第2章 第10节 函数的图象(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十节　函数的图象 [课标要求]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|． ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 【常用结论】 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x). 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　×　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　) 2．若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x| 的大致图象是(　　) 　　 　 A　　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　　D 答案　A 解析　∵|x|≥0，且y＝a|x| 的值域为[1，＋∞)，∴a>1， 当x>0 时，y＝loga|x|＝logax 在(0，＋∞)上是增函数． 又函数y＝loga|x|＝loga|－x|，所以y＝loga|x|为偶函数，图象关于y轴对称， 所以y＝loga|x| 的大致图象应为选项A.故选A. 3．函数f(x)＝ln (x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由于函数f(x)＝ln (x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点． 4．函数f(x)＝x2(2－2|x|)的部分图象大致是(　　) 　　　 　　　A　　　　　　　　　　B 　　　 　　　C　　　　　　　　　　D 答案　B 解析　f(x)＝x2(2－2|x|)定义域为R， 且f(－x)＝(－x)2(2－2|－x|)＝x2(2－2|x|)＝f(x)， 故f(x)＝x2(2－2|x|)为偶函数，关于y轴对称，AC错误； f(1)＝0，f＝×>0，故B正确，D错误．故选B. 题型一　作函数图象 [例1]　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1的图象如图所示． 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域．　 　[即时训练] 作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解　(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． 题型二　函数图象的识别 [例2]　(1)(2025·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案　C 解析　由题意知函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A； 因为f(1)＝>0，故排除B； 因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D. (2)(2024·全国甲卷)函数f＝－x2＋sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 　　　　 A　　　　　　　　　　B 　　　　 C　　　　　　　　　　D 答案　B 解析　f＝－x2＋sin ＝－x2＋sin x＝f， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又f＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0.故可排除D.故选B. 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断．　 　[即时训练] (1)(2025·齐齐哈尔联考)函数f(x)＝ax－a (a>0，且a≠1 )的图象可能是(　　) 　　　　 　　A　　　　　　　　　　B 　　　　 　　C　　　　　　　　　　D 答案　C 解析　因为函数f(x)＝ax－a (a>0，且a≠1 )， 当a>1 时，y＝ax 是增函数，并且恒过定点(0，1)， 又因为f(x)＝ax－a 的图象在y＝ax 的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当0<a<1 时，y＝ax 是减函数，并且恒过定点(0，1)， 又f(x)＝ax－a 的图象在y＝ax 的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A、B错误．故选C. (2)(2025·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　) 答案　B 解析　函数f(x)＝ 所以y＝g(x)＝f(1－x)＝ 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故A，C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减， 故D错误，B正确． 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 [例3]　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 答案　AB 解析　因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误． 命题点2　利用图象解不等式 [例4]　(2025·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 命题点3　利用图象求参数的取值范围 [例5]　(2025·保定联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0，1)　　　　　　　B．(0，2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点， 则f(x)＝a有三个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f(x)＝1－3x+1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0，1)； 当－1<x≤0时，f(x)＝3x+1－1在(－1，0]上单调递增，f(x)∈(0，2]； 当x>0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示． 由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0，1). 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．　 　[即时训练] (1)把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln |x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为. (3)(多选)记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}，则以下实数m的取值范围中，满足f(m)<1的有(　　) A．(－1，4) B．(－1，1) C．(3，4) D．(4，＋∞) 答案　BC 解析　函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}的图象如图所示． 由⇒⇒A(4，1)， 由⇒⇒B(－1，1)， 由－x2＋4x－2＝1，得x＝1或x＝3， 由图象可知，当－1<m<1或 3<m<4时，f(m)<1，因此选项B、C符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$