第3章 第2节 导数与函数的单调性(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　导数与函数的单调性 [课标要求]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x) 在区间(a，b) 上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【常用结论】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　) 2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(1，3)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(3，4)上是增函数 答案　A 解析　对于选项A：当－3<x<0 时，f′(x)<0，则f(x)在(－3，0)上单调递减，故A正确； 对于选项B：当1<x<2 时，f′(x)>0；当2<x<4 时，f′(x)<0; 则f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B错误； 对于选项C：当0<x<2 时，f′(x)>0，则f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误； 对于选项D：当3<x<4 时，f′(x)<0，则f(x)在(3，4)上单调递减，故D错误．故选A. 3．已知函数f(x)＝ex＋ax 在区间[0，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为__________． 答案　[－1，＋∞) 解析　因为f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以当x∈[0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋a≥0 恒成立， 即a≥－ex 在[0，＋∞)恒成立， 又(－ex)max＝－1，所以a≥－1. 4．已知函数y＝ln x＋ 在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案　a≤2 解析　由y＝ln x＋ 得y′＝－， 由于函数y＝ln x＋ 在[2，＋∞)上单调递增，故y′＝－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 因此在a≤x对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，所以a≤2. 题型一　不含参函数的单调性 [例1]　(1)(2025·湖北联考)函数f(x)＝x2－ln x 的单调递减区间为(　　) A．(－1，1)　　　　　　B．(0，1)　 C．(1，＋∞)　 D．(0，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝x2－ln x， 所以f′(x)＝x－＝， 令f′(x)<0，得0<x<1， 所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，故选B. (2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________． 答案　(0，1) 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝， 令φ(x)＝－ln x－1(x>0)， φ′(x)＝－－<0， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1). 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．　 　[即时训练] (2025·河北沧州质检)函数f(x)＝2x－5ln x－4的单调递减区间是(　　) A．(0，3)　 B．(3，＋∞) C．　 D． 答案　D 解析　f′(x)＝2－，定义域为(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x<，所以f(x)在 上单调递减．故选D. 题型二　含参数的函数的单调性 [例2]　(2025·天津模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(a＋3)x，a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为4，求a的值； (2)当a>0时，求f(x)的单调区间． 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝a ln x＋x2－(a＋3)x， 得f′(x)＝＋3x－(a＋3)， 所以f′(2)＝－＋3＝4，所以a＝－2. (2)由(1)得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， ①当0<a<3时，令f′(x)>0， 解得0<x<或x>1， 令f′(x)<0，解得<x<1. 所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为； ②当a＝3时，f′(x)≥0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ③当a>3时，令f′(x)>0，解得0<x<1或x>， 令f′(x)<0，解得1<x<， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和，单调递减区间为. 综上，当0<a<3时，f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为； 当a＝3时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>3时，f(x)的单调递增区间为(0，1)和，单调递减区间为. (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　 　[即时训练] (2025·郑州模拟)已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解　由函数f(x)＝a ln x－ax－3 的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x＝1， 若a>0，当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 若a>0，当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增． 若a＝0，此时函数f(x)＝－3为常数函数，无单调性． 题型三　函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 [例3]　已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　 B．c<b<a C．b<a<c　 D．b<c<a 答案　D 解析　由题意，得f′(x)＝3－2sin x. 因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)是增函数． 因为log24<log27<log28，所以2<log27<3， 所以2<log27<3， 所以f(2)<f(log27)<f(3)，即b<c<a. 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果． 　 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex　　　　B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x　 D．f(x)＝sin x 答案　ACD 解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝x ln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0， 当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝x sin x，g′(x)＝sin x＋x cos x， 当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故D中函数不是“F函数”． 命题点2　根据函数的单调性求参数 [例4]　(2025·海口模拟)若函数f(x)＝ex－4e－x－ax 在区间[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案　(－∞，4] 解析　由题设f′(x)＝ex＋4e－x－a≥0 在[0，＋∞)上恒成立． 设t＝ex≥1，即a≤t＋ 在t∈[1，＋∞)上恒成立， 又t＋≥2＝4，当且仅当t＝2 时等号成立， 所以a≤4，即实数a 的取值范围为(－∞，4]. 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．　 　[即时训练] (1)(2025·红河模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－1＋(sin x－cos x)2，则不等式f(x2－2x)＋f(2－x)>0的解集为________． 答案　{x|x>2或x<1} 解析　因为f(x)＝x3＋2x－1＋(sin x－cos x)2 ＝x3＋2x－1＋1－2sin x cos x＝x3＋2x－sin 2x， f′(x)＝3x2＋2－2cos 2x≥0， 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(－x)＝－x3－2x＋sin 2x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数， 不等式f(x2－2x)＋f(2－x)>0可化为 f(x2－2x)>－f(2－x)， 即f(x2－2x)>f(x－2)，所以x2－2x>x－2， 即x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1. (2)已知函数f(x)＝ax4＋(x－1)ex 在区间[1，3]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是(　　) A.　 B．　 C．　 D． 答案　A 解析　因为f(x)＝ax4＋(x－1)ex 在区间[1，3]上不是单调函数， 所以f′(x)＝4ax3＋xex＝0 在区间(1，3)上有解，即－4a＝ 在区间(1，3)上有解． 令g(x)＝，则g′(x)＝. 当x∈(1，2)时，g′(x)<0；当x∈(2，3)时，g′(x)>0. 故g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增．又因为g(1)＝e，g(2)＝，g(3)＝<e， 且当a＝－ 时，f′(x)＝－x3＋xex＝x3≥0, 所以f(x)在区间[1，3]上单调递增，所以<－4a<e，解得－<a<－.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$