第1章 第2节 常用逻辑用语(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二节　常用逻辑用语 [课标要求]　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【常用结论】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　√　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　√　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　√　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题.(　×　) 2．已知x是实数，那么“x≤1”是“≥1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由≥1得≥0，解得0<x≤1， 所以“x≤1”是“0<x≤1”成立的必要不充分条件， 即“x≤1”是“≥1”成立的必要不充分条件．故选B. 3．(多选)已知集合A＝{x|a＋1<x<2a－3}，B＝{x|x≤－2或x≥7}，则A∩B＝∅的必要不充分条件可能是(　　) A．a<7　　　　　　　B．a<6 C．a≤5 D．a<4 答案　AB 解析　若A∩B＝∅，则a＋1≥2a－3或a＋1<2a－3， a＋1≥－2， 2a－3≤7，解得a≤4或4<a≤5， 所以A∩B＝∅的充要条件为a≤5， 所以A∩B＝∅的必要不充分条件可能为a<7，a<6.故选AB. 4．已知p：x<a，q：x<3，p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　因为p：x<a，q：x<3，p是q的必要不充分条件， 所以a>3. 所以实数a的取值范围为. 题型一　充分、必要条件的判定 [例1]　(1)(2025·绵阳南山中学质检)对于命题p：<1，命题q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根， 则解得0<m<， 则命题q：0<m<， 由<1，可得－1<m<1，则命题p：－1<m<1， 则p是q的必要不充分条件．故选B. (2)已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当向量a，b所在的直线平行时，可得向量a，b平行，则充分性成立， 而当向量a，b平行时，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立， 则p是q的充分不必要条件． 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．　 　[即时训练] (1)(2025·扬州质检)设x∈R，则“2－x≥0”是“≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由2－x≥0，解得x≤2.由|x＋1|≤1，即－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0. 又[－2，0](－∞，2]， 由2－x≥0推不出|x＋1|≤1，故充分不成立， 由≤1推得出2－x≥0，即必要性成立， 所以“2－x≥0”是“≤1”的必要不充分条件．故选B. (2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件． 题型二　充分、必要条件的应用 [例2]　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1). 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于￢q是￢p的充分不必要条件． 典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 答案　(1，＋∞) 解析　由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.　 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．　 　[即时训练] 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)依题意，得2-2≤2x≤25， 解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}． 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0， 得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}． 所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}． (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}． 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 则有AB， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}． 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 则有BA， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或 －2≤2－m<2＋m<5， 解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， 所以正实数m的取值范围是0<m≤3. 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 [例3]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C.命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 答案　ABC 解析　对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． (2)(2025·滁州模拟)命题“∃x∈R，x2－3x＋3<0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－3x＋3<0 B．∀x∈R，x2－3x＋3≥0 C．∃x∈R，x2－3x＋3＞0 D．∃x∈R，x2－3x＋3≥0 答案　B 解析　∵命题“∃x∈R，x2－3x＋3<0”为存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题， ∴命题“∃x∈R，x2－3x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2－3x＋3≥0”．故选B. 命题点2　含量词的命题的真假判断 [例4]　(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，2x-1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 答案　ACD 解析　指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以∀x∈R，2x-1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 因为函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确． 命题点3　含量词的命题的应用 [例5]　 (1)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1　　　　　　　B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题， 则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A、B、C选项． (2)(2025·临沂模拟)若p：∀x∈R，mx2－2mx＋2>0为真命题，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　因为p：∀x∈R，mx2－2mx＋2>0为真命题， 当m＝0时，即2>0，成立； 当m≠0时，即 解得0<m<2 综上所述，m的取值范围是. 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．　 　[即时训练] (1)下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 答案　C 解析　对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝＋≥>0，故D错误． (2)若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－， 即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$