第1章 第3节 等式性质与不等式性质(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三节　等式性质与不等式性质 [课标要求]　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R). 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 【常用结论】 　不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0，0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　) (2)若>1，则b>a.(　×　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　×　) (4)若>，则b<a.(　×　) 2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b　　　 　B．> C．a2<b2 D．a3<b3 答案　D 解析　对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 答案　< 解析　<. 证明：－＝＝， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0， ∴<0，∴<. 4．已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 答案　(－2，1) 解析　因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 题型一　数(式)的大小比较 [例1]　(1)(多选)(2025·长春模拟)若m>n>0>p，m＋p≠0，则(　　) A．>　 　 　　B．m2－p2>0 C．> D．m2－n>n2－m 答案　AD 解析　对于A：由题意可得<，因为p<0，所以>，故A正确； 对于B：当m＝2，p＝－3时，满足已知条件，但m2－p2<0，故B错误； 对于C：当m＝3，n＝2，p＝－1时，满足已知条件，但<，故C错误； 对于D：m2－n－(n2－m)＝m2－n2＋m－n＝，因为m>n>0，可得>0，所以m2－n>n2－m，故D正确．故选AD. (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案　C 解析　由题设，易知x，y>0， 又＝＝<1，∴x<y. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.　 　[即时训练] (1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 答案　A 解析　因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0， 所以s≥t. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 答案　M >N 解析　法一：∵M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M >N. 法二：令f(x)＝ ＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M >N. 题型二　不等式的基本性质 [例2]　(1)(2025·滨州质检)若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D．> 答案　B 解析　由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， 所以<<，故D错误． (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> 答案　BCD 解析　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， ∴－＝＝>0， ∴>，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴>>0， 又b>c>0， 由可乘性知，>，故D正确． 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性．　 　[即时训练] (1)(2025·沈阳东北育才学校质检)若a，b∈R且ab≠0.则>成立的一个充分不必要条件是(　　) A．a>b>0 B．b>a C．b<a<0 D．ab<0 答案　C 解析　A．当a>b>0时，a2>b2，则<，故A错误； B．当b＝1，a＝－2时，不满足>，故B错误； C．当b<a<0时，0<a2<b2，则>，反过来，>时，a2<b2⇒<，推不出b<a<0，所以b<a<0是>成立的一个充分不必要条件，故C正确； D．当a＝2，b＝－1时，不满足>，故D错误．故选C. (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．< B．－a2<－ab C．ln |a－1|>ln |b－1| D．2a－b>1 答案　ABD 解析　因为a>b>0，>0，所以>， 即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln |a－1|＝ln |b－1|＝ln ，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 题型三　不等式性质的综合应用 [例3]　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 答案　D 解析　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 答案　B 解析　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 利用不等式的性质求代数式的 取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．　 　[即时训练] (1)(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D．的取值范围为 答案　AC 解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4，7]， b－a的取值范围为[1，4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C正确，D错误． (2)(2025·哈尔滨质检)已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是________． 答案　 解析　设3a＋2b＝x＋y＝a＋b， 所以解得 所以3a＋2b＝＋. 因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以≤(a＋b)≤10，－≤≤1， 因此，2≤3a＋2b≤11. 学科网（北京）股份有限公司 $$