专题04 一次函数与反比例函数（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题04 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数基础知识 题型03 一次函数的图象与性质 题型04 一次函数的实际应用 题型05 反比例函数的图象与性质 题型06 反比例函数中的面积问题 题型07 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 题型08 反比例函数与一次函数的综合——求面积 题型09 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 ( 题型01 )平面直角坐标系 1．（2025·贵州铜仁·三模）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（   ） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 【答案】B 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对第一个数表示从里到外的圈数，第二个数表示的是度数，据此可得答案． 【详解】解：∵目标A用表示，目标E用表示， ∴表示的是目标C， 故选：B． 2．（2025·贵州遵义·三模）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点所在的象限，根据横坐标为正数，纵坐标为负数，得出该点在第四象限，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限， 故选：D． 3．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标平移的特征，根据左减右加，上加下减即可确定点平移后点的坐标，再根据各象限坐标的特征即可得出答案． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，在第四象限， 故选：D． 4．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】∵点在第三象限， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（2025·广东东莞·三模）若点在x轴上，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特点是解题关键． 直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为2． 6．（2025·安徽黄山·三模）若点在第三象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标特征、解不等式组，由点在第三象限得出，计算即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：D． 7．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移m（）个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫作图形的变换．如点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．根据题意将先向上平移2个单位得到，再将绕原点按顺时针方向旋转得到点，连接交轴于点，作轴于点，求得，，求得，在中，解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意将先向上平移2个单位得到，再将绕原点按顺时针方向旋转得到点， 连接交轴于点，作轴于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为：． 10．（2025·河南洛阳·三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第2025秒时；点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转四秒点A对应点的坐标循环出现及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第2025时，点的对应点的坐标． 【详解】如图， ∵，叶片每秒绕原点O逆时针转动， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：A． ( 题型0 2 )函数基础知识 1．（2025·陕西咸阳·三模）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图，求函数关系式．根据题意列出函数关系式即可. 【详解】解：输入后第一步取的相反数得到，在此基础上“”得到，在此基础上“”得到，因此输出的应为． 即所得与之间的函数关系式为 故选：B． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为： 3．（2025·云南红河·三模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．（2025·黑龙江绥化·三模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据零指数幂，二次根式，分式有意义的条件即可求解，解题的关键是正确理解（）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；（）当函数是零指数幂时，底数不能等于． 【详解】解：函数的自变量的取值范围是， 解得：， 故选：． 5．（2025·河南周口·三模）下表是牡丹蛋糕店几种蛋糕的售价表： 蛋糕种类 价格/（元/块） (1)小华发现，买块种蛋糕、块种蛋糕共需元，而每块 种蛋糕比每块 种蛋糕便宜元，则表中 ， ． (2)小华原本拿了4块蛋糕去结账，他发现店里正举办优惠活动：若买5块蛋糕，则免去一个最便宜的蛋糕的钱．因此， 小华就多买了一块D 种蛋糕．设小华原本块蛋糕的结账金额为 元，多买一块后的结账金额为元． ①试写出与的函数关系式； ②直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2)①或；② 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，求函数值的范围； （1）根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）①分类讨论，购买的蛋糕最便宜的是否有元的，根据题意列函数关系式； ②根据价格表结合题意，求得最少金额和最多金额，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 解得： 故答案为：，． （2）解：①当没有购买蛋糕，则蛋糕是最便宜的，则， 当购买了蛋糕时，， ②当购买最便宜的4块，加上一块D 种蛋糕．则 当购买的是最贵的块，一块D 种蛋糕．则 ∴． 6．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据溶液呈碱性，，以及将给定的溶液加水稀释，值逐渐接近，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象． 【详解】解：溶液呈碱性， ， 将给定的溶液加水稀释， 值逐渐减小，逐渐接近， 故选：B． 7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）甲、乙二人骑自行车沿同一条笔直的公路由A地匀速驶往B地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的4倍．乙比甲晚出发，两人之间的距离y（单位：）与甲所用的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． 结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为________；A，B两地之间的距离为_______； (2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，不需要写出自变量x的取值范围； (3)甲出发多少小时，两人相距的路程是？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2)； (3)甲出发或或时，两人相距的路程是． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想进行解答． （1）根据图像可以求出甲的速度，再得出乙的速度，根据甲的速度和甲走完全程所用时间求出、之间的距离； （2）根据甲乙相遇时所走路程相同列出方程，解方程求出处横坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）分甲、乙相遇前后和乙到达地甲未到达地三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图像知，甲的速度为， ∵乙的速度是甲的速度的4倍， ∴乙的速度是， 由图像知，甲小时走完全程， ∴，两地之间的距离为千米． 故答案为：，； （2）解：设处横坐标为，即在乙处追上甲， 由题意得， 解得； 即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴线段的解析式为； （3）解：甲出发x小时， ①甲、乙两人相遇前距离为时， 根据题意得：， 解得； 甲、乙两人相遇后距离为时， 根据题意得：， 解得； 当乙到达地，两人相距时，即甲距离地， 此时甲所用时间为：． 综上所述，当甲，乙两人之间的距离为时，甲所用的时间为或或． 8．（2025·河南新乡·三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从地出发骑行前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③、两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达地．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②；求出甲的总路程判断③；求出甲到达地时，乙离地的距离，判断④． 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误； ∵分钟乙的路程为（米） （分钟） 即乙比甲晚分钟到达地，故正确． 故选B． 9．（2025·河南信阳·三模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度S（单位：g）与温度T（单位：）之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法中正确的是（   ） 1．溶质质量+溶剂质量=溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当该溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度 B．在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态 D．当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质进行分析，对各条信息逐一判断即可． 【详解】解：根据图象的交点及在一定范围内图象的性质，逐项分析判断如下： A．当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度；当温度大于时，甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度；当温度等于时，甲种物质的溶解度等于乙种物质的溶解度，原说法错误，不符合题意； B．在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大，原说法错误，不符合题意； C．由图象知：当时，甲种物质的溶解度大于，所以向水中添加甲种物质，则甲溶液一定不能达到饱和状态，原说法错误，不符合题意； D．由图象知：当时，乙种物质的溶解度小于，所以向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态，说法正确，符合题意． 故选：D． 10．（2025·河南安阳·三模）2024年9月5日－6日，“行走大运河”中国辉煌足迹大运河龙舟系列活动（河南郑州站）暨郑州市第十二届运动会全民健身组龙舟比赛在郑州市郑东新区北龙湖举行，其中甲、乙两队在500米的赛道上划行的路程与时间之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①甲队比乙队晚到达终点； ②当乙队划行时，仍在甲队后面； ③当乙队划行时，已经超过甲队； ④后，甲队比乙队每分钟慢． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了从函数图象获取信息，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义逐项分析即可． 【详解】解：①由横坐标看出乙队比甲队提前到达终点，此结论正确； ②由图象可得，当划行的路程为时，乙用的时间较多，所以当乙队划行时，仍在甲队后面，此结论正确； ③因为函数图象交于点，所以两队在时划行的路程都是，即当乙队划行时，此时正好追上甲队，此结论错误； ④后，乙的速度是；甲的速度是，所以甲队比乙队每分钟慢，此结论错误； 故选：B． 11．（2025·安徽亳州·三模）若函数中，当自变量时，因变量随着的增大而减小，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数等的图象与性质，分别观察图象，根据图象性质逐一排除即可，掌握函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小，符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小或增大，不符合题意； 故选：． 12．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是 （只填写正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了函数的图象和性质．画出函数图象，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：函数图象如图， 根据表格中的性质可以其此函数图象关于原点中心对称，故②正确； 将代入得到， ，所以， ∴， 当时，，即， 当，，即， 故①正确； 因为此函数的自变量x的值不能取0，所以③错误； 根据图象的性质可知当时，函数y有最小值为2，故④正确； 当时，， 即 解得或3， 根据图象，可知当或，故⑤错误； 所以填写①②④． 故答案为：①②④ 13．（2025·安徽淮北·三模）如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点的位置分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边上；②点P在边上；③点P在边上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断． 【详解】解：矩形， ，，， ①当时，点P在边上， ， ，， ，即， ， ； ②当时，点P在边上，点与点重合， ， ； ③当时，点P在边上， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ； ， S与t的函数图像大致为 故选：D． 14．（2025·广东深圳·三模）如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数图象，先证明，推出 ；根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则，求出此时，得到点为中点，推出，进而证明，得到，求出，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则， ∴， ∵， ∴此时，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． ( 题型0 3 )一次函数的图象与性质 1．（2025·安徽合肥·三模）记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据题意设，得出，根据为正比例函数，得出为正比例函数，从而得出，求出，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵为正比例函数， ∴为正比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·贵州毕节·三模）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，确定其表达式中系数需满足的条件，进而求解的取值． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 3．（2025·广西·三模）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据，可得y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限，据此可判断A、D，求出当时和当时的函数值即可判断B、C． 【详解】解：A、在中，当时，，则点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意； B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：A ． 4．（2025·陕西咸阳·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（k为常数，）相交于点A，则点A在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象过象限与的关系是解题的关键． 先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，），， ∴直线经过第一、二、三象限， ∵正比例函数，， ∴其图象经过第二、四象限， ∴两个函数图象都经过第二象限， ∴交点在第二象限， 故选：C． 5．（2025·广东东莞·三模）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（   ） A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可．利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡， 这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿， 故选：C． 6．（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质解答即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 7．（2025·陕西咸阳·三模）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 ．．． 菜苗高度 2.4 4.8 7.2 9.6 12 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系； (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值． 【答案】(1)图见解析，一次； (2)； (3)35． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据题目给出的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，然后通过观察这些点的分布，可以判断出菜苗高度与已种菜苗天数之间的函数关系； （2）直接利用待定系数法求一次函数的关系式即可； （3）利用这个函数表达式来求解菜苗成熟时的种植天数即可． 【详解】（1）解：描出表中数据对应的点，如图： 通过观察图像，我们可以看出这是一个一次函数关系． 故答案为：一次． （2）设关于的函数表达式为， 将代入，得到方程组：， 解得：， 关于的函数表达式为； （3）根据题目描述，这种菜苗在高度达到时成熟， 将代入，解得：， 菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值为35． 8．（2023·安徽合肥·三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：将点代入一次函数， ， ， ， ， . ， . 不等式两边同时除以得. 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质. 9．（2025·安徽合肥·三模）已知直线经过点，则必经过另一个点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意可得，再逐一检查分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，， ∴，故A不符合题意； 当时，， ∴，故B符合题意； 当时，， ∴，故C不符合题意； 当时，， ∴，故D不符合题意； 故选：B 10．（2025·贵州贵阳·三模）如图，点在直线上，则的值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，根据坐标求函数值等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质和待定系数法． 根据图象找到直线上的两个坐标，利用待定系数法求出函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：根据图象可得，将代入得 ， 解得， ∴， 将代入得， ， 故选：C． 11．（2025·四川绵阳·三模）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．4或 B．4或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理、勾股定理，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；掌握垂径定理，切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形由勾股定理进行求解是解题关键． 【详解】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接， ， 与x轴相切， 轴， ， 的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上， 设， ， ， 在中， ， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 半径是6或； 故选：C． 12．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数b，使得 B．无论实数b取什么值，都有 C．可以找到一个实数c，使得 D．无论实数c取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，求出即可判断A、B选项，求出即可判断C、D选项． 【详解】解： 一次函数的图象经过， ， ，故选项A、B均错误； 一次函数的图象经过， ， 当时，，故，故选项C正确； 当时，，故，选项D错误； 故选：C． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，小云同学在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，则下列判断不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，则，则，故B正确，不符合题意； C、当时，则，且， ∴，故C正确，不符合题意； D、当时，则， 当时，则，当时，则，故D错误，符合题意， 故选：D． 14．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 15．（2025·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象所过象限与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∵，， ∴直线经过第二、四象限， ∴两个函数图象都经过第二象限， ∴交点在第二象限， 故答案为：二． 16．（2025·安徽合肥·三模）一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到，则一次函数为，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 17．（2025·甘肃庆阳·三模）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】此题考查一次函数解析式确定图象经过的象限，掌握一次函数的性质是解题关键．关键是根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，得出的取值范围．进而解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 18．（2025·安徽池州·三模）如果，且，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据，且，得出，，再结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴m与n异号，m与同号；或，． 又∵， ∴，， ∴经过第一、二、四象限或经过第二、四象限，即不经过第三象限， 故选：C． 19．（2025·陕西西安·三模）已知正比例函数中，y随x的增大而减小，则一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据正比例函数的函数值随的增大而减小判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．掌握一次函数的性质是解本题的关键． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 20．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 将代入得，则代入原不等式，化为，再根据图象可得，则，即可求不等式的解集． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴化为：， ∴， 由函数图象可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2025·河南开封·三模）写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数的关系，根据图象经过第二、三、四象限可得一次项系数和常数项都小于0，再根据图象经过点可确定常数项，据此可得答案． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图象经过第二、三、四象限， ∴，， 又∵过点， ∴， 当取，则一次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（2025·陕西榆林·三模）一次函数的图象经过点，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求出的值，进而求出的解析式，令，进行求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 解得， 一次函数的解析式为． 在中，当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是． 故选A． 23．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为： 24．（2025·陕西西安·三模）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意． 故选：B． 25．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数以及正比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，分别分析各选项函数在时的单调性即可解答． 【详解】A．对于一次函数，其一次项系数．根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，所以在时，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B．对于反比例函数，其中．根据反比例函数 的性质，当时，在每个象限内随的增大而减小，时即在第一象限，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．对于二次函数，其二次项系数，对称轴为．根据二次函数的性质，当时，在对称轴右侧随的增大而增大，因为在对称轴右侧，所以在时，随的增大而增大，该选项正确，符合题意； D．对于二次函数，二次项系数，对称轴为．根据二次函数性质，当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，包含了对称轴左侧这部分区间，所以在时，不是单调递增的，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 26．（2025·江苏徐州·三模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键． 由函数图象可知，函数图象经过点，并且函数值随的增大而增大，得到，，求出，推出函数的并且函数值随的增大而减小，得到关于x的不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，函数图象经过点，并且函数值随的增大而增大， ，， ， 函数的并且函数值随的增大而减小， 当时，， 关于x的不等式的解集为， 故选：D． 27．（2025·河南南阳·三模）已知点在直线上，且在直线的下方，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的联系，解法一：画出图象根据交点坐标即可求出答案；解法二：．求得，即可得到答案． 【详解】解法一：如图，由图象可得直线与直线的交点坐标为， 数形结合，可得， 故选：A． 解法二：点在直线上， ． 对于，当时， ∵点在直线的下方， ，即， 解得． ， 即 故选：A． 28．（2025·湖南衡阳·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意求出驽马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为，良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数为，联立，求解即可求得点M的坐标． 【详解】解：根据题意：驽马的行走路程关于驽马的行走时间的函数表达式为，良马的行走路程关于驽马的行走时间的函数为， 联立， 解得， 则两直线交点的坐标是． 故答案为：． ( 题型0 4 )一次函数的实际应用 1．（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时，方案二更省钱；当时，方案一和方案二费用一样；当时，方案一更省钱．理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意可得、与之间的函数关系式； （2）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得： 按照方案一获得包装盒的总费用； 按照方案二获得包装盒的总费用； （2）解：当时，方案二更省钱；当时，方案一和方案二费用一样；当时，方案一更省钱．理由如下： 令，则， 解得， ∵， ∴当时，，方案二更省钱； 当时，，方案一和方案二费用一样； 当时，，方案一更省钱． 2．（2025·河南信阳·三模）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 【答案】(1)①，；②260 (2)或 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，不等式的应用，理解题意是解题关键． （1）①根据题意，直接列出函数关系式即可；②分两种情况分析令，令，分别求解即可； （2）分四种情况分别分析两种方案的优惠价格，即可得出结果． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：，即． ． ②令， 解得（不符合题意，舍去）． 令， 解得（符合题意）． 故的值为260． （2）根据题意得：当时， 方案一购买需n元，方案二购买需0.8n元，，不符合题意． 当时，令， 得， ． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格小于元，符合题意． 当时，方案一购买优惠的价格为元， 方案二购买优惠的价格不超过元，符合题意． 综上，n的取值范围为或． 3．（2025·贵州毕节·三模）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，小王所在公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，已知购进A型净水器20台，B型净水器30台共需花费9.4万元，购进A，B型净水器各20台共需花费7.6万元． (1)每台A型和B型净水器的进价各是多少元？ (2)该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，且购买资金不超过9.8万元．试销时每台A型净水器售价2500元，每台B型净水器售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造的资金．要使公司售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润最大，应该如何安排进货？ 【答案】(1)台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1800元； (2)当购进A型净水器40台，B型净水器10台时，取最大值，即获得的利润最大． 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． （1）设每台A型净水器的进价为元，每台B型净水器的进价为元．购进A型净水器20台，B型净水器30台共需花费9.4万元，购进A，B型净水器各20台共需花费7.6万元．据此列出方程组，并解方程组即可； （2）设售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为．列出函数解析式，求出自变量的取值范围，根据一次函数的的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设每台A型净水器的进价为元，每台B型净水器的进价为元． 根据题意，得 解得 每台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1800元． （2）解：设售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为． 根据题意，得． 当时，， 的值随值的增大而增大． 根据题意，得， 解得． 当购进A型净水器40台，B型净水器10台时，取最大值，即获得的利润最大． 4．（2025·河南信阳·三模）郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． (1)若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． (2)若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)32个，10个 (2)制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个；1570元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用． （1）设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）根据题意得出m的取值范围，再写出w关于m的一次函数，结合一次函数的图像和性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个， 则，解得， 答：制作小型陶瓷摆件32个，大型陶瓷摆件10个． （2）解：设总利润为元，制作小型陶瓷摆件个，则制作大型陶瓷摆件个． ． 由， 可得：． ， 随着的增大而减小． 当时，有最大值，． ． 当制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个时，获利最大，最大利润为1570元． 5．（2025·吉林松原·三模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象． (1)小明的速度是___________米/分； (2)求段的函数解析式； (3)当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 【答案】(1)80 (2) (3)800米 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式，从函数图中获取相关信息是解题的关键． （1）从函数图中获取路程与时间信息解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用小明离到家剩余时间速度即可． 【详解】（1）解：由题意可得：米/分， 故答案为：． （2）解：由图象可得：函数过，这两点， 设段一次函数的解析式为：， 把，代入可得： ， 解得：， ∴段一次函数的解析式为：； （3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟， 由（1）可得：小明的速度为每分钟米， ∴小明与家的距离为：米． 6．（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) ①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，． (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据小明的运动过程，计算得出小明离开学校时，小明离家的距离，再结合函数图象信息填表即可； ②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题； ③结合函数图象，利用待定系数法分情况求解，即可解题； （2）设小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，根据题意得到过点，，利用待定系数法求出解析式，再联立求解，即可解题． 【详解】（1）解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为， 根据图象填表如下： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 故答案为：2，1.2，0.4； ②小明从超市返回家的速度为； 故答案为：0.08； ③当时，设解析式为， 则，解得， 故； 当时，； 当时，设解析式为， 则，解得， 故． （2）解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为， 当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家； 过点，， 则，解得， ， 联立与，解得， 小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是． 7．（2025·陕西榆林·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折． 该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)（，且x为整数）； (2)在A超市购买更划算 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于100盒和大于100盒两种情况表示出关于x的函数关系式； （2）将分别代入和求解比较即可． 【详解】（1）根据题意得，（，且x为整数）， 当且x为整数时，， 当时，且x为整数，， 与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）． 与x之间的函数关系式为： （2）当时，． 而， ∴该单位在A超市购买更划算． 8．（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】(1)120元 (2)商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程的应用，二次函数的应用； （1）由销售价格浮动的百分点之间的函数关系及售价（利润率）成本，即可求解； （2）由销售量单件的利润元，列方程，即可求解； （3）设捐赠后的日销售利润为元，可得，利用二次函数的性质，即可求解； 理解、的实际意义，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为元，由题意得 ， 解得：， 答：该公司生产销售每件商品的成本为元； （2）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 当时， （元）， 当时， （元）， 答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为660元； （3）解：设捐赠后的日销售利润为元，由题意得 ， 对称轴为直线， 当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， ， ． ( 题型0 5 )反比例函数的图象与性质 1．（2025·江苏徐州·三模）把数字1，2，3，6四个数字分别写在完全相同的小球上，放在不透明的袋子中摇匀，小明从中摸出一个球记下数字作为点的横坐标，不放回，再从中摸出一个球记下数字作为点的纵坐标． (1)用树状图或表格列出所有的坐标情况； (2)求这些点在反比例函数的图像上的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率、反比例函数的性质等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是关键． （1）用列表法表示出所有情况即可； （2）根据共12种结果，在反比例函数图像上的点有4个，即可求出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 6 1 2 3 6 共12种结果； （2）在反比例函数图像上的点有4个，分别为， P（在反比例函数图像上） 2．（2025·云南红河·三模）若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 将点与代入反比例函数可得一个关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】解；将点与代入反比例函数可得： ，解得：． 故答案为：4． 3．（2025·安徽六安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，掌握待定系数法是解题的关键． 将代入一次函数中，求出m得到点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数求出k即可； 【详解】解：将点代入，得 4，即点， 将点代入，得 ． 故答案为：4． 4．（2025·重庆·三模）若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 5．（2025·云南·三模）已知反比例函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为值，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2025·安徽淮北·三模）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方体体积计算公式求解即可； （2）分别把和代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可得到m、n的值，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）先利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出函数与函数的交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为， ， ； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴； 故答案为：，； 函数图像如下图，为所求； （3）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点坐标为， ∴由函数图象可得当时，x的取值范围是． 故答案为：，． 7．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于关于原点对称；当时，y随x的增大而减小，得用排除法求解． 【详解】解：∵点，， ∴B与C关于原点对称， 即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 8．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（） … 10 12 15 20 30 … 速度v（） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)v与W成反比例函数关系， (3)此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意，由8 分钟内将货物运送至 2400 米，从而（米／秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， 设，代入得：， ， 代入上式，均符合． ． （3）解：由题意，∵分钟内将货物运送至 2400 米， ∴， ， 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 9．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 10．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号； ∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限， ∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限， ∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限， ∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 11．（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．当时，函数图象位于第一、三象限；时函数图象位于第二、四象限． 先求得点关于轴对称的点的坐标，然后根据题意求得��的值，进而即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点为， 把代入中，可得，解得， ∴这个函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A． 12．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 13．（2025·湖北武汉·三模）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质及其应用．根据变量变化趋势即可确定参数范围． 【详解】解：∵，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（2025·陕西榆林·三模）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，把的最小值代入反比例函数的解析式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，反比例函数的函数值随着增大而增大， ∴当取最小值时，函数值最小， ∵当时，， ∴反比例函数的最小值为， 故答案为：． 15．（2025·浙江温州·三模）点在反比例函数的图象上，且，则下列判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握此知识是解题的关键；由及，则必有，即，由反比例函数的图象与性质可判断选项A与B；由及，则必有，而可正可负，由反比例函数的图象与性质可判断选项C与D． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 即； ∵中比例系数为正， ∴当时，函数值随自变量的增大而减小， ∵， ∴； 故选项A正确，选项B错误； ∵及， ∴， ∴， 而可正可负； 当时，；当时，； ∴无法确定的大小； 故选项C，选项D均错误； 故选：A． 16．（2025·天津红桥·三模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的增减性是关键． 根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少， 当时，，当时，， ， ∴， ∴， 故选：D ． 17．（2025·陕西榆林·三模）点都在反比例函数的图象上，若，则 0．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得反比例函数的解析式是． 由反比例函数的性质，得点也在反比例函数的图象上． 当时，随的增大而减小． 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：>． ( 题型0 6 )反比例函数中的面积问题 1．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 2．（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 5．（2025·安徽·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和中点的定义，设出合适的坐标，结合反比例函数图像上点的坐标特征以及阴影部分面积．首先，由矩形的性质可知相关边的平行与相等关系，点是边的中点可得出点坐标的相关关系．然后，根据反比例函数系数k的几何意义四边形得面积．最后，根据阴影部分面积为2建立方程，即可求解． 【详解】如图： ， ， 四边形，是矩形，轴，轴， 则四边形是矩形， ，， 又是边的中点， ∵反比例函数的图像分别交边与P， 四边形得面积， 解得： 故答案为：12． 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，A，C为反比例函数（）图象上的两点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，线段交于点E，且E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴, ∴， 则， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴． 故选A． 7．（2025·河南驻马店·三模）已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为，为轴上任意一点．若的面积为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，轴对称的性质等知识．熟练掌握相关知识点是解题关键． 设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：第一象限内的点在反比例函数的图象上， 设，则， 根据题意得， ， 故选：D． 8．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，若点为的中点，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，解题关键是利用反比例函数k的几何意义求出相关几何图形的面积． 连接，，由矩形的性质用表示出，，求出，再根据，得到关于的方程求解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点为的中点， ∴，即， ∵点E，D在反比例函数的图象上， ∴，， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． ( 题型0 7 )反比例函数与一次函数的综合——解不等式 1．（2025·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点． (1)求反比例函数解析式． (2)结合图象，直接写出不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形中线的性质． （1）把点代入反比例函数中，即可求解； （2）由点是线段的中点，且点的纵坐标为0，得到点的纵坐标为4，把代入反比例函数，可得．根据函数与不等式的关系即可求解； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点A的坐标，根据三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为． （2）解：点是线段的中点，且点的纵坐标为0， 由中点公式，得点的纵坐标为4， 把代入反比例函数，得． 点的坐标为． 结合图象，得不等式的解集为． （3）解：把点，代入直线：， 得解得 直线的解析式为． 当时，即，解得， ∴ ． 点是线段的中点， ． 2．（2025·河南新乡·三模）如图，直线与双曲线交于点，． (1)求的值； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集； (3)点是坐标平面内一点．若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键． （1）将点，代入直线中得，再点代入反比例函数中得到； （2）找到函数图像中直线在双曲线下方的图像对应的横坐标范围即可； （3）先求出，，，设点，再分三种情况，再结合菱形的性质解决问题． 【详解】（1）解：将点代入直线中得：， ∴， 将点代入直线中得：， ∴， 将点代入反比例函数中得：． （2）解：由（1）知，， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：，，， 设点， 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是临边，， 且，解得：， 故． 综上，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为． 故答案为： 3．（2025·重庆·三模）如图，在矩形中，，．动点以每秒个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为    (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】根据矩形的性质可以求出，当时，点在上运动时，，当时，，时，可得：，可得：； 根据函数解析式画出函数图象即可； 由函数图象可知，当时，． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ，，， ， 当时，作于点， 如下图所示，   ， ，， ， ， ， ； 当时， 如下图所示， ， ； 综上所述，    ， ， ， ， ； （2）解：画函数图象，如下图所示，    当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知， 当时，． 4．（2025·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，双曲线与直线，分别交于第一象限内的点A，点B，将线段，和函数的图象在A，B之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．若区域W有且仅有1个整点（横坐标和纵坐标都为整数的点），则k取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，根据题意画出图象，结合函数图象分析即可得解，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形如解图， ∵过点，过点，若区域有且仅有1个整点，则这个整点为， 故结合图象可知，当区域有且仅有1个整点时，, 故答案为：． 5．（2025·山东日照·三模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接．点A，B刻度分别为5，2，直尺的宽度为2，，设直线的解析式为． (1)请结合图象直接写出不等式的解集； (2)求反比例函数解析式和直线的解析式； (3)连接，点P为反比例函数上一动点，满足，求满足条件的点P的横坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为；直线的解析式为 (3)或 【分析】该题考查了一次函数的反比例函数综合，解一元二次方程，解题的关键是数形结合． （1）结合图象即可写出不等式的解集； （2）由与的长，及位于第一象限，确定出的坐标，将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出反比例解析式，由求出的长，即为的横坐标，代入反比例解析式中求出的长，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线的解析式； （3）过点D作直线的平行线l，即将直线向下平移个单位长度，同理将直线向上平移个单位长度，得到直线的解析式为，根据平行线间距离处处相等可得，点D到直线的距离等于点P到直线的距离，即此时，，联立和求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得点的横坐标为2，点的横坐标为， 根据图象可知：不等式的解集为：， 故答案为：； （2）解：点A，B刻度分别为5，2， ∴， 将点坐标代入， 得：， ； 又， ， 将和分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为，， 过点D作直线的平行线l， 即将直线向下平移个单位长度， 则直线l的解析式为， 同理将直线向上平移个单位长度，得到直线的解析式为， 根据平行线间距离处处相等可得，点D到直线的距离等于点P到直线的距离， 即此时，， 联立和可得，整理得：， 解得：或， 即满足条件的点P的横坐标为或． ( 题型0 8 )反比例函数与一次函数的综合——求面积 1．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度至直线与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可． （3）先运用勾股定理算出，，，结合平行的性质得同底等高，．结合等面积法算出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， ∴的面积； （3）解：， ∴，， 过点作，如图所示： 由题意得：， ∴同底等高， ． ∵， 则 ∴， 2．（2025·贵州毕节·三模）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）先将代入求出b的值，再将代入求出k的值； （2）先把一次函数与反比例函数解析式联立求出交点B的坐标，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点，则，即可得到，然后根据解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为． 把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意列方程组 解得或 点的坐标是， 如图，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点， ， ， 由点的坐标可得， ， ． 3．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用正切求得，从而可求得点的坐标，再求出点的坐标，然后一次函数的图象与轴交于，图象过点，可求得直线的解析式，再根据点在直线上，求得点的坐标，从而可得反比例函数的解析式； （2）先根据、两点的坐标及位置，求出，，和点的横坐标，再根据点在反比例函数的图象上，求出点的坐标，从而可求得，，再求出与，从而可得． 【详解】（1）解：∵点，轴于点， ∴点的坐标为， 又， ∴， ，， ， ， 点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于，图象过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， ， 点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为：； （2）过点作于于， ∵，， ∴，，点的横坐标为4， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为 ∴， ∴，， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，解题关键是正确求出函数解析式． 4．（2025·山东聊城·三模）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积大于的面积，求点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， ∴反比例函数． （2）解：设，， 的面积大于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． ∴． 5．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． (1)求和的值； (2)当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把点代入一次函数，反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设，则，所以点到的距离为，，则，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ∴，， 解得，，； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为， ∵点在第一象限且在点左侧，且轴， ∴设，则点的横坐标为， ∴，即， ∴点到的距离为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为． 6．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，一次函数的图象交x轴于点A，与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交反比例函数图象于点C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若P是y轴上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，熟练掌握待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式，是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出求出一次函数与x轴的交点A的坐标，再求出点C的坐标，得出，求出的面积，设点P的坐标为，根据，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为：， 反比例函数的解析式为：． （2）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入得：， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或． ( 题型0 9 )反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 1．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，则，根据三角形的公式可求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值为， 此时点P的坐标为 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、平移的性质、坐标与图形；根据平移性质和菱形性质得，设，根据两点坐标距离公式列方程求得，则，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解k值即可． 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，反比例函数的图象交一次函数的图象于和两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式，反比例函数的解析式 (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，平行线之间的距离等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数得，，再根据点B在反比例函数图象上，可得B的坐标，将点，代入中，解方程即可得出答案； （2）根据图象直接可得解集； （3）设平移后的直线为l，解析式为，过点B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时的值最小，过点B作轴于C，利用等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴， 将点，代入，得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：把的图象向下平移5个单位长度得到的直线 l 的解析式为， 如图，过点 B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时 的值最小，过点 B 作轴于点C， ∵，，，， ∴， ∴， ∴点 P 的坐标为． 4．（2025·四川绵阳·三模）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标； (2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，解题的关键是求出反比例函数和一次函数解析式． （1）将，代入表示出，，然后代入求出，得到直线，反比例函数，，，设，然后根据勾股定理求解即可； （2）如图所示，设与交于点M，设所占直线表达式为，两种直线联立求出，设，然后根据中点坐标公式得到，然后代入和求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，将，代入得 ∴， 将，代入得 解得 ∴直线，反比例函数 ∴， ∴， ∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示， ∴设 ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； （2）解：如图所示，设与交于点M ∵四边形是垂美四边形且被平分时 ∴ ∵直线 ∴设所占直线表达式为 联立得， 解得 ∴ ∵M是中点，设 ∴ ∴将代入和得， 解得 ∴，． 5．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：点A在上，且横坐标为2， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式为； （2）轴，且， 点的横坐标为4， 在中，令，则， 在中，， ． 点在直线上，设， ， 在中，， 即，整理得， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 95 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数基础知识 题型03 一次函数的图象与性质 题型04 一次函数的实际应用 题型05 反比例函数的图象与性质 题型06 反比例函数中的面积问题 题型07 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 题型08 反比例函数与一次函数的综合——求面积 题型09 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 ( 题型01 )平面直角坐标系 1．（2025·贵州铜仁·三模）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（   ） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 2．（2025·贵州遵义·三模）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 5．（2025·广东东莞·三模）若点在x轴上，则 ． 6．（2025·安徽黄山·三模）若点在第三象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移m（）个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫作图形的变换．如点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是 ． 10．（2025·河南洛阳·三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第2025秒时；点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )函数基础知识 1．（2025·陕西咸阳·三模）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．（2025·云南红河·三模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江绥化·三模）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．（2025·河南周口·三模）下表是牡丹蛋糕店几种蛋糕的售价表： 蛋糕种类 价格/（元/块） (1)小华发现，买块种蛋糕、块种蛋糕共需元，而每块 种蛋糕比每块 种蛋糕便宜元，则表中 ， ． (2)小华原本拿了4块蛋糕去结账，他发现店里正举办优惠活动：若买5块蛋糕，则免去一个最便宜的蛋糕的钱．因此， 小华就多买了一块D 种蛋糕．设小华原本块蛋糕的结账金额为 元，多买一块后的结账金额为元． ①试写出与的函数关系式； ②直接写出的取值范围． 6．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）甲、乙二人骑自行车沿同一条笔直的公路由A地匀速驶往B地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的4倍．乙比甲晚出发，两人之间的距离y（单位：）与甲所用的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． 结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为________；A，B两地之间的距离为_______； (2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，不需要写出自变量x的取值范围； (3)甲出发多少小时，两人相距的路程是？请直接写出答案． 8．（2025·河南新乡·三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从地出发骑行前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③、两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达地．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 9．（2025·河南信阳·三模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度S（单位：g）与温度T（单位：）之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法中正确的是（   ） 1．溶质质量+溶剂质量=溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当该溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度 B．在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态 D．当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态 10．（2025·河南安阳·三模）2024年9月5日－6日，“行走大运河”中国辉煌足迹大运河龙舟系列活动（河南郑州站）暨郑州市第十二届运动会全民健身组龙舟比赛在郑州市郑东新区北龙湖举行，其中甲、乙两队在500米的赛道上划行的路程与时间之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①甲队比乙队晚到达终点； ②当乙队划行时，仍在甲队后面； ③当乙队划行时，已经超过甲队； ④后，甲队比乙队每分钟慢． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025·安徽亳州·三模）若函数中，当自变量时，因变量随着的增大而减小，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是 （只填写正确的序号）． 13．（2025·安徽淮北·三模）如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东深圳·三模）如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D．6 ( 题型0 3 )一次函数的图象与性质 1．（2025·安徽合肥·三模）记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2025·贵州毕节·三模）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 3．（2025·广西·三模）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 4．（2025·陕西咸阳·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（k为常数，）相交于点A，则点A在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（2025·广东东莞·三模）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（   ） A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者 6．（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西咸阳·三模）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 ．．． 菜苗高度 2.4 4.8 7.2 9.6 12 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系； (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值． 8．（2023·安徽合肥·三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽合肥·三模）已知直线经过点，则必经过另一个点（   ） A． B． C． D． 10．（2025·贵州贵阳·三模）如图，点在直线上，则的值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 11．（2025·四川绵阳·三模）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．4或 B．4或 C．6或 D．6或 12．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数b，使得 B．无论实数b取什么值，都有 C．可以找到一个实数c，使得 D．无论实数c取什么值，都有 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，小云同学在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，则下列判断不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 14．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 16．（2025·安徽合肥·三模）一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·甘肃庆阳·三模）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 18．（2025·安徽池州·三模）如果，且，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2025·陕西西安·三模）已知正比例函数中，y随x的增大而减小，则一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 21．（2025·河南开封·三模）写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 22．（2025·陕西榆林·三模）一次函数的图象经过点，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 23．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为 ． 24．（2025·陕西西安·三模）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 25．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏徐州·三模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·河南南阳·三模）已知点在直线上，且在直线的下方，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 28．（2025·湖南衡阳·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是 ． ( 题型0 4 )一次函数的实际应用 1．（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 2．（2025·河南信阳·三模）2025年3月23日，歼-10首飞成功27年，近年来，歼-10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于x的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． (2)小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求n的取值范围． 3．（2025·贵州毕节·三模）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，小王所在公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，已知购进A型净水器20台，B型净水器30台共需花费9.4万元，购进A，B型净水器各20台共需花费7.6万元． (1)每台A型和B型净水器的进价各是多少元？ (2)该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，且购买资金不超过9.8万元．试销时每台A型净水器售价2500元，每台B型净水器售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造的资金．要使公司售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润最大，应该如何安排进货？ 4．（2025·河南信阳·三模）郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． (1)若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． (2)若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 5．（2025·吉林松原·三模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象． (1)小明的速度是___________米/分； (2)求段的函数解析式； (3)当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 6．（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 7．（2025·陕西榆林·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折． 该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ 8．（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围． ( 题型0 5 )反比例函数的图象与性质 1．（2025·江苏徐州·三模）把数字1，2，3，6四个数字分别写在完全相同的小球上，放在不透明的袋子中摇匀，小明从中摸出一个球记下数字作为点的横坐标，不放回，再从中摸出一个球记下数字作为点的纵坐标． (1)用树状图或表格列出所有的坐标情况； (2)求这些点在反比例函数的图像上的概率． 2．（2025·云南红河·三模）若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 3．（2025·安徽六安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为 ． 4．（2025·重庆·三模）若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·三模）已知反比例函数的图象经过点和，则 ． 6．（2025·安徽淮北·三模）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 7．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（） … 10 12 15 20 30 … 速度v（） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 9．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 10．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 12．（2025·江苏扬州·三模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖北武汉·三模）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为 ． 14．（2025·陕西榆林·三模）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 15．（2025·浙江温州·三模）点在反比例函数的图象上，且，则下列判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（2025·天津红桥·三模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西榆林·三模）点都在反比例函数的图象上，若，则 0．（填“>”“<”或“=”） ( 题型0 6 )反比例函数中的面积问题 1．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2025·安徽·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，A，C为反比例函数（）图象上的两点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，线段交于点E，且E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为（   ） A． B．8 C． D．6 7．（2025·河南驻马店·三模）已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为，为轴上任意一点．若的面积为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       9．（2025·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，若点为的中点，且的面积为3，则的值为 ． ( 题型0 7 )反比例函数与一次函数的综合——解不等式 1．（2025·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点． (1)求反比例函数解析式． (2)结合图象，直接写出不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 2．（2025·河南新乡·三模）如图，直线与双曲线交于点，． (1)求的值； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集； (3)点是坐标平面内一点．若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 3．（2025·重庆·三模）如图，在矩形中，，．动点以每秒个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为    (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 4．（2025·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，双曲线与直线，分别交于第一象限内的点A，点B，将线段，和函数的图象在A，B之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．若区域W有且仅有1个整点（横坐标和纵坐标都为整数的点），则k取值范围为 ． 5．（2025·山东日照·三模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接．点A，B刻度分别为5，2，直尺的宽度为2，，设直线的解析式为． (1)请结合图象直接写出不等式的解集； (2)求反比例函数解析式和直线的解析式； (3)连接，点P为反比例函数上一动点，满足，求满足条件的点P的横坐标． ( 题型0 8 )反比例函数与一次函数的综合——求面积 1．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度至直线与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 2．（2025·贵州毕节·三模）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 3．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 4．（2025·山东聊城·三模）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积大于的面积，求点C的横坐标a的取值范围． 5．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． (1)求和的值； (2)当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 6．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，一次函数的图象交x轴于点A，与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交反比例函数图象于点C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若P是y轴上一点，连接，，当时，求点P的坐标． ( 题型0 9 )反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 1．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为 ． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，反比例函数的图象交一次函数的图象于和两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，求点 P 的坐标． 4．（2025·四川绵阳·三模）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标； (2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标． 5．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$