专题08 锐角三角函数（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题08 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数的定义 题型02 解三角形 题型03 解直角三角形的实际应用——俯仰角问题 题型04 解直角三角形的实际应用——方向角问题 题型05 解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题 题型06 解直角三角形的实际应用——其他问题 ( 题型01 )锐角三角函数的定义 1．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以为直径的圆经过点C、D，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·青海玉树·三模）如图，在中，若，，，则 ． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（2025·四川南充·三模）如图，射线的端点在直线上，．下列式子的值，最大的是（   ）． A． B． C． D． 7．（2025·广东东莞·三模）如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 8．（2023·宁夏中卫·三模）计算： ． 9．（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 10．（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． ( 题型0 2 )解三角形 1．（2025·浙江杭州·三模）先阅读，后完成：在数学复习课上，某老师出了一道题如下： 如图，已知中，．求证：， 小丽与小明思考后，有一段交流对话： 小明：这是一个假命题，因为根据三角函数的定义，图中没有直角三角形，所以结论不成立． 小丽：我可以过某一个点作出垂线段，产生直角三角形，就可以证明了． 小明：哦……我明白了！ (1)请你完成小丽的证明过程． (2)已知，，求的面积． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．已知A、B两点都在网格点上，连接． (1)画出，点C在方格纸上的格点上，的面积为，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出中边的中线，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出中线的长． 4．（2025·浙江绍兴·三模）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 5．（2025·广西玉林·三模）如图，在中，，是中的角平分线．的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 7．（2025·江苏泰州·三模）如图，四边形是的内接四边形，弦非直径，点在弦上（不与端点重合），延长、交于点． (1)给出三个信息：①；②；③．请你从这三个信息中选择两个信息作条件，剩余一个信息作结论，构成一个命题，判断命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是________，_________，结论是________（只填序号）； (2)在（1）的条件下，若的度数为，，． ①求的正弦值； ②求图中阴影部分的面积． 8．（2025·江苏泰州·三模）如图，在中，，，．直线l为经过点B的一条动直线（不与重合），点A关于直线l的对称点为，当点落在的一边上时，线段的长为 ．    ( 题型0 3 )解直角三角形的实际应用——俯仰角问题 1．（2025·江苏泰州·三模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：（参考数据：，，，） 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角 从E处测得灯杆支架C处仰角 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度． 2．（2025·河南平顶山·三模）为建设全域旅游西昌、加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”率（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛B距离地面，向塔前行，到达点D处，测得塔顶C的仰角为，求塔高．（结果精确到．参考数据：） 3．（2025·河南信阳·三模）郑州图书馆位于郑东新区，地标性建筑之一，是一所综合性现代化大型文化场馆，入选第三批“全国古籍重点保护单位”．某校学习小组把测量郑州图书馆的高度作为一次课题活动，并绘制如下项目式学习表： 课题 测量郑州图书馆的高度 模型 说明 图书馆楼顶最高点到地面的高度为，在点用仪器测得点的仰角为 ，在点用该仪器测得点的仰角为（ ，且点，，，，，均在同一竖直平面内． 数据 ，测角仪的高度为1.8m ， 任务 （1）依据相关数据求出郑州图书馆的高度； （2）已知最后结果与实际数据有出入，请你写出一条减少误差的建议． 4．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 5．（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） ( 题型0 4 )解直角三角形的实际应用——方向角问题 1．（2025·湖南邵阳·三模）为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 2．（2025·河北唐山·三模）如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 4．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 5．（2025·重庆·三模）如图，在海平面上有一处小岛A，小岛A的正西方向上有一个观测站B，在观测站B的东北方向距离海里处有一个小岛C，小岛C正好位于小岛A的正北方向，小岛C的东南方向有一个避风港D，避风港D在小岛A的北偏东方向上，（参考数据： (1)求小岛C与避风港D的距离．（结果保留整数） (2)一艘渔船从小岛C以每小时16海里的速度沿东南方向行驶6小时的时候，突然收到观测站B发出台风警报，已知台风中心位于小岛C处，正以每小时35海里的速度向东南方向移动，距离台风中心80海里都会受到影响．收到讯息后渔船立即以每小时25海里的速度沿东南方向前往避风港D躲避台风，请问渔船能否免受此次台风影响？ ( 题型0 5 )解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题 1．（2025·安徽滁州·三模）如图，数学兴趣小组成员站在河岸上的G点，测得河里小船C的俯角是，若该同学的眼睛与地面的距离是，迎水坡的坡度，坡长．求此时小船C到岸边的距离的长．(参考：) 2．（2025·海南省直辖县级单位·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动． 活动内容 测量小河对岸某塔的高度 测量工具 测距仪，测角仪，计算器 测量方案 测量示意图 测量说明 在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着沿坡度的斜坡向上行走10米到达点D处，此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（点在同一平面内，测量仪器高度忽略不计） 参考数据 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，___________米； (2)求塔AB的高度．（结果精确到1米） 3．（2025·陕西商洛·三模）项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 4．（2025·贵州毕节·三模）为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面的距离为0.8 m，踏板与地面的坡比，支架的长为0.8m，跑步机手柄为，且，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求踏板的长； (2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 5．（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． ( 题型0 6 )解直角三角形的实际应用——其他问题 1．（2025·江苏盐城·三模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ (1)的度数 (2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 2．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 3．（2025·河北邢台·三模）如图2是一款台灯（如图1）的侧面示意图，底座长，灯板长，支杆的高度可调节，已知于点，连接． (1)如图2，当与平行时，求的高度由下降时减少的度数； (2)固定的高度为，当灯板从图2的位置开始绕点顺时针旋转到图3的位置，求点到底座的距离． （参考数据：．） 4．（2025·贵州铜仁·三模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，． (1)求的度数； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 5．（2025·河南信阳·三模）建筑工地中的塔吊由支架，吊臂，拉线等组成．画出其示意图名图如图，为支架，为吊臂，拉线为，，其中与互相垂直．已知，，．若点恰好位于同一个圆周上，试求吊臂的长．（，，，结果保留整数） 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数的定义 题型02 解三角形 题型03 解直角三角形的实际应用——俯仰角问题 题型04 解直角三角形的实际应用——方向角问题 题型05 解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题 题型06 解直角三角形的实际应用——其他问题 ( 题型01 )锐角三角函数的定义 1．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以为直径的圆经过点C、D，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用网格求一个角的余弦，圆周角定理，圆周角定理的推论，解题关键是利用圆周角定理证明相应的角相等． 先利用圆周角定理证明，再求出的余弦值即可得出的余弦值． 【详解】解：连结， ∵以为直径的圆经过点C、D， ∴， ∵在同一圆中，与所对的弧是， ∴， ∴的余弦值为， 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 4．（2025·青海玉树·三模）如图，在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理，正切函数等；延长交于格点，连接，由菱形的性质得 ，，，，由勾股定理得，由正切函数，即可求解；能利用菱形的性质构建直角三角形，并能熟练利用勾股定理，正切函数是解题的关键． 【详解】解：延长交于格点，连接， 由8个全等的菱形组成的网格， 、都在格点上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 6．（2025·四川南充·三模）如图，射线的端点在直线上，．下列式子的值，最大的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互补关系，特殊角三角函数，无理数大小的比较；由已知及互补关系求得的度数，即可比较． 【详解】解：∵，， 即， ∴， ∴，； ∴； 故选：C． 7．（2025·广东东莞·三模）如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为:． 8．（2023·宁夏中卫·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角三角函数值，实数的绝对值等知识，掌握这些基础知识是关键；依次计算负整数指数幂、特殊角三角函数值，实数的绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 10．（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 11．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． ( 题型0 2 )解三角形 1．（2025·浙江杭州·三模）先阅读，后完成：在数学复习课上，某老师出了一道题如下： 如图，已知中，．求证：， 小丽与小明思考后，有一段交流对话： 小明：这是一个假命题，因为根据三角函数的定义，图中没有直角三角形，所以结论不成立． 小丽：我可以过某一个点作出垂线段，产生直角三角形，就可以证明了． 小明：哦……我明白了！ (1)请你完成小丽的证明过程． (2)已知，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形、三角形外角定理和勾股定理，解题的关键是熟悉解直角三角形， （1）过点A作交延长线于点D，则，即有，在中，； （2）由（1）得，，求得，进一步求得和，在中，，则有，利用三角形面积公式即可． 【详解】（1）证明：过点A作交延长线于点D，如图， 则， ∵． ∴， 在中，； （2）解：由（1）得，， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， 那么，的面积． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作交延长线于点，连接、，由垂直平分半径，得到，，在中利用余弦的定义推出，则有，根据点C是弧的中点，得出，解求出、的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于点，连接、， 垂直平分半径， ，， ， 在中，， ， 点C是弧的中点， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．已知A、B两点都在网格点上，连接． (1)画出，点C在方格纸上的格点上，的面积为，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出中边的中线，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出中线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了无刻度直尺作图：解直角三角形，勾股定理，三角形的中线，全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式，点在与平行且距离为3格的格线上，再根据正切的定义得到C点到A点的水平距离为4格，从而可确定C点位置； （2）取格点，连接与交点即为点，可得，则，则为中线； （3）取格点，连接，由，得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：取格点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2025·浙江绍兴·三模）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先解求出，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解； （2）先解求出，而，再由求出，最后由正弦的定义求解． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在中，． 5．（2025·广西玉林·三模）如图，在中，，是中的角平分线．的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据线段垂直平分线的性质得到．求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设的半径为，解直角三角形求出，，，证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线交于点， ， 点在上，且， 是的角平分线， ，且点在上， ， ， ， ， 于点. 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，，，， ， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，求反比例函数解析式，连接，过作轴于点，设，求出点的坐标为，由沿翻折，则有，，所以，，从而有点的坐标为，然后代入解析式求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点， 设， 在中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵将沿翻折， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏泰州·三模）如图，四边形是的内接四边形，弦非直径，点在弦上（不与端点重合），延长、交于点． (1)给出三个信息：①；②；③．请你从这三个信息中选择两个信息作条件，剩余一个信息作结论，构成一个命题，判断命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是________，_________，结论是________（只填序号）； (2)在（1）的条件下，若的度数为，，． ①求的正弦值； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或或 (2)①；② 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，扇形的面积，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质得出，三个条件中等价于，等价于，再利用角度的和差即可判断； （2）①连接，，，利用的度数为，得出，可得，利用勾股定理得出，再利用三角函数定义即可求解；②由（1）可得，得出，利用是等腰直角三角形，得出，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：第一种情况：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 第二种情况：， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 第三种情况：， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 故答案为：或或； （2）解：①如图，连接，，， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 8．（2025·江苏泰州·三模）如图，在中，，，．直线l为经过点B的一条动直线（不与重合），点A关于直线l的对称点为，当点落在的一边上时，线段的长为 ．    【答案】5或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．作于点，根据，结合勾股定理求得，，分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点，    ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， 当点落在边上时，如图，作于点，    ∵点A与点关于直线l对称， ∴，， 四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 点落在边上时，如图，作于点，    ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵点A与点关于直线l对称， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 点落在边上时，如图，    ∵点A与点关于直线l对称， ∴， ∴； 综上，线段的长为5或或． ( 题型0 3 )解直角三角形的实际应用——俯仰角问题 1．（2025·江苏泰州·三模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：（参考数据：，，，） 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角 从E处测得灯杆支架C处仰角 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的相关知识；作，垂足为，延长，作，垂足为，设，利用解三角形可得：，再利用列方程求解． 【详解】解：作，垂足为，延长，作，垂足为． ， ， 设， 则在中，． 在中，， 由题意得， ， ， 在中，， 即， 解得； 答：灯管支架的长度是． 2．（2025·河南平顶山·三模）为建设全域旅游西昌、加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”率（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛B距离地面，向塔前行，到达点D处，测得塔顶C的仰角为，求塔高．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确解直角三角形是解题的关键． 设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 在中，， 在中，， ， ， 解得， ， 答：塔高为． 3．（2025·河南信阳·三模）郑州图书馆位于郑东新区，地标性建筑之一，是一所综合性现代化大型文化场馆，入选第三批“全国古籍重点保护单位”．某校学习小组把测量郑州图书馆的高度作为一次课题活动，并绘制如下项目式学习表： 课题 测量郑州图书馆的高度 模型 说明 图书馆楼顶最高点到地面的高度为，在点用仪器测得点的仰角为 ，在点用该仪器测得点的仰角为（ ，且点，，，，，均在同一竖直平面内． 数据 ，测角仪的高度为1.8m ， 任务 （1）依据相关数据求出郑州图书馆的高度； （2）已知最后结果与实际数据有出入，请你写出一条减少误差的建议． 【答案】（1）米（2）多次测量求平均值 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题． （1）连接，交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）根据多次测量求平均值可以减少误差进行解答即可． 【详解】（1）解：连接，交于点， 由题意得：，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 郑州图书馆的高度为． （2）减少误差的建议为多次测量求平均值． 4．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 5．（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及俯角问题，读懂题意，数形结合，准确选择三角函数求解是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，在中，解直角三角形求出，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，则（米）， 答：点到地面的距离为米； （2）解：延长交于点，如图所示： 在中，，则（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，，则（米）， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． ( 题型0 4 )解直角三角形的实际应用——方向角问题 1．（2025·湖南邵阳·三模）为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，求出，得；通过解直角三角形得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴ （2）解：过点作于点，如图， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 所以，此时A，C两个小组之间的距离为． 2．（2025·河北唐山·三模）如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度约为千米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，由题意得，，则，先解求出，再解即可求解； （2）过点作于，分别解，，，求出，然后计算与进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于， 由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点作于， 在中，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米， 千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 【答案】商场A到电影院D距离约为780米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过B点作于点E，于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：过B点作于点E，于点F， 由题意得，， 四边形为矩形， ， 由题意得，米，米， 在中，， （米）， （米）， （米），（米）， 在中，， （米）， （米） 答：商场A到电影院D距离约为780米． 4．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】(1)米 (2)小亮先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 5．（2025·重庆·三模）如图，在海平面上有一处小岛A，小岛A的正西方向上有一个观测站B，在观测站B的东北方向距离海里处有一个小岛C，小岛C正好位于小岛A的正北方向，小岛C的东南方向有一个避风港D，避风港D在小岛A的北偏东方向上，（参考数据： (1)求小岛C与避风港D的距离．（结果保留整数） (2)一艘渔船从小岛C以每小时16海里的速度沿东南方向行驶6小时的时候，突然收到观测站B发出台风警报，已知台风中心位于小岛C处，正以每小时35海里的速度向东南方向移动，距离台风中心80海里都会受到影响．收到讯息后渔船立即以每小时25海里的速度沿东南方向前往避风港D躲避台风，请问渔船能否免受此次台风影响？ 【答案】(1)小岛C与避风港D的距离为132海里 (2)渔船不能受此次台风影响 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题． （1）作于点E，设，根据列方程求解即可； （2）求出渔船到大避风港D时台风距离避风港的距离即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点E， 由题意得，，海里， ∴， ∴， ∴． 设， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴小岛C与避风港D的距离为132海里； （2）渔船到达避风港所需的时间为：（小时）， ∴船到达避风港时，台风中心距离避风港的距离为：（海里）， ∵， ∴渔船不能受此次台风影响． ( 题型0 5 )解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题 1．（2025·安徽滁州·三模）如图，数学兴趣小组成员站在河岸上的G点，测得河里小船C的俯角是，若该同学的眼睛与地面的距离是，迎水坡的坡度，坡长．求此时小船C到岸边的距离的长．(参考：) 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作并交的延长线于点M，延长交的延长线于点N，可得和矩形.根据可得，根据，求出，即可求出的长. 【详解】解：作并交的延长线于点M，延长交的延长线于点N，可得和矩形． 在中，， ， ∴． 在中， ∴． 答：此时小船C到岸边的距离的长为． 2．（2025·海南省直辖县级单位·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动． 活动内容 测量小河对岸某塔的高度 测量工具 测距仪，测角仪，计算器 测量方案 测量示意图 测量说明 在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着沿坡度的斜坡向上行走10米到达点D处，此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（点在同一平面内，测量仪器高度忽略不计） 参考数据 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，___________米； (2)求塔AB的高度．（结果精确到1米） 【答案】(1)，， (2)塔的高度约为25米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用. （1）直接根据题意作答即可； （2）过点作于点，过点作于点，由三角函数求出米，米，证明四边形DMBH为矩形，设米，根据计算即可. 【详解】（1）由题意可知，米， ∵ ∴ 故答案为： （2）如图，过点作于点，过点作于点， 在中， ， 米，米， ， 四边形DMBH为矩形， 米，， 在中， ， ， 设米，则米，米， 在中， ， ， ． 答：塔AB的高度约为25米． 3．（2025·陕西商洛·三模）项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 【答案】无障碍通道和的总长为米 【分析】延长，，交于点H，过点B作于点T，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可． 【详解】解：如图，延长，两线交于点，过点作于点，则． ， ． ， ． ． 四边形为矩形． ． 米，， （米）． 米 ． ． ． ， 米． （米）． 在Rt中，（米） （米）． 无障碍通道和的总长为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（2025·贵州毕节·三模）为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面的距离为0.8 m，踏板与地面的坡比，支架的长为0.8m，跑步机手柄为，且，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求踏板的长； (2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)踏板的长为； (2)． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用． （1）过C作于G，由坡比求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点，则，由题意得到，则，根据三角函数求出，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于点． 踏板与地面的坡比， ， ， ， 即踏板的长为． （2）如图，延长交于点，则． 小王身高为1.8m，通过尝试发现，当是身高的倍时运动起来更加舒服， ． ， ． 即此时点到手柄的距离为． 在中，， ． 由（1）得， ． 5．（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． ( 题型0 6 )解直角三角形的实际应用——其他问题 1．（2025·江苏盐城·三模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ (1)的度数 (2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 2．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 【答案】(1)24.2m (2)48.2m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，证明四边形和四边形均为矩形，得到，，再结合解直角三角形得到，即可解题； （2）过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，证明四边形和四边形均为矩形，得到，再结合，达到最大角度，推出，结合解直角三角形得到，推出，结合解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， ∵， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， ∴（m）． 答：此时的长为24.2m． （2）解：过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， 依题意得：当，达到最大角度时，则，， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， 在中， ，m， ∴， ∴， ∴m． 答：该消防车可救援的最大高度约为48.2m． 3．（2025·河北邢台·三模）如图2是一款台灯（如图1）的侧面示意图，底座长，灯板长，支杆的高度可调节，已知于点，连接． (1)如图2，当与平行时，求的高度由下降时减少的度数； (2)固定的高度为，当灯板从图2的位置开始绕点顺时针旋转到图3的位置，求点到底座的距离． （参考数据：．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法． （1）过点作于点，求得，的高度由下降时，可求得，从而可求出减少的度数； （2）过点作于点，过点作于点，分别求出和即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则四边形为矩形． ， ， 在中，， ， ， 同理可得：的高度由下降时， ． 减少的度数． （2）解：如图2，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ． 在中，． ． ． ． ∴点到底座的距离为． 4．（2025·贵州铜仁·三模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，． (1)求的度数； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)的度数为； (2)该运动员能挂上篮网，理由见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长，交于点，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数为； （2）解：该运动员能挂上篮网， 理由如下：延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在中，米， （米）， （米）， 米米， 该运动员能挂上篮网． 5．（2025·河南信阳·三模）建筑工地中的塔吊由支架，吊臂，拉线等组成．画出其示意图名图如图，为支架，为吊臂，拉线为，，其中与互相垂直．已知，，．若点恰好位于同一个圆周上，试求吊臂的长．（，，，结果保留整数） 【答案】吊臂的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键．连接，由圆周角定理求得，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，如图 点恰好位于同一个圆周上，， ； 在中，， ； 在中，， ； ． 答：吊臂的长为． 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$