第2章 第2节 函数的单调性与最值(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　函数的单调性与最值 [课标要求]　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看 图象是上升的 自左向右看 图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M． (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M． 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 【常用结论】 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3，2]上单调递增．(　×　) (2)若函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2，3).(　×　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　√　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　×　) 2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1　 　　　B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝2x 答案　A 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 3．函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．不存在 答案　A 解析　y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1，2]上单调递增， 所以ymax＝－＝－. 4．若函数f(x)＝2x2＋mx－1 在区间(－1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．　 答案　[4，＋∞) 解析　二次函数f(x)＝2x2＋mx－1 的图象开口向上，单调增区间为， 又函数f(x)＝2x2＋mx－1 在区间(－1，＋∞)上是增函数， 则－≤－1，解得m≥4，则实数m 的取值范围是[4，＋∞). 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 [例1]　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－　　　　　B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) 答案　ACD 解析　∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 [例2]　求证：函数f(x)＝(a>1)在区间(－1，＋∞)上是减函数． 证明　设∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， ∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， ∴x1＋1>0，x2＋1>0, x1－x2<0. 又a>1， ∴1－a<0， ∴>0，即f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在区间(－1，＋∞)是减函数． 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.　 　[即时训练] (1)(2025·乐山检测)函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)和(2，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　 函数f(x)＝(x－4)·|x|＝的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞). (2)(2025·唐山模拟)函数f(x)＝log(2x2－3x－2)的单调递增区间为________． 答案　 解析　令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝logt 在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 [例3]　(2025·湘潭月考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4). 命题点2　求函数的最值 [例4]　当x∈∪ 时，则函数y＝ 的值域为(　　) A．(－∞，0) B． C．(－∞，0)∪ D． 答案　C 解析　令8－5x＝t，因为x∈∪，所以t∈(0，8]∪(－∞，0)， 当t∈(0，8]时，函数f(t)＝ 单调递减，故f(t)≥f(8)＝， 当t∈(－∞，0)时，即t<0，所以f(t)＝<0， 所以函数的值域为(－∞，0)∪.故选C. 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞)　 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞).命题点3　解函数不等式 [例5]　(2025·深圳高级中学开学考试)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是减函数，且f(2a－1)<f(2－a)，则实数a 的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1) C．(0，2) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　因为函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是减函数，且f(2a－1)<f(2－a)， 则有 解得1<a<2，所以实数a 的取值范围是(1，2).故选A. 命题点4　求参数的取值范围 [例6]　(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D． 答案　C 解析　∵f(x)＝在R上是减函数， ∴ 解得0<a≤， ∴a的取值范围是. (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．　 　[即时训练] (1)(2025·聊城模拟)已知函数f(x)＝ 在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则整数a 的取值可以为(　　) A．－2 B．2 C．0 D．1 答案　A 解析　由题意可得解得－2≤a≤－1， ∴整数a的取值可以为－2.故选A. (2)“a＝3 ”是“函数f(x)＝－|x－a| 在区间[3，＋∞)上为减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f(x)＝－|x－a|的图象如图所示， 要想函数f(x)＝－|x－a|在区间[3，＋∞)上为减函数，必须满足a≤3， 因为{3}是{a|a≤3}的子集， 所以“a＝3 ”是“函数f(x)＝－|x－a|在区间[3，＋∞)上为减函数”的充分不必要条件．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$