第2章 第12节 函数与方程的综合应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十二节　函数与方程的综合应用 [重点解读]　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置． 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 [例1]　(1)(2025·宿迁质检)函数y＝mx2－6x＋1 有且只有一个零点，则实数m的值为(　　) A．9　　　　　　　 　B．12 C．0或9 D．0或12 答案　C 解析　因为y＝mx2－6x＋1，令y＝0，得到mx2－6x＋1＝0， 当m＝0 时，－6x＋1＝0，得到x＝，满足题意， 当m≠0 时，因为函数y＝mx2－6x＋1 有且只有一个零点，故Δ＝36－4m＝0，得到m＝9. 综上，m＝0 或m＝9.故选C. (2)(2025·哈尔滨模拟)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为(　　) A．－4　 B．－5 C．－6　 D．－7 答案　A 解析　因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2， 且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3， 则由题意可得即 解得－<m<－， 又m∈Z，可得m＝－4. 命题点2　其他函数的零点分布 [例2]　(2025·潮州模拟)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f(x)－a的两个零点分别在区间(－1，0)和内，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，1) C．(ln 2，1) D． 答案　A 解析　先作出f(x)＝的图象， 令f(x)＝a，在区间(－1，0)内时，ex＝a， x＝ln a，得到－1<ln a<0，所以<a<1； 在区间内时，ln 2x＝a，x＝， 则<<1，解得1<ea<2，所以0<a<ln 2. 综上，得a∈. 对于二次函数零点分布的研究一般从 以下几个方面入手 (1)开口方向． (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系． (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数． (4)区间端点值．　 　[即时训练] (1)(2025·昆明一诊)若函数f(x)＝ 恰有2 个零点，则a 的取值范围是 (　　) A．(－∞，1)　 B．(0，2) C．(0，＋∞)　 D．[1，2) 答案　D 解析　因为f(x)＝x(x－a)，x≥1时至多有一个零点，单调函数f(x)＝2x－a，x<1至多一个零点， 而函数f(x)＝恰有2 个零点， 所以需满足f(x)＝x(x－a)，x≥1 有1个零点，f(x)＝2x－a，x<1 有1个零点， 所以解得1≤a<2，故选D. (2)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是(　　) A．　 B．(0，100) C．　 D．(75，100) 答案　C 解析　画出f(x)的图象如图． 由题意可知－log5x1＝log5x2⇒x1x2＝1， －cos x3＝－cos x4， 由图象可知x3，x4关于直线x＝10对称， 所以x3＋x4＝20，因此x1x2x3x4＝x3x4， 当－cos x3＝－cos x4＝1时，x3＝5，x4＝15，此时x3x4＝75， 当－cos x3＝－cos x4＝0时，x3＝，x4＝，此时x3x4＝， 当存在x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a∈(0，1)时，此时x1x2x3x4＝x3x4∈. 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 [例3]　已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　) A．4　 B．5 C．6　 D．7 答案　B 解析　令t＝f(x)，g(x)＝0， 则f(t)－2t＋1＝0， 即f(t)＝2t－1， 分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示， 由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2， 则t1＝0，1<t2<2， 对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示， 由图象可得， 当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根， 当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根， 综上可得g(x)＝0的实根个数为5， 即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5. 命题点2　根据复合函数零点求参数 [例4]　(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t有七个不同的零点，则实数t的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D．∪{1} 答案　D 解析　令g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t＝0， 解得f(x)＝或f(x)＝t， 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， y＝f(x)与y＝有4个交点， 即方程f(x)＝有4个不相等的实根， 由题意可得，方程f(x)＝t有3个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝t有3个交点， 故实数t的取值范围是∪{1}． 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.　 　[即时训练] 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为________． 答案　(0，1] 解析　由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0，1). 综上，m∈(0，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$