第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

　　　　　第三章　一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 [课标要求]　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【常用结论】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2．′＝(f(x)≠0). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　) (4)(e－x)′＝－e－x.(　√　) 2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　) A．f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x B．f′(x)＝3x＋2cos 2x C．f′(x)＝＋cos 2x D．f′(x)＝－2cos 2x 答案　A 3．若直线l 过原点，且与函数y＝ 的图象相切，则该直线的斜率为(　　) A．1　　　　　　　　B． C． D． 答案　B 解析　因为y＝，所以y′＝，设切点为，所以y′|x＝x0＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以－＝(－x0)，解得x0＝， 所以切线方程的斜率为k＝＝＝.故选B. 4．曲线f(x)＝xex－3x＋1 在(0，1)点处的切线方程是__________． 答案　2x＋y－1＝0 解析　由f(x)＝xex－3x＋1 可得f′(x)＝(x＋1)ex－3，所以f′(0)＝－2， 所以由点斜式可得切线方程为y－1＝－2x，即2x＋y－1＝0. 金榜题名　创新高考总复习　数学(这是双页眉，请据需要手工删加) 第三章　一元函数的导数及其应用(这是单页眉，请据需要手工删加) 题型一　导数的运算 [例1]　(1)(多选)(2025·昆明一诊)下列导数的运算中正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′ ＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 答案　ABD 解析　(3x)′＝3x ln 3，正确； (x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2x ln x＋x，正确； (sin x cos x)′＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，正确； 因为′＝，所以C项错误，其余都正确．故选ABD. (2)(2025·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于(　　) A．e－1　　　　　　　B．＋1 C．1　 D．－＋1 答案　D 解析　f′(x)＝＋， 当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋， 解得f′(1)＝－， 故f(x)＝－＋， 所以f(e)＝－＋＝－＋1. (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．　 　[即时训练] (多选)下列命题正确的是(　　) A．若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x B．设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－ 答案　BD 解析　对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确； 对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确； 对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确； 对于选项D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故选项D正确． 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 [例2]　(1)(2024·全国甲卷)设函数f＝，则曲线y＝f在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　f′＝ ， 则f′＝ ＝3， 即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1， 令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝.故选A. (2)(2025·广东揭阳质检)设a∈R，函数f(x)＝x3－2ax2＋(a＋3)x 的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　) A．y＝3x　 B．y＝－2x C．y＝－3x　 D．y＝2x 答案　A 解析　由题设f′(x)＝3x2－2ax＋(a＋3)是偶函数， ∴3(－x)2－2a(－x)＋(a＋3)＝3x2－2ax＋(a＋3)，解得a＝0， ∴k＝f′(0)＝3， ∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝3x.故选A. 命题点2　求参数的值(范围) [例3]　(1)(2025·石家庄模拟)已知a>0，b>0，直线y＝x＋2a 与曲线y＝ex-1－b＋1 相切，则＋ 的最小值为______． 答案　9 解析　设切点为(x0，y0)，由y＝ex-1－b＋1 得y′＝ex-1，由题意 解得x0＝1，所以1＋2a＝2－b，即2a＋b＝1， 故＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0 )，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．　 　[即时训练] (1)(2025·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　) A．2x－y－2＝0　 B．4x－y－4＝0 C．2x＋y－2＝0　 D．4x＋y－4＝0 答案　C 解析　当x<0时，f(x)＝x3－x， 则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2， 由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2， 则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是 y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. (2)若函数f(x)＝x－＋a ln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2] 解析　f′(x)＝1＋＋(x>0)， 依题意得f′(x)＝1＋＋＝0有解， 即－a＝x＋有解， ∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴－a≥2，即a≤－2. 题型三　两曲线的公切线 [例4]　(2025·武汉质检)若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　) A．－30　 B．－25 C．26　 D．28 答案　C 解析　设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)， 与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m). 对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－， 则2b－＝－1， 解得b＝1或b＝－(舍去). 所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2. 对于函数y＝x3＋nx－52，y′＝3x2＋n， 则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2， 整理得a3＝－27，则a＝－3， 所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26. 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.　 　[即时训练] (2025·佛山一模)已知曲线f(x)＝ 与曲线g(x)＝a ln x(a∈R )相交，且在交点处有相同的切线，则a＝ ______． 答案　 解析　易知：必有a>0. 设两曲线的交点为P(x0，y0)，f′(x)＝，g′(x)＝ (x>0)，由题意 两式相除得：2x0＝x0ln x0，∵x0>0， ∴ln x0＝2⇒x0＝e2. 代入＝a ln x0，得e＝2a， 解得a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$