第2章 第6节 二次函数与幂函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第六节　二次函数与幂函数 [课标要求]　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 续表 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 (－，) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－]上 单调递减； 在[－，＋∞)上 单调递增 在(－∞，－] 上单调递增； 在[－，＋∞) 上单调递减 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x 是幂函数．(　×　) (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　) (3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).(　×　) (4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　) 2．已知幂函数f(x)的图象过点，则f 等于(　　) A．　　　　 　 　B． C． D． 答案　C 解析　设f(x)＝xa，因为幂函数f(x)的图象过点，所以a＝， 即f(x)＝，所以f＝.故选C. 3．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2，2)，则函数f(x)的值域为(　　) A．(2，10) B．[1，2) C．[2，10] D．[1，10) 答案　D 解析　当x∈(－2，2)时，－3<x－1<1， 则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1，10). 4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，4] 解析　由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减， 可得－≥－3，即a≤4， 故实数a的取值范围是(－∞，4]. 题型一　幂函数的图象与性质 [例1]　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2　　　　B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象： 当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2. (2)(2025·德州模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5 在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A．27 B．9 C． D． 答案　A 解析　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x-2， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．　 　[即时训练] (1)(2025·安徽联考质检)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2－4m＋1 在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝ (　　) A．3 B．1 C．－1或3 D．1或－3 答案　A 解析　因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2－4m＋1 为幂函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－2＝1 且m2－4m＋1<0，又m2－2m－3＝0，可得m＝－1 或m＝3. 当m＝－1 时，满足m2－4m＋1>0，舍去； 当m＝3 时，满足m2－4m＋1<0. 综上m＝3.故选A. (2)已知幂函数y＝x-1，直线y＝x，y＝1，x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”(如图所示)，那么，幂函数y＝x－ 的图象在第一象限中经过的“卦限”是(　　) A．Ⅵ，Ⅶ B．Ⅳ，Ⅷ C．Ⅲ，Ⅷ D．Ⅲ，Ⅶ 答案　B 解析　显然，图中图象下降的曲线表示的函数为y＝x-1， 因为－<0， 所以函数y＝x－ 在(0，＋∞)上单调递减． 当x＝时，1<＝2<2＝， 则y＝x－ 的图象在直线y＝1的上方，在y＝x-1的图象的下方，即y＝x－ 的图象过Ⅳ； 当x＝2时，2-1<2－<20＝1，　 则y＝x－ 的图象在直线y＝1的下方，在y＝x-1的图象的上方，即y＝x－ 的图象过Ⅷ. 题型二　二次函数的解析式 [例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解　法一：(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．　 　[即时训练] 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝x2－4x＋3 解析　依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0，3)，得f(0)＝3， 所以4a＋h＝3，即h＝3－4a， 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a， 令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0， 所以ax2－4ax＋3＝0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， 所以16－＝10，解得a＝1， 所以f(x)＝x2－4x＋3. 题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 [例3]　(多选)(2025·赣州模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a＋c<b D．abc<0 答案　ACD 解析　由题意得a<0，对称轴为x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确； 当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c<b，故C正确； 当x＝0时，y＝c>0，则abc<0，故D正确； 当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误． 命题点2　二次函数的单调性与最值 [例4]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，a∈R. (1)若y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，求a的取值范围； (2)若当0≤x≤2时，函数y＝f(x)的最小值是关于a的函数m(a)，求m(a)的表达式． 解　(1)函数f(x)＝x2＋ax＋3－a图象的对称轴为直线x＝－. 因为f(x)在区间[－1，3]上是单调函数， 所以－≥3或－≤－1. 故a≤－6或a≥2. (2)当－≤0，即a≥0时，f(x)在区间[0，2]上单调递增，m(a)＝f(0)＝3－a； 当0<－<2，即－4<a<0时， f(x)在区间上单调递减，在上单调递增， m(a)＝f＝－a2－a＋3； 当－≥2，即a≤－4时，f(x)在区间[0，2]上单调递减，m(a)＝f(2)＝a＋7. 综上，m(a)＝ 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 典例　(1)已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4　　　　　　　　B． C．2 D． 答案　A 解析　因为f(x)＝－x2＋x＝－(x—1)2＋≤的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. (2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 答案　A 解析　函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b， ①当b>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；　 ②当b<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a， ∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关， 综上，M－m的值与a无关，与b有关． 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．　 　[即时训练] (1)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 答案　C 解析　y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)为二次函数，图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标， 其中f(m)＝f(n)＝2 025， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. (2)(2025·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________． 答案　[2，4] 解析　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调， 则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$