第2章 第11节 函数的零点与方程的解(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十一节　函数的零点与方程的解 [课标要求]　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【常用结论】 　若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　×　) (3)若连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　×　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(　×　) 2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A．y＝2x　　　　　　　B．y＝(x－2)2 C．y＝x＋－3 D．y＝ln x 答案　B 解析　对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点． 3．方程logax＝x－2(0<a<1)的实数解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　在同一直角坐标系中画出函数y＝logax(0<a<1)和y＝x－2 的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程logax＝x－2(0<a<1)的实数解的个数为1，故选B. 4．函数f(x)＝|x－1|－x 的零点是________． 答案　 解析　令f(x)＝|x－1|－x＝0， 则|x－1|＝x，解得x＝. 题型一　函数零点所在区间的判定 [例1]　(1)(2025·忻州模拟)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　　B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案　C 解析　函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝－log23＝1－log23<0， 所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2，3)内． (2)用二分法求函数f(x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵开区间(－1，0)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　 　[即时训练] (1)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案　C 解析　函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝－log23＝1－log23<0， 所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2，3)内． (2)函数f(x)＝log2x＋2x－6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且n∈N，则n＝________． 答案　2 解析　函数f(x)＝log2x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增， f(2)＝log22＋22－6＝－1<0， f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0， 即f(2)f(3)<0， 因此函数f(x)的唯一零点在(2，3)内， 所以n＝2. 题型二　函数零点个数的判定 [例2]　(1)(2025·洛阳模拟)函数y＝x2－(a＋1)x＋a 的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 答案　C 解析　由y＝x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－1)·(x－a)＝0，得x＝1 或x＝a， 当a＝1 时，函数的零点个数为1； 当a≠1 时，函数的零点个数为2. 所以该函数的零点个数是1或2.故选C. (2)若函数y＝f(x)，x∈R满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈(－1，1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝log4|x|的图象的交点的个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　由题意得f(x)是以2为周期的偶函数， 作出y＝f(x)与y＝log4|x|的函数图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有6个交点． 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．　 　[即时训练] (1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0　 B．1　 C．2　 D．3 答案　C 解析　函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点， 即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解， 即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. (2)(2025·石家庄模拟)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________个． 答案　2 解析　在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2. 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 [例3]　(2025·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A．　 B．(0，＋∞) C．　 D．(0，2] 答案　D 解析　如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x， 由k－x＝x2＋2x＋2可得， x2＋3x＋2－k＝0， Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－， 故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切； 当k＝0时，直线y＝－x经过点(0，0)， 且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点； 当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0，2)， 且与f(x)的图象有3个不同的交点． 由图分析可知，当k∈(0，2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点． 命题点2　根据函数零点的范围求参数 [例4]　(2025·信阳质检)函数f(x)＝log2x＋x2＋m 在区间(2，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是(　　) A．(－∞，－18)　 B．(5，＋∞) C．(5，18)　 D．(－18，－5) 答案　D 解析　由零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m 在区间(2，4)上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0， 解得－18<m<－5， 所以实数m 的取值范围是(－18，－5).故选D. 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 　 　[即时训练] (1)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，4)　 B．(0，3) C．(0，2)　 D．(0，1) 答案　A 解析　作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示， g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点， 所以实数a的取值范围为(0，4). (2)(多选)函数f(x)＝2x－－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　BC 解析　因为函数y＝2x，y＝－在区间(1，2)上单调递增， 所以函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增， 由函数f(x)＝2x－－a 的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0， 解得0<a<3，故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$