第2章 第8节 对数与对数函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第八节　对数与对数函数 [课标要求]　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg_N． 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln_N． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN ＝N(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R). (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【常用结论】 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，logambn ＝logab(a>0，且a≠1，b>0). 2．如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.(　×　) (4)函数y＝log2x与y＝logx 的图象关于x轴对称．(　√　) 2．已知xlog32＝1，则4x等于(　　) A．9　　　　　　　　B．3 C． D． 答案　A 解析　xlog32＝1， 即x＝＝log23， 所以4x＝4log23＝22log23＝2log29＝9. 3．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y＝logx，y＝logx，y＝log5x 的一个是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 答案　B 解析　∵log<log＝log， ∴ (3)是y＝logx，(4)是y＝logx，又y＝logx＝－log5x 与y＝log5x 关于x 轴对称， ∴ (1)是y＝log5x.故选B. 4．函数f(x)＝loga(x－1)＋1 (a>0 且a≠1 )的图象恒过定点(　　) A．(2，2) B．(2，1) C．(3，2) D．(2，0) 答案　B 解析　由对数函数的性质，令x－1＝1，即x＝2，此时f(x)＝1，故函数f(x)＝loga(x－1)＋1 的图象恒过定点(2，1).故选B. 题型一　对数式的运算 [例1]　(1)(2025·济宁模拟)若2m＝3n＝k 且＋＝2，则k＝ (　　) A．　　　　　　　　B． C．5 D．6 答案　B 解析　因为2m＝3n＝k 且＋＝2，所以m≠0 且n≠0，所以k>0 且k≠1， 且有m＝log2k，n＝log3k，所以＝logk2，＝logk3， 所以＋＝logk2＋logk3＝logk6＝2，则k2＝6， 又因为k>0 且k≠1，所以k＝.故选B. (2)计算：log535＋2log －log5－log514＝________． 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋log()2＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．　 　[即时训练] (1)(2024·全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝________． 答案　64 解析　由－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， ⇒log2a＝－1 或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. (2)(2025·广州模拟)若3a＝6，b＝log26，则＋＝________． 答案　1 解析　因为3a＝6，所以a＝log36, 所以＋＝＋＝log63＋log62＝log66＝1. 题型二　对数函数的图象及应用 [例2]　(1)(2025·深圳质检)当a>1 时，在同一平面直角坐标系中，y＝ 与y＝loga(－x)的图象是(　　) 　　　 A　　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　　D 答案　B 解析　y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故AD错误；BC中，又因为a>1，所以0<<1，故C错误，B正确．故选B. (2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10，12] B．(10，12] C．(10，12) D．[10，12) 答案　C 解析　不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图象可知0<a<1<b<10<c<12， 由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|， 即－lg a＝lg b， ∴lg ab＝0，则ab＝1， ∴abc＝c，又10<c<12， ∴abc的取值范围是(10，12). 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　 　[即时训练] (1)(2025·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝logx (a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　C 解析　对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)函数y＝|lg (x＋1)| 的图象是(　　) 　　　　 A　　　　 　　　　　B 　　 C　　　　 　　　　　D 答案　A 解析　由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x 的图象左移一个单位而得到，函数y＝lg x 的图象与x 轴的交点是(1，0)， 故函数y＝lg (x＋1)的图象与x 轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)| 的图象与x 轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A. 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 [例3]　(2025·德州质检)设a＝e0.7，b＝30.8，c＝log3e，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　因为c＝log3e<log33＝1，又1<e0.7<e0.8<30.8, 所以c<a<b.故选C. 命题点2　解对数方程、不等式 [例4]　(2025·衡阳模拟)若loga<2，则a的取值范围是(　　) A．∪(1，＋∞) B． C． D．∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为loga<2， 所以loga<logaa2. 当0<a<1时，对数函数为减函数， 所以>a2，可得0<a<； 当a>1时，对数函数为增函数， 所以<a2，可得a>1， 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞). 命题点3　对数函数的性质及应用 [例5]　(2025·郑州模拟)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 答案　D 解析　由f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|， 得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A、C； 当x∈时， f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)， ∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增， y＝ln (1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ ln (1－2x)＝ln ＝ln ， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．　 　[即时训练] (1)(2025·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 答案　A 解析　由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞). (2)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D．(1，2) 答案　B 解析　令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4<0， 解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$