第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　函数的奇偶性、周期性 [课标要求]　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【常用结论】 1．函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(　×　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(　√　) 2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为(　　) A．[－2，0]∪[2，＋∞) B．(－∞，－2]∪(0，2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] 答案　D 解析　由题意可得，奇函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都为单调递增函数， 且f(－2)＝f(2)＝0，函数图象示意图如图所示， 故不等式≥0，即≥0，即≤0， 结合f(x)的示意图可得它的解集为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，故选D. 3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于(　　) A．　　　　　　　B． C．2 D．1 答案　B 解析　由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2. ∵当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1， ∴f(2 024.5)＝f ＝f ＝＋1＝. 4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________． 答案　(－2，0)∪(0，2) 解析　根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示． xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0. 结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2). 题型一　函数奇偶性的判断 [例1]　(1)(2025·盐城检测)下列函数中，是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x3　　　　　B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝1 D．f(x)＝ 答案　C 解析　对于A，函数f(x)＝x3 的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，f(x)不是偶函数，A不是； 对于B，函数f(x)＝|x－1| 的定义域为R，f(－x)＝|－x－1|＝|x＋1|≠f(x)，f(x)不是偶函数，B不是； 对于C，函数f(x)＝1 的定义域为R，f(－x)＝1＝f(x)，f(x)是偶函数，C是； 对于D，函数f(x)＝ 的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，f(x)不是偶函数，D不是．故选C. (2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案　奇 解析　由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)， 故f(0)＝0. 令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 故f(－x)＝－f(x).故f(x)为奇函数． 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　 　[即时训练] (2025·福州模拟)下列函数中，是奇函数的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝|x| C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2－1 答案　A 解析　对于A，f(x)＝x 的定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，A是； 对于B，f(x)＝|x| 的定义域为R，f(－x)＝|－x|＝f(x)，函数f(x)不是奇函数，B不是； 对于C，f(x)＝x2 的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝f(x)，函数f(x)不是奇函数，C不是； 对于D，f(x)＝x2－1 的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－1＝f(x)，函数f(x)不是奇函数，D不是．故选A. 题型二　函数奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求值(解析式) [例2]　(1)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于(　　) A．4 B．6 C．－4 D．－6 答案　B 解析　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 设g(x)＝f(x)－5＝2x－2－x， 则g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)， 即g(x)是奇函数， 故g(m)＋g(－m)＝0， 即f(m)－5＋f(－m)－5＝0， 即f(m)＋f(－m)＝10， 因为f(m)＝4，所以f(－m)＝6. (2)(2025·吕梁月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________． 答案　－ex＋2x＋1 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 则当x＝0时，f(0)＝0. 当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1， 又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0， 则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 命题点2　利用奇偶性解不等式 [例3]　(2025·辽宁丹东质检)若偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(5)＝－f(－5)，则不等式xf(x－1)>0 解集是(　　) A．(－4，0)∪(6，＋∞) B．(－4，6) C．(－∞，－4)∪(6，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0，6) 答案　A 解析　因为f(x)是偶函数，所以由f(5)＝－f(－5)⇒f(5)＝－f(5)⇒f(5)＝0， 当x>0 时，由xf(x－1)>0⇒f(x－1)>0＝f(5)⇒f(|x－1|)>f(5)， 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(|x－1|)>f(5)⇒|x－1|>5⇒x>6，或x<－4， 而x>0，所以x>6； 当x<0 时，由xf(x－1)>0⇒f(x－1)<0＝f(5)⇒f(|x－1|)<f(5)， 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(|x－1|)<f(5)⇒|x－1|<5⇒－4<x<6， 而x<0，所以－4<x<0，故选A. 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性． (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f －f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f . (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f ＝；　 ③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝； ④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x). 典例　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(－2)＝－1 C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D．f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024 答案　AB 解析　对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)， 故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 025)＋f(2 025)＝f(－2 024)＋f(2 024)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝0，故D错误． (2)已知函数f(x)满足：①对∀m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)；②f ＝－1.请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝________． 答案　log2x(答案不唯一，符合条件即可) 解析　因为对∀m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)， 所以f(x)在(0，＋∞)上可能为对数函数， 故f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足条件①， 又f ＝－1，所以f(x)＝log2x， 故符合上述条件的函数可以为f(x)＝log2x. (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．　 　[即时训练] (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 答案　B 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数， 则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1， f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e. (2)(2025·四川自贡质检)已知g(x)为定义在R 上的奇函数，且对任意实数a≠b，有<0，若g(m)＋g(m－2)>0，则实数m 的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　D 解析　对任意实数a≠b，有<0，所以函数g(x)在R 上单调递减， 又因为函数g(x)为定义在R 上的奇函数，且g(m)＋g(m－2)>0，则g(m)>g(2－m)，所以m<2－m，2m<2, 得m<1.故选D. (3)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案　B 解析　法一：因为f(x)为偶函数， 则 f(1)＝f(－1)， 即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝x ln . 由(2x－1)(2x＋1)>0， 解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln 9＝(－x)ln ＝(－x)ln 1 ＝x ln ＝f(x)， 此时f(x)为偶函数，符合题意． 故a＝0. 法二：设g(x)＝ln ， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数． 若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数， 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 题型三　函数的周期性 [例4]　(1)(2025·安康模拟)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为2， 故f ＝f ＝f ＝f ＝. (2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 答案　D 解析　因为f(x)的周期为3， f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1， 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)＝f(－1)＝1， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．　 　[即时训练] (多选)(2025·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4，0)对称 答案　ACD 解析　因为f(x＋2)＋f(x)＝0， 所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期是4，故C正确； 又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，f(0)＝0， 所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确； 又f(x)的一个周期为4，且为奇函数， 所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确； 因为f(x)的图象关于(0，0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4，0)对称，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$