第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

　　　　　第四章　三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 [课标要求]　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α． (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 【常用结论】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　×　) (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　√　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　×　) (4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　×　) 金榜题名　创新高考总复习　数学(这是双页眉，请据需要手工删加) 第四章　三角函数与解三角形(这是单页眉，请据需要手工删加) 2．下列各角中，与2183°角终边相同的是(　　) A．－23°　　　　　B．23° C．－47° D．47° 答案　B 解析　对于B，因为2183°－23°＝6×360°，所以角2183°与角23°的终边相同，B正确； 对于A，因为2183°－＝2206°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，A错误； 对于C，因为2183°－＝2230°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，C错误； 对于D，因为2183°－47°＝2136°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，D错误．故选B. 3．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　∵|OP|＝＝13， ∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 4．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________. 答案　－100°　－1200° 解析　因为时针每小时转30°，分针每小时转360°， 又因为时针、分针都按顺时针方向旋转， 故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°， 分针转过的角度数为－3×360°＝－1200°. 题型一　角及其表示 [例1]　(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 答案　D 解析　因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． 终边所在位置 若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示． 　 典例　(1)已知角α是第二象限角，且＝－cos ，则角是(　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　因为角α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°， 所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°， 当k是偶数时，设k＝2n，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°， 此时为第一象限角； 当k是奇数时，设k＝2n＋1，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°， 此时为第三象限角． 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为＝－cos ，所以cos ≤0，所以为第三象限角．故选C. (2)(多选)(2025·江西宜春质检)如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角(　　) A．第一象限　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　ACD 解析　α是第三象限的角，则α∈，k∈Z， 所以∈，k∈Z； 当k＝3n，n∈Z，∈，n∈Z，在第一象限； 当k＝3n＋1，n∈Z，∈，n∈Z，在第三象限； 当k＝3n＋2，n∈Z，∈，n∈Z，在第四象限； 所以可以是第一、第三或第四象限角．故选ACD. (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．　 　[即时训练] (1)(2025·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α　　　　　　B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 答案　C 解析　若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角． (2)－2 025°角是第________象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案　二　135°　－225° 解析　因为－2 025°＝－6×360°＋135°， 所以－2 025°角的终边与135°角的终边相同． 所以－2 025°角是第二象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是135°. 又135°－360°＝－225°， 故与－2 025°角终边相同的最大负角是－225°. 题型二　弧度制及其应用 [例2]　(1)已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2. 答案　　 解析　由已知得α＝，R＝10 cm， 所以l＝αR＝×10＝(cm)， S扇形＝αR2＝××102＝(cm2). (2)(2025·上海松江质检)建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知AD＝1 m，＝ m，＝m，则此扇环形砖雕的面积为________m2. 答案　 解析　设圆心角为α，则α＝＝， 所以＝，解得OA＝1 m，所以OD＝2 m， 所以此扇环形砖雕的面积为··OD－·OA＝××2－××1＝ m2. 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 [即时训练] (1)(多选)(2025·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 答案　ABC 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)(2025·江苏苏州质检)已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为(　　) A． B． C． D．2 答案　D 解析　设扇形的半径为r，弧长为l，由已知得2r＋l＝8， 扇形面积为S＝lr＝r＝r≤＝4， 当且仅当4－r＝r，即r＝2时等号成立，此时l＝4，则圆心角α＝＝2，故选D. 题型三　三角函数的概念 [例3]　(1)已知角θ的终边经过点P，则cos θ等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　2＋2＝1，故P在单位圆上，根据三角函数值的定义，P的横坐标的值即为cos θ，故cos θ＝.故选B. (2)(多选)(2025·南昌模拟)已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　CD 解析　已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)， 所以sin α＝＝，cos α＝＝. 则当m>0时，sin α＝，cos α＝－，此时2sin α＋cos α＝2×＋＝； 当m<0时，sin α＝－，cos α＝，此时2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 所以2sin α＋cos α的值可能为或－.故选CD. (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．　 [即时训练] (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m>0，解得m＝. (2)(2025·贵州毕节质检)若>0，<0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　D 解析　由＝cos α>0，＝<0，得cos α>0，sin α<0，所以α是第四象限角．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$