第4章 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　同角三角函数基本关系式及诱导公式 [课标要求]　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α .2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【常用结论】 　同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当α为钝角时，cos (π－α)＝cos α.(　×　) (2)若sin (2kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (4)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　×　) 2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　) A．　　　B．－　　　C．　　　D．－2 答案　D 解析　∵α为第二象限角， ∴sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝－2. 3．若sin α＝，<α<π，则tan α等于(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 答案　D 解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－. 4．若α∈，cos (π－α)＝，则tan α＝________． 答案　－ 解析　由cos (π－α)＝，得－cos α＝，解得cos α＝－，而α∈，则sin α＝＝，所以tan α＝＝－. 题型一　同角三角函数基本关系式 [例1]　(1)(2025·四川遂宁质检)若tan θ＝，θ∈，则cos θ的值为(　　) A．　　　　　　　　　B．－ C． D．－ 答案　A 解析　因为tan θ＝，所以＝. 因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝±. 因为tan θ＝>0，θ∈，所以θ∈，所以cos θ＝.故选A. (2)(多选)(2025·河南周口质检)已知cos θ＝，tan θ＝，且θ∈，下面选项正确的是(　　) A．m＝8 B．m＝0或m＝8 C．sin θ>cos θ D．sin 2θ＋2sin θcos θ＝－ 答案　ACD 解析　由cos θ＝，tan θ＝，可得sin θ＝cos θ×tan θ＝， ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴2＋2＝1， 解得m＝0或m＝8. ∵sin θ>0，cos θ<0，经检验，当m＝0时，cos θ＝ >0，不合题意， ∴m＝8， 此时sin θ＝，cos θ＝－，sin 2θ＋2sin θcos θ＝－.故A项正确，B项错误，CD项正确．故选ACD. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)形如，a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α等类型可进行弦化切． (3)对于sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．　 　[即时训练] (1)设θ为第二象限角，若tan θ＝－，则sin θ＋cos θ＝__________． 答案　－ 解析　θ为第二象限角，则sin θ>0，cos θ<0， 若tan θ＝－，则有解得 所以sin θ＋cos θ＝－＝－. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 答案　－ 解析　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 题型二　诱导公式 [例2]　(1)(2025·安康模拟)若sin (π＋α)＝－，则cos (π－2α)等于(　　) A．　 B．－ C． D．－ 答案　C 解析　∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝， ∴cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×－1＝. (2)已知sin＝，则cos 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　因为sin ＝， 所以cos ＝sin ＝sin ＝. 延伸探究　若把本例(2)中条件换为“cos ＝－”，那么sin 的值为________． 答案　－ 解析　因为cos ＝－， 所以sin ＝sin ＝cos ＝－. 诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．　 　[即时训练] (1)化简：等于(　　) A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ 答案　A 解析　原式＝ ＝＝－sin θ. (2)(2025·昆明质检)已知tan α＝－2，则＝________． 答案　－ 解析　因为tan α＝－2， 所以＝ ＝＝＝－. 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 [例3]　(1)已知θ为第二象限角，且cos ＝，则－的值是(　　) A．－4 B．4 C． D．－ 答案　A 解析　因为cos ＝－cos θ＝，则cos θ＝－， 又因为θ为第二象限角，则sin θ＝＝＝， 因此 － ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝ ＝＝＝＝－4.故选A. (2)已知sin ＝，则＋的值为________． 答案　18 解析　由sin ＝，可得sin θ＝－， ∴＋ ＝＋ ＝＋＝＝＝＝18. (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．　 　[即时训练] (1)(2025·大连模拟)已知下列三角式：①sin ；②cos ；③sin ；④cos ；⑤sin ，，其中与sin 的值相同的是________． 答案　②③⑤ 解析　因为sin ＝， 对于①，当n＝2k，k∈Z时，sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－， 当n＝2k＋1，k∈Z时，sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝，故①不满足要求； 对于②，cos ＝cos ＝，故②满足要求； 对于③，sin ＝sin ＝，故③满足要求； 对于④，cos ＝cos ＝－cos ＝－，故④不满足要求； 对于⑤，sin ＝sin ＝sin ＝，故⑤满足要求． (2)已知关于x的方程sin2－sin (2 025π＋x)－2－a＝0有实数解，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　令f(x)＝sin2－sin (2 025π＋x)－2， 则f(x)＝cos2x＋sinx－2＝－sin2x＋sinx－1， 所以f(x)＝－－， 又sin x∈[－1，1]，所以f(x)∈， 因为关于x的方程sin2－sin (2 025π＋x)－2－a＝0有实数解，f(x)∈， 所以a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$