第1章 第4节 基本不等式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节　基本不等式 [课标要求]　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 【常用结论】 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4)≥(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的．(　×　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　×　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　) 2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋　　　　　　B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3．下列不等式恒成立的是(　　) A．x＋≥2 B．a＋b≥2 C．2≥ D．a2＋b2≥2ab 答案　D 解析　对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，a＋b≥2成立的条件为a≥0，b≥0，故错误； 对于C选项，当a＝－b≠0时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于a2＋b2－2ab＝2≥0，故a2＋b2≥2ab，正确．故选D. 4．若x>0，则x＋的最小值为________． 答案　3 解析　因为x>0，由基本不等式得：x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3， 当且仅当x＋1＝，且x>0，即x＝1时等号成立． 题型一　直接法求最值 [例1]　(1)(多选)(2025·广州质检)以下结论正确的是(　　) A．函数y＝的最小值是4 B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2 C．若x∈R，则x2＋3＋的最小值为3 D．函数y＝2＋x＋(x<0)的最大值为0 答案　BD 解析　A．对于函数y＝，当x<0时，y<0，所以A选项错误； B．由于ab>0，所以>0，>0， 所以＋≥2＝2，当且仅当＝，a2＝b2时等号成立，所以B选项正确； C．x2＋3＋＝x2＋2＋＋1≥2＋1＝3， 但x2＋2＝无解，所以等号不成立，所以C选项错误； D．由于x<0，所以y＝2＋x＋＝2－≤2－2＝0， 当且仅当－x＝，x＝－1时等号成立，所以D选项正确．故选BD. (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2， 即12≥2， 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号). 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．　 　[即时训练] (1)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝2x＋22-x C．y＝|sin x|＋ D．y＝ln x＋ 答案　B 解析　对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝2x＋22-x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确； y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号， 由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立， 故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故C错误； 对于y＝ln x＋，由于ln x可能小于0， 即y＝ln x＋的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误． (2)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4　　　　　　B．2 C．2－4 D．4 答案　C 解析　函数y＝＝－3x－＋2 ＝－＋2， ∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 故y＝－＋2≤－4＋2， 则y的最大值为2－4. 题型二　配凑法求最值 [例2]　(1)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A． B． C．4 D．6 答案　D 解析　∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝， 即x＝4时取等号)， ∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案　8 解析　因为y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．　 　[即时训练] (1)(2025·沈阳质检)已知0<x<，则函数y＝x(1－2x)的最大值是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵0<x<，∴1－2x>0 ， ∴x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×＝， 当且仅当2x＝1－2x 时，即x＝时等号成立， 因此，函数y＝x(1－2x)，的最大值为，故选C. (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C． D． 答案　C 解析　因为正数x，y满足x＋2y＝2， 所以xy＝x·(2y)≤＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号， 所以xy的最大值为. 题型三　常数代换法求最值 [例3]　(1)(2025·河南联考)已知正实数a，b满足2a＋b－9ab＝0，则a＋2b的最小值为(　　) A．3 B．1 C．9 D． 答案　B 解析　因为2a＋b－9ab＝0，变形得＋＝9. 由题意a＋2b＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故选B. 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． (2)(2025·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋ ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ ≥ ＝1. 当且仅当即时取等号． 综上，＋的最小值为1. 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．　 　[即时训练] (1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B． C．3 D． 答案　D 解析　因为m>0，n>0且m＋n＝2， 所以＋＝(m＋n) ＝≥ ＝， 当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立． (2)已知a>，b>，且2a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D． 答案　C 解析　因为2a＋b＝2， 所以(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则＋＝[(4a－1)＋(2b－1)]·＝≥2， 当且仅当＝， 即a＝，b＝1时，等号成立． 题型四　构造不等式法求最值 [例4]　(1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去). 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________． 答案　6 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤，整理可得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去) 所以当a＝b＝3时，a＋b的最小值为6. (2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案　A 解析　∵实数a，b满足＋＝，∴a>0，b>0，且≥2，解得ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取等号．则ab的最小值为2. 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值．　 　[即时训练] (1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 答案　D 解析　法一：由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤， 所以x＋y≤，解得x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 法二：由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 所以＋＝2， 则x＋y＝(x＋y) ＝≥＝2， 当且仅当即时，等号成立． (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B．的最大值为 C．＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 答案　AD 解析　x＋2y＝1≥2，即xy≤＝，故A正确； 当x＝，y＝时，＝>，故B错误； ＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$