第2章 第7节 指数与指数函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第七节　指数与指数函数 [课标要求]　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：a ＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：a－＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 续表 a>1 0<a<1 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 【常用结论】 1．指数函数图象的关键点(0，1)，(1，a)，. 2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　×　) (2)2a·2b＝2ab.(　×　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) 2．如果函数f(x)＝2a·3x 和g(x)＝2x－(b+3) 都是指数函数，则ab＝ (　　) A．　　　　　　　　B．1 C．9 D．8 答案　D 解析　根据题意可得2a＝1⇒a＝，－(b＋3)＝0⇒b＝－3，则ab＝＝8.故选D. 3．已知关于x的不等式-4≥3-2x，则该不等式的解集为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4，1] 答案　A 解析　不等式-4≥3-2x，即34-x≥3-2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞). 4．＋＋0.25 ×4＝______． 答案　5 解析　＋＋0.25 ×4 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 题型一　指数幂的运算 [例1]　计算： (1)－2× －2×＋2； (2)2×3×. 解　(1)原式＝－2×－2＋ ＝－2×－2＋　 ＝－2×－2＋ ＝－－2＋＝－. (2)原式＝2×3×3××(22×3) ＝6×2－＋×3＋＋ ＝6×3＝18. (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．　 　[即时训练] (多选)下列计算正确的是(　　) A．＝ B．(ab)(－3ab)÷＝－9a(a＞0，b＞0) C.＝ D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 答案　BC 解析　对于A，＝＝3＝3 ＝≠，所以A错误； 对于B，(ab)(－3ab)÷＝－9a＋－·b＋－＝－9a(a＞0，b＞0), 所以B正确； 对于C, ＝＝9＝3 ＝，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误． 题型二　指数函数的图象及应用 [例2]　(1)(2025·福州质检)函数f(x)＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为(　　) 　 　 　A　　　　　　　　　　B 　 　 　C　　　　　　　　　　D 答案　C 解析　当a>1 时，f(x)＝ 显然当x≥1 时，函数单调递增，当x<1 时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为y＝a，而a>1，故AB不符合； 对于CD，因为渐近线为y＝2，所以a＝2，故x＝0 时，y＝1， 故选项C符合，D不符合； 当0<a<1 时，f(x)＝ 当x≥1 时，函数单调递增，当x<1 时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为y＝a，而0<a<1，故ABD不符合．故选C. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0，2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示， ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0，2). 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．　 　[即时训练] (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A．a>1　　　　　　　B．0<a<1 C．b>1 D．0<b<1 答案　BD 解析　观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 [例3]　已知<<，则(　　) A．aa>ab>bb B．aa>bb>ab C．bb>aa>ab D．ab>bb>aa 答案　A 解析　因为函数y＝ 在R上单调递减，<<， 所以a>b>1， 因为函数y＝ax(a>1)在R为增函数，所以aa>ab， 又y＝xb(b>1)在(0，＋∞)上单调递增，所以ab>bb， 综上，aa>ab>bb.故选A. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 [例4]　(2025·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围可以是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 答案　D 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. 又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3　指数函数性质的综合应用 [例5]　(2025·郑州模拟)已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数． (1)求b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求k的取值范围． 解　(1)因为定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数， 所以f(0)＝＝0，解得b＝1， 经检验，当b＝1 时，f(x)＝＝·， f(－x)＝·＝·＝－·＝－f(x)，函数为奇函数， 所以b＝1. (2)f(x)＝·＝，显然f(x)是减函数， 由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)， 即f(t2－2t)<f(－2t2＋k)，t2－2t>－2t2＋k，3t2－2t>k. 当t＝ 时，函数y＝3t2－2t 有最小值为ymin＝－，∴k<－. 故k的取值范围为. (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C.函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案　ABC 解析　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确； 因为f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝是减函数， 所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确． (2)函数y＝+1(x∈[－1，2])的最大值为________． 答案　8 解析　设t＝－x2＋1， 因为x∈[－1，2]， 所以当x＝0 时，t 有最大值1， 当x＝2 时，t 有最小值－3， 即－3≤t≤1， 所以≤≤8，即y＝ 的取值范围是， 所以函数的最大值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$