第2章 第9节 指、对、幂的大小比较(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第九节　指、对、幂的大小比较 [重点解读]　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 [例1]　(2025·郑州质检)设a＝0.80.8，b＝0.80.9，c＝0.90.8，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．c>b>a　　　　　　　B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b 答案　D 解析　令f(x)＝0.8x， 由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递减， 又因为0.8<0.9， 所以f(0.8)>f(0.9)， 即0.80.8>0.80.9， 所以a>b， 令g(x)＝x0.8， 由幂函数的性质可知g(x)＝x0.8 在(0，＋∞)上单调递增， 又因为0.8<0.9， 所以g(0.8)<g(0.9)，所以0.80.8<0.80.9， 即a<c， 所以b<a<c.故选D. 命题点2　找中间值 [例2]　(2025·无锡模拟)已知a＝log72，b＝，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　∵0＝log71<log72<log7＝， ∴0<a<. ∵＝log0.70.1>log0.70.7＝1，∴b>1. ∵1＝0.60>0.60.4>0.50.4>0.51＝， ∴<c<1.∴a<c<b. 命题点3　特殊值法 [例3]　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， 则ac＝4，bc＝2，∴ac>bc，故A错误； abc＝4×2＝2，bac＝2×4＝2， ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2， alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 利用特殊值作“中间量”比较大小 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．　 　[即时训练] (1)(2025·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　由y＝0.3x为减函数， 得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1， 由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0， ∴c<a<b. (2)(2025·镇江模拟)若a＝2，b＝log2，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案　B 解析　∵a＝2 >20＝1，且b＝log2<log21＝0， 又∈，∴c＝sin ∈(0，1)，∴a>c>b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 [例4]　(2025·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 答案　A 解析　∵a＝log34＝，b＝log45＝， c＝log56＝， ∴a－b＝－＝>＝ ＝>0， ∴a>b， 又b－c＝－＝>＝ ＝>0， ∴b>c，故a>b>c. 命题点2　作商法 [例5]　已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　B 解析　∵y＝0.3x是减函数，∴0.30.3>0.30.4，即b>c>0，又＝＝>1，即a>b，∴a>b>c. 命题点3　乘方法 [例6]　已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　D 解析　因为53＝125>(3)3 ＝81，所以5>3， 所以log35>log33 ＝，即a>c. 因为73＝343<(5)3 ＝625，所以7<5， 所以log57<log55 ＝，即b<c.所以a>c>b. 命题点4　对数法 [例7]　已知a＝，b＝，则a，b的大小关系为________． 答案　a<b 解析　构建函数f(x)＝x ln (x>0)， 则f′(x)＝ln －， 令g(x)＝ln －(x>0)， 则g′(x)＝－<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 025)>f(2 024)，即a<b. 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式．　 　[即时训练] (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 答案　A 解析　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以＝＝·＝>1， 则2x>3y， ＝＝·＝<1，则2x<5z. 所以3y<2x<5z. 学科网（北京）股份有限公司 $$