第3章 第4节 函数中的构造问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　函数中的构造问题 [重点解读]　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型一　利用f(x)与x构造函数 [例1]　(2025·信阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) 答案　D 解析　设g(x)＝，x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x). 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 所以g(－2)＝－g(2). 因为f(－2)＝0， 所以g(－2)＝g(2)＝0. 当x>0时，g′(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 此时不等式>0的解集是(0，2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2). 综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.　 　[即时训练] 已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　　　　　　B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 答案　B 解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)， 所以函数f(x)是偶函数， 令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数， g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 由题意知，当x∈(－∞，0]时， f(x)＋xf′(x)<0成立， 所以g(x)在(－∞，0]上单调递减， 又g(x)是奇函数， 所以g(x)是减函数， 因为20.6>1，0<ln 2<1，log2＝－3<0， 所以log2<0<ln 2<1<20.6， 又a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g， 所以c>b>a. 题型二　利用f(x)与ex构造函数 [例2]　(2025·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则(　　) A．f(2 024)<ef(2 025) B．ef(2 024)<f(2 025) C．ef(2 024)＝f(2 025) D．ef(2 024)>f(2 025) 答案　B 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为f(x)<f′(x)，即f′(x)－f(x)>0， 所以g′(x)>0，g(x)为增函数， 则<， 即ef(2 024)<f(2 025). (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x). (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.　 　[即时训练] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3-x的解集为________． 答案　(3，＋∞) 解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 [例3]　(2025·成都质检)记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为奇函数，且当x∈ 时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0 成立，则(　　) A．f>f B．f>－f C．f>f D．f>－f 答案　B 解析　令g(x)＝f(x)sin x，则g′(x)＝f(x)cos x＋f′(x)sin x， 当x∈ 时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0，所以g′(x)>0， 则g(x)＝f(x)sin x 在上单调递增， 所以g>g，则－f>－f，即f<f，选项A错误； g>g，则－f>－·f，即f>－f，选项B正确； g<g，则f>·f，又f(x)为奇函数，所以f<f，选项C错误； 由f>f 得－f>f，选项D错误．故选B. 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cosx， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝．　 　[即时训练] 已知函数f(x)的定义域为，且对∀x∈，有f′(x)cosx<f(x)sin x，则关于x的不等式2f(x)<的解集为_______． 答案　 解析　令φ(x)＝f(x)·cos x，x∈， ∴φ′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x， 依题意知，φ′(x)<0， ∴φ(x)是减函数， ∵x∈， ∴cos x>0， ∴2f(x)< 可化为f(x)·cos x<f ，　 即φ(x)<φ，故<x<， ∴原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$