第4章 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [课标要求]　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；　 (2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；　 (3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；　 (4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；　 (5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝. 2．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【常用结论】 　两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (4)tan αtan β＝1－＝－1. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立．(　√　) (2)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　×　) (3)tan 能根据公式tan (α－β)直接展开求值．(　×　) (4)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　) 2．计算cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为(　　) A．　　　　　　　　B． C． D．cos 57° 答案　C 解析　cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos ＝cos 30°＝，故选C. 3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　B 解析　∵α是第三象限角，∴sin α<0， ∴sin α＝－＝－＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 4．若将sin x－cos x写成2sin (x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________． 答案　 解析　因为sin x－cos x ＝2， 所以cos φ＝，sin φ＝， 因为0≤φ<π，所以φ＝. 题型一　两角和与差的三角函数公式 [例1]　(1)(2025·海南质检)已知0<α<<β<π，cos α＝，sin β＝，则cos ＝(　　) A．－　　　　　　B．－ C． D． 答案　A 解析　因为0<α<<β<π，cos α＝，sin β＝， 所以sin α＝＝＝，cos β＝－＝－＝－， 则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.故选A. (2)(2025·长沙模拟)已知tan α＋tan β＝3，sin ＝2sin αsin β，则tan ＝(　　) A．4 B．6 C．－ D．－6 答案　D 解析　由sin ＝2sin αsin β得sin αcos β＋cos αsin β＝2sin αsin β⇒＝2⇒＋＝2，进而可得＝2⇒tan αtan β＝，所以tan ＝＝＝－6.故选D. (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．　 　[即时训练] (1)(2025·榆林模拟)已知tan ＝9，则tan α等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　由tan ＝＝9， 解得tan α＝. (2)(2025·江西抚州模拟)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　) A． B．或 C． D． 答案　C 解析　因为α，β∈满足sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝＝，sin β＝＝. 由此可得cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.故选C. 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 [例2]　(1)(2025·新乡模拟)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝______． 答案　 解析　 由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1， 可得＝－1，即tan (A＋B)＝－1， 又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝， 则C＝，cos C＝. (2)已知函数f(x)＝sin x－3cos x，不等式f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　[，＋∞) 解析　f(x)＝sin x－3cos x＝sin (x－φ)(其中tan φ＝3)， sin (x－φ)∈[－，]， 所以f(x)∈[－，]， 故a≥. (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． (2)对a sin x＋b cos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．　 　[即时训练] (1)－＝________． 答案　4 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________． 答案　1 解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 题型三　角的变换问题 [例3]　(1)cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝，则cos β＝ (　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　因为cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝， 所以cos ＝cos ＝cos β＝. 故选B. (2)(2025·潍坊质检)已知cos θ＋cos ＝，θ∈，则sin θ＝__________． 答案　 解析　因为cos θ＋cos ＝， 即cos θ＋cos θcos －sin θsin ＝， 所以cos θ－sin θ＝， 所以＝， 即cos ＝， 因为θ∈，所以θ＋∈， 所以sin ＝＝， 所以sin θ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等．　 　[即时训练] (1)(2025·江苏南京模拟)已知角α，β满足tan α＝－2，tan ＝1，则tan β＝(　　) A．－ B．1 C．－3 D．3 答案　C 解析　tan β＝tan ＝＝＝－3.故选C. (2)已知α为锐角，且cos ＝，则cos α的值为________． 答案　 解析　∵0<α<， ∴<α＋<， ∴sin ＝， ∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$