sin α＝R2sin 2α－R2. 化简得：S＝R2sin －R2，α∈， 当α＝，即∠AOP＝时，S取最大值R2.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$