第1章 第6节 一元二次方程、不等式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第六节　一元二次方程、不等式 [课标要求]　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 【常用结论】 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　) 2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________． 答案　R 解析　已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R. 3．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________． 答案　(－3，0] 解析　当k＝0时，满足题意； 当k≠0时， 解得－3<k<0， 所以－3<k≤0. 4．已知不等式ax2＋bx＋1>0 的解集为，则不等式bx2－5x－a≤0的解集为__________． 答案　∪ 解析　由不等式ax2＋bx＋1>0的解集为， 可知－，是ax2＋bx＋1＝0 的两根，且a<0， 故－＋＝－，－×＝，则a＝－6，b＝－1， 故bx2－5x－a≤0 即－x2－5x＋6≤0， 即x2＋5x－6≥0，解得x≤－6 或x≥1， 故不等式bx2－5x－a≤0 的解集为∪. 题型一　求解一元二次不等式 命题点1　不含参的不等式 [例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　ABD 解析　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． 命题点2　含参数的不等式 [例2]　(2025·呼和浩特质检)已知二次函数f(x)＝x2－ax－2a2，a∈R. (1)若f(1)<0，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解　(1)由已知得f(1)＝1－a－2a2<0， 即(a＋1)(2a－1)>0， 解得a<－1或a>. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪. (2)f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0， 令f(x)＝0，得x1＝2a，x2＝－a， 当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a； 当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0， 当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a. 综上所述，当a<0时， 解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)； 当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞). [即时训练] (2025·江西新余质检)设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f(x)<a－1(a∈R). 解　(1)∀x∈R，f(x)≥－2 恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0 时，x≥0，对一切实数x 不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a 的取值范围是. (2)依题意， f(x)<a－1，可化为ax2＋(1－a)x－1<0. 当a＝0 时，可得x<1. 当a>0 时，可得(x－1)<0，又－<1， 解得－<x<1. 当a<0 时，不等式ax2＋(1－a)x－1<0 可化为(x－1)>0， 当a＝－1 时，－＝1，解得x≠1. 当－1<a<0 时，－>1，解得x<1 或x>－. 当a<－1 时，0<－<1，解得x<－ 或x>1. 所以，当a>0 时，原不等式的解集为； 当a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<1}； 当－1<a<0 时，原不等式的解集为；　 当a＝－1 时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}； 当a<－1 时，原不等式的解集为.　 题型二　三个二次之间的关系 [例3]　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|x≤－3 或x≥4}，则下列说法中正确的是(　　) A．a>0　 B．不等式bx＋c>0 的解集为{x|x<－12} C.a＋b＋c>0　 D．不等式cx2－bx＋a<0 的解集为 或 答案　ABD 解析　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|x≤－3 或x≥4}， 所以a>0 且方程ax2＋bx＋c＝0 的根为－3，4，故A正确； 则－＝1，＝－12，所以b＝－a，c＝－12a， 所以a＋b＋c＝－12a<0，故C错误； 则不等式bx＋c>0 即为不等式－ax－12a>0，解得x<－12， 所以不等式bx＋c>0 的解集为{x|x<－12}，故B正确； 不等式cx2－bx＋a<0 即为不等式－12ax2＋ax＋a<0， 即为12x2－x－1>0，解得x> 或x<－， 所以不等式cx2－bx＋a<0 的解集为 或，故D正确．故选ACD. (2)(2025·西安质检)已知关于x 的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0 有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为________． 答案　－2<x<－1 解析　关于x的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0 有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数f(x)＝x2＋kx＋k2＋k－2， ∵一根大于2，一根小于2，∴f(2)<0， ∴4＋2k＋k2＋k－2<0，解得－2<x<－1. 故k的取值范围是－2<x<－1. 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号．　 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 解　(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得即 解得－<m<－. 故实数m的取值范围为. (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得即 解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．　 　[即时训练] (1)(2025·西安质检)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0 的两不等实根都是负数，则实数k 的取值范围为__________． 答案　k＜－ 或k>3 解析　首先k≠0，设方程kx2＋3kx＋k－3＝0 的两根为x1，x2，则x1<0，x2<0⇔ 所以即 又k≠0，解得k<－ 或k>3. (2)已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0 的两根分别在区间(0，1)，(1，3)之内，则实数a 的取值范围为______． 答案　(0，1) 解析　∵方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0⇒(x－a)[x－(a＋1)]＝0， ∴方程两根为x1＝a，x2＝a＋1， 若要满足题意，则解得0<a<1. 题型三　一元二次不等式恒成立问题 [例4]　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对一切x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由已知得，mx2－mx－1<0对一切实数x恒成立， 当m＝0时，－1<0恒成立，符合题意； 当m≠0时，只需 解得－4<m<0， 综上所述，－4<m≤0，即m的取值范围是(－4，0]. (2)由已知得，mx2－mx－1<－m＋5对一切x∈[1，3]恒成立， 即m(x2－x＋1)<6对一切x∈[1，3]恒成立， ∵x2－x＋1＝＋>0， ∴m<对一切x∈[1，3]恒成立， 令g(x)＝x2－x＋1，则只需m<即可， 而g(x)在x∈[1，3]上单调递增， ∴g(x)∈[1，7]， ∴∈， ∴m<， ∴实数m的取值范围是. 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．　 　[即时训练] 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， 则f(x)min＝f ＝a－， f(x)>0在x∈R上恒成立， 即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1，2)上满足f(x)<4＋a， 故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$