第1章 第1节 集合(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 [课标要求]　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N* (或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 3．集合的基本运算 　 表示 运算 　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【常用结论】 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(　√　) 2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|7<x<10} C．{x|2<x<3或7≤x<10} D．{x|2<x≤3或7<x<10} 答案　C 解析　因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 3．(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　) A．　　 　　　B． C． D． 答案　ABD 解析　根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合． 由，得或， 当x＝2时，∉，故不是“影子关系”集合．故选ABD.　 4．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________． 答案　2 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2. 题型一　集合的含义与表示 [例1]　(1)(2025·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于(　　) A．{0，3}　　　　　　B．{(0，0)，(3，9)} C．{(0，0)} D．{(3，9)} 答案　B 解析　由题意得 解得或 故A∩B＝{(0，0)，(3，9)}． (2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 答案　－ 解析　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－. 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．　 　[即时训练] (1)(2025·苏州模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5，6，7，8}．即C中元素的个数为4. (2)(2025·贵州黔东南三模)已知集合S＝{y|y＝x2－1}，T＝{(x，y)|x＋y＝0}，下列关系正确的是(　　) A．－2∈S B．∉T C．－1∉S D．∈T 答案　D 解析　因为S＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}， 所以A、C错误， 因为2＋＝0，所以∈T，所以B错误， 又－1＋1＝0，所以∈T，所以D正确，故选D. 题型二　集合间的基本关系 [例2]　(1)(2025·江西新余质检)若A＝{x|x＝＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝＋，k∈Z}，C＝{x|x＝＋，k∈Z}，则这三个集合间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B 答案　C 解析　依题意，A＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}， C＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，而{x|x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}， 因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A， 所以C⊆B⊆A.故选C. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a等于(　　) A．2 B．1 C． D．－1 答案　B 解析　若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意． 综上所述，a＝1. (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．　 　[即时训练] (1)已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于(　　) A．1或2 B．－1或－2 C．2 D．1 答案　C 解析　因为A＝B，所以a2＝3a－2，解得a＝1或a＝2. 当a＝1时，a2＝1，与集合元素互异性矛盾，故a＝1不正确． 经检验可知a＝2符合．故选C. (2)(多选)(2025·济宁模拟)已知集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|a＋2≤x≤2a－1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是(　　) A．{x|x≤4} B．{x|x≤3} C．{x|3<x≤4} D．{x|4≤x<5} 答案　BC 解析　因为集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|a＋2≤x≤2a－1}， 又B⊆A，所以当B＝∅时，a＋2>2a－1，即a<3； 当B≠∅时，有－1≤a＋2≤2a－1≤7，解得3≤a≤4， 故M＝(－∞，4]，则M的一个真子集可以是(－∞，3]或，故选BC. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 [例3]　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为A＝，B＝{x|∈A}，所以B＝， 则A∩B＝，∁A＝.故选D. (2)(多选)(2025·潍坊模拟)若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M B．M∩P＝M C．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅ 答案　BC 解析　由M∩N＝N，可得N⊆M， 由M∪P＝P，可得M⊆P， 则推不出P⊆M，故A错误； 由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确； 因为N⊆M且M⊆P， 所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确； 由N⊆M，可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B． C．0 D．－ 答案　BCD 解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝， 则－＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}， B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅， 则a－1≤1，解得a≤2. 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.　 　[即时训练] (1)(2025·陕西商洛三模)设全集U＝，集合A＝，∁UA＝，则实数a的值为(　　) A．0 B．－1 C．2 D．0或2 答案　A 解析　由集合A＝知，a＋2≠4，即a≠2，而∁UA＝，全集U＝， 因此，解得a＝0，经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0.故选A. (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案　m≤4 解析　因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1>2m－1时，即当m<2时，B＝∅⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1时，即当m≥2时，B≠∅， 由B⊆A，可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 综上所述，m≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $$