第2章 实数的初步认识 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第2章 实数的初步认识 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有四个数，其中最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．下列数2.7，，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．实数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 5．对有理数a取近似数的结果为3.5万，则a精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．千分位 6．如图，数轴上表示的点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．当时，代数式的值为 ． 10．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 11．比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”）． 12．若一个正数的两个不同的平方根是与，则这个正数为 ． 13．若与 互为相反数， 则 ． 14．观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 15．已知，为两个连续整数，且满足，则的值是 ． 16．已知与是一个正数的两个平方根． （1）若，则这个正数是 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)132.4． (2)0.0572． (3)2.40万． (4)3000． 18．计算：． 19．求的值． (1)； (2)． 20．判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中： ①  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦ 正实数集合{_____________________________________________…}； 无理数集合{_____________________________________________…}； 整数集合{_______________________________________________…}； 分数集合{_______________________________________________…}． 21．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． (1)用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； (2)化简：． 22．【阅读理解】 【问题探索】 若的小数部分是b，求的值． 23．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案： 沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． (1)求正方形木板的边长； (2)王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 24．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 25．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有四个数，其中最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0,0小于正数，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴最小的数是， 故答案为： 2．下列数2.7，，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的概念，根据无理数的概念意义判断即可； 【详解】解：， 在实数2.7，，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共3个． 故选：A． 3．实数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键 【详解】解：实数的算术平方根是， 故选：． 4．下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可． 【详解】解：∵，，负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选C． 5．对有理数a取近似数的结果为3.5万，则a精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．千分位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数， 先将3.5万还原成35000，再确定精确的数位即可. 【详解】解：因为3.5万， 所以这个数精确到5，即精确到了千位. 故选：C. 6．如图，数轴上表示的点可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示的点可能是点， 故选：D． 7．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，以及二次根式化简，解题的关键在于确定实数的取值范围．根据数轴得到实数的取值范围，进而得到，，再结合二次根式性质进行化简，即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式求值，算术平方根．解题的关键在于正确的运算． 将代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， 故答案为：2． 10．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 11．比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的概念是解题的关键． 先求出，再进行比较即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若一个正数的两个不同的平方根是与，则这个正数为 ． 【答案】169 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得，求得x的值，后计算即可． 本题考查了平方根，解方程，熟练掌握平方根，解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故平方根为， 故该数为， 故答案为：169． 13．若与 互为相反数， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解． 【详解】解：与 互为相反数， , ，， ， 解得， ． 故答案为：． 14．观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵，， ∴； 故答案为：． 15．已知，为两个连续整数，且满足，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是无理数的估算，根据，可得，从而可得答案. 【详解】解： ， ，即， ，， ∴． 故答案为： 16．已知与是一个正数的两个平方根． （1）若，则这个正数是 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则 ． 【答案】 4 8或11/11或8 【分析】本题考查平方根，根据不等式组的解集的情况求参数，熟练掌握平方根的性质，解不等式的步骤是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，解不等式组，根据解集的情况求出的范围，结合y为整数，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，由题意，得：， 解得：， ∴这个正数是； 故答案为：4； （2）由题意，得：， ∴， 解，得：， ∵不等式组有解且最多有2个整数解， ∴，整数解最多为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或； 故答案为：8或11． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)132.4． (2)0.0572． (3)2.40万． (4)3000． 【答案】(1)132.4精确到十分位 (2)0.0572精确到万分位 (3)2.40万精确到百位 (4)3000精确到个位 【分析】根据近似数分别求解（1）（2）（3）（4） 【详解】（1）132.4精确到十分位 （2）0.0572精确到万分位 （3），则2.40万精确到百位 （4）3000精确到个位 【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键． 18．计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先利用立方根、算术平方根的定义和去绝对值的方法化简，再加减即可． 【详解】解： ． 19．求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）∵， ∴， ， ． 20．判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中： ①  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦ 正实数集合{_____________________________________________…}； 无理数集合{_____________________________________________…}； 整数集合{_______________________________________________…}； 分数集合{_______________________________________________…}． 【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．根据实数的分类方法解答即可． 【详解】解：②，， 正实数集合{②，④，…}； 无理数集合{③，④，…}； 整数集合{②，⑤，⑦，…}； 分数集合{①，⑥，…}． 故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥． 21．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． (1)用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了数轴，涉及有理数的大小比较，有理数的加减运算，完全平方公式，算术平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由数轴可得，再根据有理数的运算法则即可判断式子的符号； （2）由数轴可得，，然后根据算术平方根的意义化简，再进行整式加减计算． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可得，， ∴ ． 22．【阅读理解】 【问题探索】 若的小数部分是b，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照题意可得，则可确定的整数部分是2，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴的整数部分是2． ∵的小数部分是b， ∴是的整数部分． ∴． 23．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案： 沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． (1)求正方形木板的边长； (2)王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可行，见解析 【分析】此题考查了平方根的应用， （1）根据正方形的面积公式进行解题即可； （2）设长为，宽为，再列式进行计算即可． 【详解】（1）解：设正方形木板的边长为， ， 解得或（舍去）． 答：正方形木板的边长为． （2）不可行，理由如下： 设长为，宽为， ， 解得或（舍去）， ， 即所裁长方形的长大于正方形的边长． 故不可行． 24．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 25．某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1)B (2)，，， (3)见解析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】（1）解：体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$