第3章 第3节 导数与函数的极值、最值(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　导数与函数的极值、最值 [课标要求]　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【常用结论】 　对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　√　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　×　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　√　) 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　 C．3　 D．4 答案　A 解析　由导函数f′(x)的图象知， 在x＝－2处，f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝－2是f(x)的极大值点； 在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，所以x＝－1是f(x)的极小值点； 在x＝2处，f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝2是f(x)的极大值点． 综上，f(x)的极小值点的个数为1. 3．若函数f(x)＝x3－12x2＋36x＋1，则f(x)的极大值点为________． 答案　2 解析　f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)， 令f′(x)＝0，解得x＝2 或6， 当x<2 或x>6 时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当2<x<6 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 故f(x)在x＝2 取得极大值，故极大值点为2. 4．已知函数f(x)＝x3－3x－1 在区间[－3，2]上的最大值为M，最小值为N，则MN＝ ________． 答案　－19 解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]， 所以由f′(x)>0，得1<x≤2 或－3≤x<－1， 由f′(x)<0，得－1<x<1， 所以f(x)在[－3，－1)，(1，2]上单调递增，在[－1，1]上单调递减． 因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以M＝1，N＝－19，故MN＝－19. 题型一　利用导数求解函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 [例1]　(多选)(2025·哈师大附中质检)如图所示是y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，下列结论中正确的有(　　) A．f(x)的单调递增区间是(－1，2)∪(4，＋∞) B．x＝－1 是f(x)的极小值点 C．f(x)在区间(2，4)上单调递减，在区间(－1，2)上单调递增 D．x＝2 是f(x)的极小值点 答案　BC 解析　由导函数的图象可知，当－3<x<－1 或2<x<4 时，f′(x)<0；当－1<x<2 或x>4 时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递增区间为(－1，2)和(4，＋∞)，单调递减区间为(－3，－1)和(2，4).故A错误，C正确； 所以x＝－1 或x＝4 是f(x)的极小值点；故B正确； 所以x＝2 是f(x)取得极大值点，故D错误．故选BC. 命题点2　求已知函数的极值 [例2]　(2025·海口模拟)已知函数f(x)＝x2－4ln x＋1. (1)求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间与极值． 解　(1)依题意，f′(x)＝2x－，x>0. f′(1)＝2×1－＝－2，f(1)＝1－4ln 1＋1＝2， 故所求切线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x＝， 故当x∈ 时，f′(x)<0，当x∈ 时，f′(x)>0， 故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为， 则f(x)的极小值为f＝3－2ln 2，无极大值． 命题点3　已知极值(点)求参数 [例3]　(1)(2025·四川蓬溪中学质检)已知函数f(x)＝x(x－m)2 在x＝1 处有极大值，则m 的值为(　　) A．1　　　　　　　B．2 C．3 D．1或3 答案　C 解析　∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)， ∴f′(1)＝(1－m)(3－m)＝0， ∴m＝1 或m＝3， 当m＝1 时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)， 令f′(x)>0，得x< 或x>1；令f′(x)<0，得<x<1； 从而f(x)在 单调递增，在 单调递减，在(1，＋∞)单调递增， 所以f(x)在x＝1 处有极小值，不合题意， 当m＝3 时，经检验，满足题意． 综上，m＝3.故选C. (2)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　因为函数f(x)有两个极值点， 所以f′(x)有两个变号零点， 令f′(x)＝＋2ax－2＝0(x>0)， 所以a＝， 令g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝， 令g′(x)＝0，解得x＝1， 当0<x<1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x>1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减， g＝0， 当x→0时，g(x)→－∞， 当x>时，g(x)>0，g(x)max＝g(1)＝， 当x→＋∞ 时，g(x)→0， g(x)的大致图象如图所示， 所以a的取值范围是. 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性．　 　[即时训练] (2025·贵州三模)函数f(x)＝ax＋＋1 在x＝1 处取得极值0，则a＋b＝ (　　) A．0 B．　 C．1 D．2 答案　A 解析　f′(x)＝a＋， 所以解得 经检验，a＝－1，b＝1 满足题意， 所以a＋b＝0.故选A. 题型二　利用导数求函数的最值问题 命题点1　不含参函数的最值 [例4]　(2025·北京模拟)函数f(x)＝x2－27ln x 在区间[1，2]上的最大值是(　　) A．0 B．　 C．1 D． 答案　D 解析　f′(x)＝3x－＝，定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)>0，解得x>3，令f′(x)<0，解得0<x<3， 所以f(x)在(3，＋∞)上单调递增，(0，3)单调递减， 所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)＝.故选D. 命题点2　含参函数的最值 [例5]　已知函数f(x)＝x ln x＋(a－1)x，a∈R.求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值． 解　由f(x)＝x ln x＋(a－1)x， 可得f′(x)＝ln x＋a， 由f′(x)＝ln x＋a＝0， 可得x＝e－a， 当e－a≤1，即a≥0时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1； 当e－a≥e，即a≤－1时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)单调递减， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(e)＝ae； 当1<e－a<e，即－1<a<0时，若x∈[1，e－a)，则f′(x)<0，f(x)单调递减， 若x∈(e－a，e]，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(e－a)＝－e－a. 综上，当a≥0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为a－1； 当－1<a<0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为－e－a； 当a≤－1时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为ae. 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．　 　[即时训练] (2025·江苏常州开学考)已知函数f(x)＝x3－ax2，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解　由题意可得：f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a). ∵x∈[0，2]，则有： 当a≤0 时，则f′(x)≥0在x∈[0，2]时恒成立， 则函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，∴f(x)≤f(2)＝8－4a； 当a≥3 时，则f′(x)≤0 在x∈[0，2]时恒成立， 则函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，∴f(x)≤f(0)＝0； 当0<a<3 时，则0<<2， 令f′(x)<0，解得0<x<， 令f′(x)>0，解得<x≤2， 故函数f(x)在区间 上单调递减，在 上单调递增，且f(0)＝0，f(2)＝8－4a， ①当0<8－4a，即0<a<2 时，则f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(2)＝8－4a； ②当0＝8－4a，即a＝2 时，则f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)＝f(2)＝0； ③当0>8－4a，即2<a<3 时，则f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)＝0. 综上所述：当a<2 时，则f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(2)＝8－4a； 当a＝2 时，f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)＝f(2)＝0； 当a>2 时，f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$