广东省兴宁市齐昌中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

答案及解析 一、单选题 1. 答案：B. -3 解析：若向量 与 共线，则存在 使 ，解得 。 2. 答案：C. 直角三角形 解析：由条件 \sin B，结合正弦定理及余弦定理，化简得角 为直角。 3. 答案：C. 解析：复数的共轭复数实部相同，虚部符号相反。若原复数为 ，则共轭为 。 4. 答案：D. 解析：圆锥侧面积 。扇形圆心角 。 5. 答案：A. 解析：斜二测画法中，原图对角线长度 （直观图纵坐标缩短为原长的 ）。 6. 答案：D. 6, 4 解析：平均数 ；排序后数据为 ，30% 分位数为第 2 个数据 4。 7. 答案：A. 8 解析：正四面体体积公式 ，截面平行于棱且周长 12，对应原棱长 。 8. 答案：D. 若 ，则 的最小值为 解析：由复数的几何意义及模长最值判断。 二、多选题 9. 答案：AC 解析：选项 A 和 C 分别涉及投影向量和向量的共线条件，正确；选项 B 和 D 计算错误。 10. 答案：BC 解析：复数运算中，共轭和模的性质成立；选项 D 虚数条件不充分。 11. 答案：ACD 解析：选项 A、C、D 分别满足最小距离、线面平行及最短路径正确；选项 B 角度最大值为 。 三、填空题 12. 答案： 解析：向量 = 16\sin，范围 。 13. 答案： 解析：正方体展开还原后，AG 与 MN 为面对角线，夹角为 = 45^\circ。 14. 答案：10 解析：由中位数 众数 3，解得 。第 75 百分位数为第 7 个数 10。 四、解答题 15. 答案及解析： 方程根为 ，代入得 ^2 + a + b = 0 \implies a = 2, b = -2。 由纯虚数条件，，故 。 16. 答案及解析： 基底分解并利用向量线性组合。 计算得 ，点积为 。 17. 答案及解析： ，及格率 频率直方图总面积 1，解得 ；及格率 （具体需调整）。 依据频数分布计算。 平均分 72，方差 23.5 合并计算 ，。 18. 答案及解析： 线面平行证明：利用中位线定理或向量法证明 。 余弦值 ：异面直线夹角通过向量计算。 体积 4：底面面积和高计算得 。 19. 答案及解析： ：余弦定理应用。 面积 ：海伦公式或 。 范围 ：由 ，利用三角恒等变换求范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴宁市齐昌中学高一年级第三次阶段性测试 考试时间：120分钟 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 若,共线, 则k=( ) A. 3 B. - 3 C . 1. 已知向量 2. 在VABC中, 角A, B, C的对边分别是a, b, c, 且 则VABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定的 3. 复数 的共轭复数是( ) A. C. 1-i D. 1+i 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( ) A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/2 5.如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， 则平面图形ABCD中对角线AC的长度为( ) A. B. C. D. 2 6.在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和30%分位数分别为( ) A. 6, 3 B. 5, 3 C. 5, 4 D. 6, 4 7.如图，在正四面体木块P-ABC中，点T在△PAB内，过点T将木块锯开，且使截面平行于直线AP，BC，若锯开后截面的周长为12，则正四面体P-ABC的体积为( ) A. 8 8. 一组样本数据中, 1, 2, 3, 4出现的频率分别为,,,, 且 设这组数据的 试卷第1页，共4页 平均数为，中位数为m.下列条件一定能使得>m的是( ) 2 A. B. = C. 若 则 D. 若 则z₁为实数或纯虚数 D. 若t∈R, 则 的最小值为 B. 若λ+3(λ∈R)与2+共线, 则λ= 6 10.关于复数z₁，z₂，下列说法正确的是( ) C. 在ā方向上的投影向量为 二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分) 9. 已知 且 则下列说法正确的是( ) 11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点G为线段BC₁上的一个动点，则下列说法正确的有( ) A.线段A₁G长度的最小值为 B.直线A₁A与直线B₁G所成角的最大值为π/2 C. A₁G∥面ACD₁ D. GC+GD₁的最小值为 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 试卷第2页，共4页 12. 如图,已知半径为 4 的扇形 AOB, ∠AOB =60°, P 为弧 AB 上的一个动点, 则 的取值范围是 . 13.一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则AG与MN所成的角为_________. . 14. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，3，x，7，8， 10，11，其中x≠7， 已知该组数据的中位数为众数的2倍，则该组数据的第75百分位数是_________. 四、解答题(共5题，共77分) 15. (13分)已知复数z=1+i是一元二次方程 的根. (1)求a,b的值; (2)若复数(a+ bi)(m-i) (其中m∈R) 为纯虚数, 求复数ω=(5m-1)+3mi的模. 16.(15分)如图, 已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC=60°, E为CD的中点, 点F在对角线BD上,且DF=2BF, 设 (1)用向量,表示,; (2)求 的值. 17.(15分)某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故 自然灾害等)网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷, 把分数按[40,50),[50,60),⋯⋯,[90,100]依次分为第一至第六组(所有得分x均满足40≤x≤100), 其中[50，60)与[90，100]的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. 试卷第3页，共4页 为74分 (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； (2)分别求图中b的值与c的值； (3)已知落在区间[60,70)的样本平均分是63,方差是7,落在区间[70,80]的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差s². 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量 样本平均数和样本方差分别为: m,,;n,,,记总的样本平均数为,样本方差为s²,则 (1)求角A; (2)若a=7, c=5, 求VABC的面积; (3)求三棱锥D₁-EBD的体积. (2)求异面直线AD₁与DE所成角的余弦值； 18.(17分) 已知在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AD=3, AA₁=4, 点E是CD₁的中点. (1)求证: AD₁//平面EBD 19. (17分) 在VABC中, 已知asinA=csinC+(b-c)sinB (3)求sinB+sinC的取值范围. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$