第2章 第1节 函数的概念及其表示(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

　　　　第二章　函　数 第一节　函数的概念及其表示 [课标要求]　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　×　) (3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　√　) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　) 2．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 　 　A　　　　　　　　　B 　 　C　　　　　　　　　D 答案　B 解析　选项A中，当x＝8 时，y＝0，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选B. 3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝ B．y＝x2与y＝(x－1)2 C．y＝与y＝x D．y＝1与y＝x0 答案　BCD 解析　对于A选项，y＝的定义域是[－3，3)，y＝的定义域是[－3，3)， 并且＝，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； 对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数； 对于C选项，y＝＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； 对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数． 4．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝ ________． 答案　－6 解析　因为f(－4)＝f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝1－3－4＝－6， 所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(1)＝1－3－4＝－6. 金榜题名　创新高考总复习　数学(这是双页眉，请据需要手工删加) 第二章　函　数(这是单页眉，请据需要手工删加) 题型一　函数的概念 [例1]　(1)(2025·重庆测试)下列四组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x 与g(x)＝|x| B．f(x)＝ 与g(x)＝()2 C．f(x)＝ 与g(x)＝ D．f(x)＝x 与g(x)＝ 答案　D 解析　对选项A，因为f(x)＝x定义域为R，g(x)＝|x| 定义域为R，定义域相同，但f(x)≠g(x)，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故A错误； 对选项B，因为f(x)＝定义域为R，g(x)＝ 定义域为{x|x≥－2}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故B错误； 对选项C，因为f(x)＝ 定义域为{x|x≥0}，g(x)＝定义域为{x|x>0}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故C错误； 对选项D，因为f(x)＝x 定义域为R，g(x)＝ 定义域为R，又g(x)＝＝x＝f(x)，所以f(x)，g(x)是同一函数，故D正确．故选D. (2)(2025·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(x－1)的定义域为________． 答案　[－1，4] 解析　由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4， 所以函数f(x－1)的定义域为[－1，4]. 函数的含义及判断两个函数是 同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．　 　[即时训练] (1)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 答案　C 解析　对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． (2)(2025·承德模拟)若函数f(x)的定义域为[－2，4]，则函数y＝的定义域为(　　) A．(1，8]　　　　　B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2] 答案　D 解析　由题意得 解得－1≤x≤2且x≠1. 题型二　函数的解析式 [例2]　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). (2)(配凑法)f＝x4＋＝－2， 又x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立． 设t＝x2＋， 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)， ∴f(x)＝x2－2(x≥2). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， ∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). 函数解析式的求法：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法．　 　[即时训练] (1)若f ＝，则f(x)＝________． 答案　(x≠0且x≠1) 解析　f(x)＝＝(x≠0且x≠1). (2)(2025·深圳外国语学校质检)写出一个满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy 的函数解析式为________． 答案　f(x)＝x2 解析　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy 中，令x＝y＝0，解得f(0)＝0， 令y＝－x 得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－2x2，故f(x)＋f(－x)＝2x2， 不妨设f(x)＝x2，满足要求． 题型三　分段函数 [例3]　(1)(多选)(2025·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1，1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． (2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 解析　若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　 　[即时训练] (1)(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝ 无最大值，则实数a 的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－1，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1) 答案　D 解析　由题可知，当x≤a 时，f(x)＝－x2－x＋，其对称轴为x＝－1， 当a≥－1 时，函数f(x)＝－x2－x＋ 有最大值为f(－1)＝2， 当a<－1 时，函数f(x)＝－x2－x＋ 有最大值为f(a)＝－a2－a＋， 当x>a 时，f(x)＝－2x，在(a，＋∞)单调递减，故f(x)<f(a)＝－2a， 因为函数f(x)无最大值，故当a≥－1 时，需满足2<－2a，解得a<－1，不符合题意， 当a<－1 时，需满足－a2－a＋<－2a，解得a<－1，或a>3 (舍去). 综上，实数a的取值范围是(－∞，－1).故选D. (2)(多选)已知函数f(x)＝则(　　) A．f(f())＝3 B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3 答案　BCD 解析　对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$