第2章 第4节 函数的对称性(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　函数的对称性 [课标要求]　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．(　√　) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　) (3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(　×　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　) 2．函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　) A．(0，0)　　　　　　B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 答案　B 解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称． 3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3) 答案　A 解析　因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3). 4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点______． 答案　(－1，2) 解析　y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 题型一　轴对称问题 [例1]　(1)(2025·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f 等于(　　) A．　　　　　　　B．－ C． D．－ 答案　A 解析　由函数f(x＋1)为偶函数， 可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4， 所以f ＝f ＝－f ＝－＝. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 答案　(－1，1) 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1，1). 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．　 　[即时训练] (1)(2025·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 答案　D 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f(－1)<f(2)<f(1). (2)(2025·承德统考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 答案　D 解析　由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 题型二　中心对称问题 [例2]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确． (2)(2025·南京模拟)已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝________． 答案　0 解析　因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 又f(－x)＝f(2＋x)， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的一个周期为4， 所以f(18)＝f(2)＝0. 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．　 　[即时训练] (1)(2025·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞). (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于(　　) A．7 B．2 C．－2 D．－ 答案　C 解析　因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n， 若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7. 故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2. 题型三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．　 　[即时训练] 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex-1 B．y＝e1-x C．y＝e2-x D．y＝ln x 答案　C 解析　与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2-x，即y＝e2-x. 学科网（北京）股份有限公司 $$