第2章 第13节 函数模型的应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十三节　函数模型的应用 [课标要求]　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．三种函数模型的性质 　 　函数 性质　 　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随α值变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数， a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b (a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　×　) (3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．(　√　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　) 2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝100x　　　　　 　B．y＝log100x C．y＝x100　 D．y＝100x 答案　D 解析　根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快． 3．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 3 9 27 81 y 2 3.1 4.1 5.2 以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是(　　) A．y＝x＋2　 B．y＝x2 C．y＝×2x－　 D．y＝log3x＋1 答案　D 解析　根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢， 对选项A：增长速度不变，不满足； 对选项B：x≥3 时，增长速度越来越大，不满足； 对选项C：x≥3 时，增长速度越来越大，不满足； 对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足．故选D. 4．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A．26米 B．28米 C．31米 D．33米 答案　C 解析　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5＋，h(t)max＝h＝≈31. 题型一　用函数图象刻画变化过程 [例1]　(1)(多选)(2025·钦州模拟)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标 B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量 答案　BD 解析　由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误； 在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确； 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误； 在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确． (2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx　　　 　 B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx　 D．y＝a＋ 答案　B 解析　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．　 　[即时训练] 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x，0≤x≤1； 当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2； 当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤. 综上，y＝f(x)＝ 函数图象大致如A选项所示． 题型二　已知函数模型的实际问题 [例2]　(1)(2025·湖南岳阳质检)著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365 .可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的≈1481 倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10 000 倍，大约需要经过(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 )(　　) A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 答案　C 解析　经过x天后，“进步”与“落后”的比≥10 000， 所以≥10 000， 两边取以10 为底的对数得x·lg ≥4， 又lg 2≈0.301，lg 3≈0.477， 所以x·(lg 3－lg 2)＝x(0.477－0.301)＝0.176x≥4， 解得x≥≈22.73， 所以大约经过23 天后，“进步”是“落后”的10 000倍．故选C. (2)(2024·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝λe－ ＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．32天　 B．33天 C．34天　 D．35天 答案　C 解析　依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05， 即6.05＝λe－ ＋0.05，解得λ＝6， 所以μ(t)＝6e－ ＋0.05， 由μ(t)＝6e－ ＋0.05≤0.1， 得e－ ≤， 即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6， 又t∈N，所以tmin＝34， 至少需要放置的时间为34天． 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．　 　[即时训练] 从盛满10 L纯酒精的容器里到倒出1 L酒精，然后用水充满，再倒出1 L混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第x(x∈N＋)次倒出纯酒精为f(x)(单位：L)，则函数f(x)的表达式为__________．(假设酒精与水混合后相对体积不变) 答案　f(x)＝0.9x-1(x∈N＋) 解析　第1次酒精残留量y＝10×， 第2次酒精残留量y＝10×， … 即第x－1 次酒精残留量y＝10×，x∈N＋. 则第x(x∈N＋)次倒出纯酒精为f(x)＝10××＝. 故f(x)＝0.9x-1(x∈N＋). 题型三　构造函数模型的实际问题 [例3]　(2025·宣城模拟)某旅游开发公司计划2025年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2025年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2025年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)； (2)当2025年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 解　(1)该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入， 则利润W(x)＝ 化简得W(x)＝ (2)当0<x≤5时，W(x)单调递增， W(x)max＝W(5)＝－25； 当5<x≤20时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝－＝20， 则W(x)max＝W(20)＝200； 当x>20时，∵x＋≥60， 当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立， ∴W(x)max＝W(30)＝－30－＋265＝205. 综上，当2025年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．　 　[即时训练] (2025·咸阳模拟)陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：t＝5730ln ÷0.693 (其中t 为样本距今年代，A0 为现代活体中碳14放射性丰度，A 为测定样本中碳14放射性丰度)，已知现代活体中碳14放射性丰度A0＝1.2×10-12，该人类骨骼碳14放射性丰度A＝7.4×10-13，则该骨骼化石距今的年份大约为(附：ln 1.6216≈0.4834，ln 1.7≈0.5306，ln 1.5≈0.4055)(　　) A．3353 B．3997 C．4125 D．4387 答案　B 解析　由题知，＝≈1.6216， ∴t＝5730ln 1.6216÷0.693≈5730×0.4834÷0.693≈3997.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$