专题10 中考压轴题（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题10 中考压轴题 题型概览 题型01 几何压轴——平移 题型02 几何压轴——对称 题型03 几何压轴——旋转 题型04 二次函数综合——线段问题 题型05 二次函数综合——面积问题 题型06 二次函数综合——角度问题 题型07 二次函数综合——三角形问题 题型08 二次函数综合——四边形问题 题型09 二次函数综合——其他问题 SHAPE \* MERGEFORMAT 几何压轴——平移 1．（2025·山东日照·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，在 中， ， 是斜边 上的中线． 【初步探究】（1）如图2，将 沿 方向平移，当点C落在点D的位置时，D，B的对应点分别是 、 ，连接 、 ．“笃学”小组发现四边形 的形状是矩形，请你证明这一结论． 【深入思考】（2）“勤思”小组将 绕点D顺时针旋转得到 ， 、 的对应点分别是N，M，若 ， ． ①如图3，当 时， 与 交于点E， 与 交于点P，求线段 的长． ②连接 ，当 时，请直接写出N到 的距离． 【答案】（1）证明见详解；（2）① ；② 或 【分析】（1）由直角三角形斜边中线得 ，由平移可知 ，那么 ，故四边形 是平行四边形，而 ，则四边形 是矩形； （2）①由勾股定理得 ，则 ，那么 ，可求 ，由平移性质得 ，由旋转性质得 ，得出 ， ，在 中，解直角三角形得 ，则 ，在 中，解直角三角形得 ； ②由题意得， ，得出 ， ，从而可得 ；分为两种情况，如图，当 时，则 和 所在直线重合，过点B作 交 于点H，过点N作 交 于点K，交 延长线于点H，则四边形 是矩形，得出 ，在 中，解直角三角形求出 ，在 中，解直角三角形求出 ，再根据 ，即可求出点N到 的距离；如图，当 时，则 和 所在直线重合，过点 作 交 于点H，过点N作 交 于点G，交 于点K，则四边形 是矩形，得出 ，在 中，解直角三角形求出 ，在 中，解直角三角形求出 ，再根据 ，即可求出点N到 的距离． 【详解】（1）解：四边形 是矩形， 理由如下： 在 中， 是斜边 的中线， ， 由平移可知 ， ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∴四边形 是矩形； （2）①解：∵ ， ， ∵ 是斜边 的中线， ， ， ， 由平移性质得 ， 由旋转性质得 ， ∴ ， ， ， ， ∴在 中， ， ， ∴在 中， ； ②由题意得， ， ， ， 如图，当 时，则 和 所在直线重合， 过点B作 交 于点H，过点N作 交 于点K，交 延长线于点H， 则四边形 是矩形， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 即点N到 的距离为 ； 如图，当 时，则 和 所在直线重合， 过点 作 交 于点H，过点N作 交 于点G，交 于点K， 则四边形 是矩形， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 即点N到 的距离为 ； 综上，点N到 的距离为 或 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键． 2．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片 为矩形，且 厘米， 厘米，点E，F分别为边 ， 的中点，沿 将纸片剪成两部分，将纸片 沿纸片 的对角线 方向向上平移． ①当纸片 平移至点 与 的中点O重合时，两个纸片重叠部分 的面积与原矩形纸片 的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分 的面积与原矩形纸片 的面积之比是 时，则平移距离 为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片 为菱形， ， 时，将纸片 沿其对角线 剪开，将纸片 沿 方向向上平移．当两个纸片重叠部分 的面积与纸片 的面积之比为 时，求平移距离 （用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片 中， ， 厘米， 厘米，取 ， 中点D，E，将 沿 剪开，得到四边形 和 ，将 绕点D顺时针旋转得到 ．在 旋转一周的过程中，求 面积的最大值． 【答案】（1）① ；② 或 ；（2） ；（3）144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形 是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出 和 的长，再利用矩形的面积公式计算 和 的面积，即可求解；②设 厘米，则 厘米，表示出四边形 的面积，再结合题意列出方程，解出 的值即可解答； （2）利用平移的性质得到 ，推出 ，再利用相似三角形的性质得出 ，即可求解； （3）过点 作 于点 ，利用勾股定理求出 厘米，结合点 ， 是 ， 的中点，得出 厘米， 厘米， 厘米，利用旋转的性质得到 厘米， 厘米，分析可知当 最大时， 面积最大，结合图形利用线段的性质求出 的最大值，即可求出 面积的最大值． 【详解】解：（1）① 为矩形， 厘米， ， ， 点 ， 分别为边 ， 的中点， 厘米， 厘米， ， ， ， 四边形 是矩形， 又 厘米， 矩形 是正方形， ， ， 厘米， 由平移的性质得， ， ， ， ， 又 ， 四边形 是矩形， 点 与 的中点 重合， 厘米， ， ， 和 都是等腰直角三角形， 厘米， 厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片 的面积之比是 ． 故答案为： ． ②由①中的结论得，四边形 是矩形， 和 都是等腰直角三角形， 设 厘米，则 厘米， 厘米， 厘米， ， 的面积与原矩形纸片 的面积之比是 ， 平方厘米， ， 解得： ， ， 平移距离 为 或 ． 故答案为： 或 ． （2） 纸片 为菱形， ， ， 和 为等边三角形， 纸片 沿 方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分 的面积与纸片 的面积之比为 ， ， ， ． （3）如图，过点 作 于点 ，    ， 厘米， 厘米， 厘米， 点 ， 是 ， 的中点， 厘米， 厘米， 厘米， 由旋转的性质得， 厘米， 厘米， ， 当 上的高线 最大时，则 面积最大， ， 当点 和点 重合时，且 旋转到 外侧时，此时 最大， 作出示意图如下： ， 此时 、 、 三点共线， 即 厘米， 平方厘米， 即 面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 3．（2025·山西朔州·三模）综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形 中， ， ， 分别是 ， ， 边上的点，连接 ， ．若 ，判断 与 之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将 沿 方向平移到 ，连接 ．根据平移的性质，可判断四边形 是平行四边形，再证明 ，得到 ，继而得到 ． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形 改为菱形 ， ，如图2， ， ， 分别是 ， ， 边上的点，连接 与 交于点 ．若 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ， 交于点 ， ．判断 与 的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，过点 作 于点 ，交 边于点 ，连接 ， ．若 ， ，请直接写出 的最小值． 【答案】（1） ，理由见详解（2） ，理由见详解（３） 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． （1）沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 ，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出 ，即可得到结论； （2）如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 ，利用平移的性质和平行线的性质得出 为等边三角形，进而得到 ，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 ， 根据平移的性质和正方形的性质得出 ，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1） ，理由如下： 如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 根据平移的性质可得 ， ， ， ∵四边形 为菱形，且 ， ， 与 都是等边三角形， ， ， ， ， 在 与 中， ∴ ， ∴ ； （2） ，理由如下： 如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 ， 根据平移的性质可得， ， ， 又 ，即 ， 为等边三角形， ， 在 中， ∴ ； （3） 如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点 重合，连接 ， 根据平移的性质可得， ， 又∵ ， ∴ ∴ , ∵四边形 为正方形， ， ， ， 在 中，由勾股定理得 , 由图1结论可得 ， ∴ ， ∵ ∴当点 共线时， 最小，即 最小，最小值为 的长度， ∴在 中，由勾股定理得 ， 即 的最小值为 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 几何压轴——对称 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ． (1)如图1，当 EMBED Equation.DSMT4 时，猜想四边形 的形状，并说明理由． (2)如图2，当 ， 时，请判断线段 之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若 ， ，在 和 中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出 与 重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形 是菱形，见解析 (2) 或 ，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明 ，从而可得 ，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，再由 ，可得 ，进而可得 ， ，根据相等的等量关系计算可得 ． （3）先根据面积关系得出 ， ，再证明 ，可得 ，利用线段和差计算求解即可得出 ， ，由此即可求出 与 重叠部分 的面积． 【详解】（1）解：结论：四边形 是菱形， 证明：由折叠可知： ， ， ，     ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形， （2）解： ， 理由：过点 作 于点 ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ 沿 翻折，得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ，（可作结论） ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：如图： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， 在 和 中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且 交 于点 ． ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（2025·河南商丘·三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形 中， 是 的中点，连接 ，将 沿 翻折到 ．延长 交 于点 ，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形 ”改为“正方形 ”其他条件不变，求 的值； (3)如图3，将正方形 绕点 逆时针旋转 ，得到正方形 ， 与 相交于点 ，延长 交 于点 ．若 ，求 的长． 【答案】(1)四边形 ，四边形 ，四边形 ； (2) (3) 【分析】（1）连接 ，由菱形的性质可得 ，则 ，四边形 是“筝形”； 由折叠的性质可得 ，则四边形 是“筝形”；证明 ， ，得到 ，则可证明 ，得到 ，则四边形 是“筝形”； （2）设 ，则 ，可求出 ，连接 ，证明 ，得到 ，证明 ，进而可证明 ，则 ，据此求解即可； （3）如图所示，连接 ，由旋转的性质可得 ，证明 ，得到 ，求出 ，可得 ，则 ，证明 ，得到 ，则 ． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ，四边形 是“筝形”； 由折叠的性质可得 ， ∴四边形 是“筝形”； ∵ ， ∴ ， ∵E是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是“筝形”； （2）解：同理（1）得：四边形 是“筝形”， 设 ，则 ， 四边形 是正方形， ， ， 连接 ， 四边形 是“筝形”， ， ， ， ， 由折叠的性质得： ， ，即 ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，连接 ， 将正方形 绕点 逆时针旋转 ，得到正方形 ， ， ， ， ， 四边形 是筝形； ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解“筝形”的定义是解题的关键． 3．（2025·广东东莞·三模）在 中， ， ，点 在边 上（点 不与点 ，点 重合），连接 并将 绕点 逆时针旋转 得到 ． (1)如图1，连接 ． 与 的位置关系为 ， 与 的数量关系是 ； 请用等式表示 ， 和 的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，若 的最小值为2，求 的长． 【答案】(1) ， ，理由见解析 (2) 【分析】（1） 由题意可得 与 为等腰三角形，证明 得 ， ； 在 上取点 ，使 ，连接 ，如图2所示，证明 得 ， ，又 ，可得 为等腰直角三角形， ，从而 ； （2）取 中点 ，连接 、 、连接 ，证明 ，当 最小为 时， 最小为 ，此时 ， 为 中点，根据中位线定理从而求出 的长度． 【详解】（1）解： 如图 所示，连接 ， 由题意可得 与 为等腰三角形， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； 证明： ，理由如下：    在 上取点 ，使 ，连接 ，如图2所示， 在 和 中， ，   ， ，           ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图3所示， 取 中点 ，连接 、 、连接 ， 由题意可知 和 为等腰直角三角形， ， ． 由折叠可知 ， 由（1）可知 ， ， ， 又 ， ． ， 当 最小为 时， 最小为 ，此时 ， 为 中点， 由中位线定理可知 ． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 几何压轴——旋转 1．（2025·江苏泰州·三模）问题呈现 在正方形 中，点E在边 上，点F在边 上，连接 得到 且 ，把 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ． 【独立思考】（1）如图①，当 的延长线经过点B时，求证： 是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点 作 交正方形 的对角线 于点M，且经过 边的中点N，判断 与 的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得 ． ①在图②中，求 的长； ② 绕点A旋转的过程中，直接写出点 到 的最大距离． 【答案】（1）证明见解答；（2） ．证明见解答；（3）① 的长为 ； ②点 到 的最大距离为 ． 【分析】（1）由四边形 是正方形，可得 ，根据旋转的性质可得 EMBED Equation.DSMT4 ，进而可证得 ，即可证得结论； （2）如图（2），过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ，利用正方形性质可证得 ，得出 ．由 ，可得 ．根据 、 、 三点共线，可得 在边 上的高与 在边 上的高相等，即可推出结论； （3）①在 中，运用勾股定理得 ，可得 ．在 中，运用勾股定理得 ．再由 ，即可求得答案； ②如图（3），过点 作 于点 ，当点 、 、 三点共线时，点 到 的距离有最大值，运用等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ， ， ， ， ， 如图（1），设 与 交于点 ， 则 ， ， ， ， ∴ 是直角三角形； （2）解： ． 理由如下：如图（2），过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ． ∵ ， ∴ ， 由（1）得 ． ∵ 交正方形 的对角线 于点 ， ， ∴ 是 的平分线， ， ， ∵点 是 的中点， ， ∵ ， ， ， 在 中， ， ， ， 又 ∵ ， ， ∵ 、 、 三点共线， ∴ 在边 上的高与 在边 上的高相等， ； （3）解：①如图（2）， ∵ ， 由（2）得 ， ． 在 中， ， ∴ ． 在 中， ． 由（2）得 ． ∴ ， ∴ ， 即 的长为 ； ②点 到 的最大距离为 ． 解：如图（3），过点 作 于点 ，当点 、 、 三点共线时，点 到 的距离有最大值， 由①得 ，又 ， ∴ ， ∴点 到 的距离有最大值为 ． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质等知识，由旋转得出点 的运动路径是圆是解题的关键． 2．（2025·广东中山·三模）【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 ，在等边 中，点 是 的中点，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，连接 和 ．试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明． (1)请你根据图 的情况，解答老师提出的问题； (2)“善思小组”发现，如图 ，连接 和 ，则直线 垂直平分线段 ，请你根据图 的情况加以证明； (3)“智慧小组”突发奇想，如图 ，当 时，旋转角 的余弦值是多少？请你思考此问题，并求出结果 【答案】(1)相等，见解析； (2)见解析； (3) ． 【分析】（ ）连接 和 ，由旋转性质可知 ， ，通过等边三角形的性质可得 ， ，证明 即可； （ ）由（ ）得， ，由（ ）证明，得 ，则 ，再证明 ，所以 ，根据线段垂直平分线的判定方法即可； （ ）连接 ， ，过点 作 于点 ，则 ，同（ ）理得 ，则 ，设 ，则 ， ，设 ，则 ，由勾股定理，得 ，即 ，解得 或 （舍去），然后代入 即可求解． 【详解】（1）解： ，理由如下： 如图，连接 和 ， ∵ 由 旋转得到， ∴ ， ， ∵ ，点 是 中点， ∴ ， ∴ ， 同理， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由（ ）得， ，由（ ）证明，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴点 和 都在线段 的垂直平分线上， ∴直线 垂直平分 ； （3）解：如图，连接 ， ，过点 作 于点 ， 则 ， 同（ ）理得 ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ，设 ，则 ， 由勾股定理，得 ， 即 ， 整理，得 ， ∴ 或 （舍去）， ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的判定，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 边上的点，且 ，求出图中线段 ， ， 之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将 绕着点 逆时针旋转 到 位置，根据“旋转的性质”分析 与 之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形 中， ， ， ，且 ， ， ，求 的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形 中， ， 与 互补，点 、 分别在射线 、 上，且 ．当 ， ， 时，求出 的周长． 【答案】（1） ；见解析：（2） ；（3）17 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1） 绕点 旋转 得到 ，则 ，推出 ， ， ，根据 ， ，全等三角形的判定和性质，则 ，即可； （2）在 上取点 ，使得 ，根据四边形的内角和 ，则 ，得到 ，根据全等三角形的判定和性质，则 ，得到 ， ，再根据全等三角形的判定和性质，则 ，设 ，得到 ， ， ，根据勾股定理解出 即可； （3）在 上取点 ，使得 ，根据四边形的内角和 ， 与 互补，得到 ，根据等量代换，推出 ，根据全等三角形的判定和性质，则 ，推出 ， ，再根据角之间的运算，得到 ，再根据全等三角形的判定和性质，则 ， ，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1） ，理由如下： ∵在四边形 中， ， ， ∴ 绕点 旋转 得到 ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， 三点共线， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）在 上取点 ，使得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； （3）在 上取点 ，使得 ， ∵ 与 互补， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ． 4．（2025·山西大同·三模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在 中， ，点D是 的中点，连接 ，分别过点A，B作 的平行线相交于点E． 猜想证明：（1）判断四边形 的形状，并证明你的结论； 操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接 ，交 于点O，然后将 绕A点逆时针旋转得到 （点D，E的对应点分别为 ， ），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点E'恰好与点D重合时， 与 交于点H，求证： ； ②若 ， ，当线段 所在直线与 所在直线平行时，直接写出点E， 之间的距离． 【答案】（1）四边形 是菱形，见解析（2）①见解析；② 或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确画出辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形 是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到 ，即可证明四边形 为菱形； （2）①证明 即可解答； ②分情况讨论，即当 在点 上方或当 在点 下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）证明： 过点A，B作 的平行线相交于点E， ， 四边形 是平行四边形， 在 中，点D是 的中点， ， 四边形 是菱形； 解：（2）① 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 由 旋转得到， ， ， ， ，即 ； ②如图，当 在点 上方，且点 在 上时， ， ， ， ， ， ， 根据旋转的性质 ， ， ， 过点 作 ，连接 ， ， ， ， ， 如图，当 在点 下方，且点 在 的延长线上时， ， ， 根据旋转的性质 ， ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， 同理可得 ， ， ， 综上所述，点E， 之间的距离为 或 ． 5．（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形 为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边 中，点D为内部一点，且 平分 ， 连接 ， 将线段 绕点D 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．求证：四边形 是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形 中， ， ， 线段 的垂直平分线 分别交 与 的角平分线于E， F， 连接 ， ． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线 平分 ， 点C， D分别在射线 ， 上，若 且四边形 是等直四边形，则 的长为 ． （直接写出结果） 【答案】（1）④；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4） 或 或 或 ． 【分析】（1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明 ， ，求解 ，证明 为等边三角形，可得 ， ，再证明 ，可得 ，可得 ，从而可得结论； （3）如图，连接 ，证明 ， ， ，可得 ，证明 ，设 ， ，可得 ，证明 ，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：①证明 ，而 ，当 时，可得 ，此时满足条件； ②如图，当 时，满足条件，③如图，当 时，④如图，当 时（与③中 的位置不同），过 作 于 ，而 ，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵将线段 绕点D 顺时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是等直四边形． （3）如图，连接 ， ∵线段 的垂直平分线 分别交 与 的角平分线于E， F， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴设 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （4）①如图， ，射线 ， 射线 平分 ， 点C， D分别在射线 ， 上， ，且四边形 是等直四边形， ∴ ，而 ， 当 时， ∴ ， ∴ ，此时满足条件； ②如图，当 时，满足条件， 由①同理可得： ， 过 作 于 ， ∴ ，设 ， ∴ ， ∴ ， 解得： 或 （不符合题意舍去）， 此时 ， ∴ ， ③如图，当 时， ∴ ， ， 由②同理可得： ， ∴ ， ④如图，当 时， 同理可得： ， ， 过 作 于 ，而 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上： 的值为： 或 或 或 ． 【点睛】本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 6．（2025·山东济宁·三模）综合探究 在平面内，已知 ，在射线 上分别取点 ，同时点 （与点 不重合）为射线 上一动点，连接 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ． (1)如图1，当 ．且点 在线段 上运动时，试判断线段 与 有什么样的位置关系． (2)如图2，若 ，且点 在线段 上运动，则（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，当 时，点 在线段 上运动．在点 运动的过程中，在 上方作正方形 ，直线 与直线 相交于点 ．若 ，求线段 的最大值． 【答案】(1) (2)（1）中结论还成立；理由见解析； (3) 【分析】（1）证明 得到 ，即可得证； （2）利用第（1）问的思路构造全等三角形，作 交 于点 ，证 ，即可得证； （3）由前面的思路构造手拉手全等， ，再利用 得到 关于 的二次函数表达式即可求出最大值． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解∶ 依然成立，理由如下： 如图，作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过 作 交 于点 ，作 交 于点 ， 由（1）中方法可得 ， ， ，即 ， 在 中， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ，即 ， ， ， 当 时， 最大． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、相似的性质和判定、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——线段问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于点 和点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点 ，使得 是以 底的等腰三角形，求点 的坐标： (3)设 为直线 上方的抛物线上一点，连接 ，以 为邻边作平行四边形 ，则平行四边形 面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点 ，且 ，则 的最小值为___________． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为 ， ， ，根据等腰三角形的定义可得 ，即 ，则 ，解方程即可得到答案； （3）求出直线 解析式为 ，设 ，则 ，则 ，根据 ，得到 ，则由平行四边形的性质可得 ，故当 最大时， 最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作 且 ，连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ，证明四边形 是平行四边形，得到 ，则 ，故当A、E、T三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与直线 相交于点 和点 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ； （2）解：设点M的坐标为 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ 是以 底的等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， ； 当 时， ； ∴点M的坐标为 或 ； （3）解；设直线 解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 解析式为 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值 ； ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴当 最大时， 最大值， ∴ 的最大值为 ； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作 且 ，连接 ，则 ， 由轴对称的性质可得 ， ∵ 且 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当A、E、T三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长， ∵ ， ∴ 的最小值为 ． 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中点 ， ． (1)求地物线的解析式； (2)线段 上有一动点P，连接 ，当 的值最小时，请直接写出此时点P的坐标和 的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 ． (2)当 时， 的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形等知识； （1）根据点A的坐标和 的值可得出点C的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令 ，可得点B的坐标，由此可得 ，过点P作 ，则 ，作点C关于x轴的对称点 ，过点 作 于点 ， 与x轴的交点即为所求点P，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ， 将A、C的坐标代入 得 ∴ ∴抛物线的解析式为 ． （2）由 ， 令 ，即 ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 作点C关于x轴的对称点 ，过点 作 于点 ， 与x轴的交点即为所求点P，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当 时， 的最小值为 ． 3．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线 （b、c为常数， ）与 轴相交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，抛物线上的点 的横坐标为 ，且 ． (1)若 ． ①求抛物线的顶点 和点 的坐标； ②当 时，求 的值； (2)若点 的坐标为 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 轴，与抛物线的另一个交点为 ，当 的最大值为 时，求 的值． 【答案】(1)① ； ；② (2)4 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点 的坐标为 ，其中 ．求出点 的坐标为 ，得到 ，则 垂直平分 ，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则 ，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得 ，则抛物线解析式为 ，即可得到抛物线的对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，求出点 的坐标为 ，则直线 的解析式为 ，过点 作 轴，与 相交于点 ，则点 的坐标为 ．可证明 ，则 ．求出 ， ．则 ．即可得到 ，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式 ． 顶点 的坐标为 ． 令 ，得 ．解得 或 ． 点 在点 的左侧， 点 的坐标为 ． ②根据题意，点 的坐标为 ，其中 ． 当 时， ∴点 的坐标为 ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ∴ ，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得 （舍去）， ． （2）解： 点 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ， 抛物线的对称轴为直线 ，点 的坐标为 ， 在 中，当 时， ， ∴点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 过点 作 轴，与 相交于点 ，则点 的坐标为 ． ∵ ， ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ． 轴， ． ． ． 当 时， 取得最大值 ． ．即 ． 解得 （舍去）， ． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明 ． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线 与直线 交于A，B两点，且点 的坐标为 ，点 的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2) 为直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ． （ⅰ）当线段 取最大值时，求点 的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点 作 交直线 于点 ，若抛物线 与线段 只有一个交点，直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线 的表达式为 ，然后求出点 的坐标为 ，将点 代入 ，求出 ，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标也为 ，得出 ， ，求出 ， 根据二次函数的最值，得出当 时， 取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线 经过点 时， ，当抛物线 经过点 时， ，得出答案即可． 【详解】（1）解： 点 在直线 上， ， 解得 ， 直线 的表达式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ，                                ， ， 将点 代入 ，得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为 ． （2）解：（ⅰ）如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ． 设直线 与 轴交于点 ，则点 的坐标为 ． ， ． ， ， ， ， 设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标也为 ， ， ， ，         当 时， 取得最大值， ， 点 的纵坐标也为 ． 令 ， 解得 ， 点 的坐标为 ．                        （ⅱ）由题意，得点 的坐标为 ．                                         如图，当抛物线 经过点 时， ， 解得 ， 当 时， ， 此时抛物线与线段 有两个交点， 当抛物线 经过点 时， ， 解得 ， 当 时， ， 此时抛物线与线段 有一个交点， 综上所述，若抛物线 与线段 只有一个交点，则 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——面积问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ， (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点， 的面积为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式： (3)如图3，在（2）的条件下，抛物线顶点为 ，点 在 的延长线上，连接 EMBED Equation.DSMT4 ，过点 作 垂直于 轴于点 交 于点 ，若 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求抛物线与 轴交点 、 坐标，得 长度，由 确定 点坐标，代入抛物线表达式求 （2）设直线 解析式，用待定系数法求出，过 作辅助线，把 面积拆分为两个小三角形面积和，结合 点坐标（横坐标 ）表示出相关线段长度，推导面积表达式． （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用三角函数、线段比例关系，结合已知条件列方程求出 ，代入（2）中函数关系式得 ． 【详解】（1）解：当 时， 解得： ∴点 坐标为 点 坐标为 ∴点 坐标为 把 代入得 拋物线的解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 过点 ， 直线 的解析式为 过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 （3）解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，延长 至点 ，使得 ， 连接 ， ∴顶点 坐标为 ． ∵ ， ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ 、 ， ， ∴ ， ， ∴ ． 在 和 中： ∴ 由 ， 得 ， 设 在 EMBED Equation.DSMT4 中由勾股定理得 ． ， 即 解得 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数解析式求解、三角形面积计算、全等三角形构造与性质、三角函数应用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、函数图象辅助线构造、几何图形性质及代数与几何综合推导是解题的关键． 2．（2025·山东济南·三模）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点 为第四象限抛物线上的点，连接 、 、 、 ，且 和 相交于点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标． (3)如图2，设点 ， 是直线 下方抛物线上的两动点，且 ，过点 作 轴，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．求 的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点 和 代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点B的坐标，再根据 求出 ，则答案可得； 对于（3），先求出直线 的解析式，再说明 ，并作 轴，可得 是等腰直角三角形，即 ，然后结合点 ， 是直线 下方抛物线上的两动点，且 ，表示出 ， ，进而得出 ，最后根据二次函数图象的性质讨论极值得出答案． 【详解】（1）解：把点 和 代入抛物线 中， 得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为： ； （2）解：当 时， ， 解得： ， ， ． ， ， ， ， ， ∴ ． ∵点 在第四象限， ∴ ， 令 得， ， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设 的解析式为： ，分别代入 ， ， 解得： ， ∴ 的解析式为： ． ∵ ， ， ∴ ． 如图2，过点 作 轴交 于 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． ∵点 ， 是直线 下方抛物线上的两动点，且 ， ∴点 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 当 时， 有最大值，其最大值是 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 3．（2025·海南省直辖县级单位·三模）已知抛物线 （ 是常数且 ），其顶点为 ． (1)求该抛物线的对称轴及顶点 的坐标； (2)如图1，当该抛物线经过原点 时： ①求抛物线的函数解析式； ②点 在 轴上方的抛物线上运动，若点 的横坐标为 ，且 ，求 ； (3)如图2，抛物线与 轴的两个交点为 ，若 ，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 ， (2)① ；② ， (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求得抛物线的对称轴，进而求得顶点坐标； （2）①将原点 代入 求得a的值，即可确定抛物线解析式；②设 （ 或 ），直线 的解析式为 ，可求得直线 的解析式为 ，易得直线 与x轴的交点坐标为 ；然后根据 列出方程求解即可； （3）由根与系数的关系可得 ，再根据两点间距离公式、完全平方公式、不等式的性质可得 ，最后解不等式即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线 （ 是常数且 ），其顶点为 ． ∴对称轴为 ， ∴顶点D的纵坐标为： ， ∴顶点D的坐标为 ． （2）解：①∵抛物线 经过原点 ， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数解析式为 ； ②设 （ 或 ），直线 的解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∴直线 与x轴的交点坐标为 ， ∴ ， ∴ ， 整理得： ， 解得： ， ． （3）解：∵抛物线与 轴的两个交点为 ， ∴方程 的两个根为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、求函数解析式、二次函数的综合运用、二次函数与一元二次方程、根的判别式、完全平方公式、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 4．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 为常数，且 与 轴交于点 ． (1)若 ，该抛物线与 轴交于点 ． ①求该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标． ②过线段 上一点 作 轴于E， 的延长线交抛物线于 ，若 ，求 的值． (2)已知点 在该抛物线上，且直线 经过该抛物线的顶点，设 与 轴， 轴所围成的三角形面积为 ，且 ，求 的最小值． 【答案】(1)①该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标为1；②1或 (2) 最小值为 【分析】（1）①首先待定系数法求出该抛物线的表达式为 ，然后令 求解即可； ②首先求出点 的坐标为 ，求出直线 的表达式为 ，设 ，则 ，根据 列方程求出 或 ，然后代入 求解即可； （2）设直线 的表达式为 ，将抛物线顶点代入得到 ，求出直线AP的表达式为 ，然后令 ，求出 ，然后表示出 ，然后结合 求解即可． 【详解】（1）① ． 又 该抛物线与 轴交于点 ，解得 ． 该抛物线的表达式为 ． 令 ，即 ， 解得 或 ． 该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标为1． ② 抛物线的表达式为 点 的坐标为 ， ∵ ∴可得直线 的表达式为 ． 设 ，则 ． ， 解得 或 ． 当 时， ， ∴ ； 当 时， ， ∴ ； 的值为1或 ； （2）由题意，设直线 的表达式为 ， 该抛物线的顶点为 ． 直线 经过该抛物线的顶点， ， 解得 ． 直线AP的表达式为 ． 令 ，解得 ． ． 又 ， ∵ 的对称轴为直线 ，开口向上 当 时， 随 的增大而增大 当 时， 取得最大值3 ∴此时 取最小值，最小值为 ． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合问题，二次函数和x轴交点问题，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——角度问题 1．（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 (点 在原点的左侧，点 在原点的右侧)，与 轴交于点 ， ． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接 ，点 是直线 上方抛物线上的点，连接 ， ． 交 于点 ，当 时，求点 的坐标． (3)如图2，点 的坐标为 ，点 是抛物线上的点，连接 ，是否存在点 ，使 或 等于 ？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)存在， 的坐标 或 或 或 【分析】（1）由 及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出 ，进而得到点D、F横坐标之间的关系为 ，设 点横坐标为 ，则 点横坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，设 ，待定系数法求出直线 所在的直线表达式为： ，推得点 ，将 点坐标代入抛物线，即可求出点 的坐标； （3）当 时，分为点 在 轴上方和点 在 轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点 的坐标为 ，根据待定系数法求求出直线 的解析式；联立方程组，求出 的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出 ，结合一次函数的平移得出直线 解析式，结合勾股定理即可求出点 的坐标，根据待定系数法求出直线 的解析式，联立方程组，求出 的坐标；当 时，分为点 在 轴上方和点 在 轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出 ，结合勾股定理即可求出点 的坐标，待定系数法求出直线 的解析式，联立方程组，即可求出点 的坐标，结合一次函数的平移得出直线 的解析式，联立方程组，即可求出点 的坐标． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， 把 、 坐标代入 得 ， 解得： ， ∴抛物线解析式： ； （2）解：∵ ， ∴ ，即： ， 设 点横坐标为 ，则 点横坐标为 ， 设直线 的解析式为： ，把 代入得， ， 解得： ， ∴ 所在的直线表达式为： ， ∵点 在直线 上， ∴ ， 设直线 的函数表达式为： ，把 代入得： ， 解得： ， ∴直线 所在的直线表达式为： ， 则点 ， 把 点坐标代入抛物线解析式得： ， 解得： 或 ， 则点 的坐标为 或 ； （3）解：①当 ， 若点 在 轴上方，此时点 ，直线 交 轴于点 ， 若点 在 轴下方，此时点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，作 于点 ，如图： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为： ， 把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ； ∵直线 过点 、 ，则直线 的解析式为： ， 联立 ， 解得： 或 （舍去）， ∴点 的坐标为 ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， 故直线 可以看成直线 向下平移 个单位得到的， 即直线 的解析式为： ， 故设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， 在 与 中， ， 即 ， ∴ ， 解得： ， 则点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为： ， 把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ； ∵直线 过点 、 ，则直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： ， (舍去)， 则点 ； ②当 时， 若点 在 轴上方，此时点 ，直线 与 交于点 ，过点 作 轴交于点 ，过点 作作 轴交 于点 ， 若点 在 轴下方，此时点 ，如图： ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线 的解析式为 ， 故设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， 在 与 中， ， ∴ ， 解得： ， 则点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为： ， 把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ； ∵直线 过点 、 ，则直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： 或 （舍去）， ∴点 的坐标为 ； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故直线 可以看成直线 向下平移 个单位得到的， 即直线 的解析式为： ， 联立 ， 解得： 或 （舍去）， ∴点 的坐标为 ； 综上所述，点 的坐标 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线 ，与 轴交于点 和点 （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，且 ，抛物线的顶点为 ． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点 的坐标_____； (2)若点 在此抛物线上， 轴于点 ， 与直线 相交于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，求点 的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线 上是否存在一点 ，使直线 与直线 的夹角等于 的2倍．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) (3)存在点 的坐标为 ， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出 ，再将其代入 ，即可求解 ，得到抛物线解析式，再配方求解顶点坐标即可； （2）先求出 设 ，则 ，由 建立方程求解即可； （3）先求 ，设 ，当 时，导角得到 ，由两点间距离公式建立方程求解；当 时，则 ，由两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 将 代入 ， 则： 解得： 或 （舍）， ∴抛物线解析式为 ； 而 ， ∴ ； （2）解：当 ，则 ， 解得： ， ∴ ， 设直线 表达式为： ， 代入点 得， ， 解得： ， ∴ 设 ，则 ， ， 解得： ， （舍） ； （3）解：存在，理由如下： ∵ ， ， ∴同理可求 ，设 ， 如图：当 时， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得：    ∴ ； ②当 时， 即 ， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍），    ∴ 综上所述，存在点 的坐标为 或 ． 3．（2025·湖北襄阳·三模）若一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点 的坐标为 ，二次函数 的图象过 ， ， 三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点 作 轴交抛物线于点 ，点 在抛物线上（ 轴左侧），若 恰好平分 ，求直线 的表达式； (3)如图②，若点 是第四象限内抛物线上的一点，连接 交 于点 ，连接 ， ，求 的最大值． 【答案】(1) ； (2) ； (3)m的最大值为 ． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明 ，则 ，即可求解； （3）证明 ，解得： ，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当 时， ，当 时， ，解得 ， ∴点 ， ， 则 ， 解得： ，， 故抛物线的表达式为： ； （2）解：如图，设直线 交y轴于点M， ∵ ∴抛物线的对称轴为 ， ∵ 轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当 时， ， ∴ ， 由点B、C的坐标知，直线 与 的夹角为 ， 即 ， ∵ 恰好平分 ， 故 ， 而 ， ， 故 ， ∴ ， 故 ， 故点 ， 设直线 的表达式为： ， ∴ ， 解得 ， ∴直线 的表达式为： ； （3）解：过点P作 轴交 于点N， 则 ， 则 ， 而 ． 则 ， 解得： ， 设点 ， 由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ， 当 时， ， 故点 ， 则 ， 即 ， 故m的最大值为 ． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——三角形问题 1．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C． (1) ___________， ___________． (2)如图1，点P为直线 下方抛物线上一点，连接 交 于点D，求 的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线 上一动点，当 是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 或 【分析】（1）把点 ， 代入抛物线 ，即可求解； （2）对于抛物线为 ，令 ，得到 ，运用待定系数法求出直线 的解析式为 ．过点P作 轴于点Q，交 于点E，设 （ ），则 ， ，由 ，得到 ，根据二次函数的性质即可求解； （3）设 ，连接 ，分两种情况分别求解：①将线段 绕着点N逆时针旋转 ，得到以点N为直角顶点的等腰 ；②将线段 绕着点N顺时针旋转 ，得到以点N为直角顶点的等腰 ． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ， ， ∴ ，解得 ． 故答案为： ， （2）解：∵ ， ， ∴抛物线为 ， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 设过点 ， 的直线 的解析式为 ， ∴ ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ． 过点P作 轴于点Q，交 于点E， 设 （ ），则 ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴当 时， 有最大值，为 ． （3）解：∵点N在抛物线 上， ∴设 ． 连接 ， ①将线段 绕着点N逆时针旋转 ，得到以点N为直角顶点的等腰 ， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作 于点G， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ 轴， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点M在直线 上， ∴ 解得 ， ∴ ． ②将线段 绕着点N顺时针旋转 ，得到以点N为直角顶点的等腰 ， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵ ， ， ∴ ， ， 同①同理可得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点M在直线 上， ∴ ， 解得 ， ∴ 或 ． 综上所述，点N的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 2．（2025·安徽池州·三模）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设 为直线 上一点． ①当 为直角三角形时，求n的值； ②当 时，已知点A关于y轴的对称点为 ，射线 交抛物线于点P．若 ，求点P的横坐标． 【答案】(1) ， (2)① ；② 【分析】（1）令 ，则 ，得到 ，从而 ，代入抛物线解析式，即可求出a的值，从而得到解析式，令 时，则 ，解方程即可得到点A坐标； （2）①分两种情况：当点M在线段 上， ， 为直角三角形；或当点M在射线 上， ， 为直角三角形，分别求解即可； ②延长 至点Q，使 ，证明 ，得到 ，进而得到点Q的坐标为 ，根据 ， 得直线 的解析式为 ，解方程 即可解答． 【详解】（1）解：对于函数 ， 令 ，则 ， ∴ ， ∵点B的横坐标等于点C的纵坐标， ∴ 将点 代入抛物线 ，得 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴抛物线解析式为 ． 当 时， ， 解得 ， 点A坐标为 ； （2）解：①由（1）可得 ， ， 直线 的解析式为 ． 当点M在线段 上时，如图1， EMBED Equation.DSMT4 为直角三角形， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， EMBED Equation.DSMT4 为等腰直角三角形， 过点M作 ，垂足为点N． 点N为 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ． 将 代入 得 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 当点M在射线 上时，如图2， 时， 为直角三角形， ∵ ， EMBED Equation.DSMT4 ． ∵ ， ∴ ∴ ， 过点 M作 轴于点N， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 综上，n的值为 ； ②由题意得 ， ，延长 至点Q，使 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 点Q的坐标为 ， 由 ， 得直线 的解析式为 ， 由 解得 ， （舍）， 点P的横坐标为 ． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 3．（2022·辽宁锦州·三模）如图，已知抛物线 过点 ，与 轴交于点 ，点 在 轴上， ，点 是抛物线的顶点，点 是直线 上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点 坐标； (2)若点 关于直线 的对称点 在 轴上，求点 的坐标； (3)点 是抛物线对称轴 上的一动点（点 不与点 、 重合），过点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ，当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标． 【答案】(1) ， (2) 或 (3) 或 或 或 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）设 交 于点 ，根据已知得出 的坐标，求得直线 解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）分 在 轴上方和下方两种情况讨论，当 在 轴下方时只有当 是等腰三角形时，只能 ，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当 在 轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线 过点 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ， ∵ ， ∴ ； （2）解：如图，设 交 于点 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵点 ， 关于直线 的对称， ∴ 垂直平分 ∴ ， ∴ ， ∴ 为 的中点，则 ， ∵ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，代入 ， ∴ ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： 或 ， ∴M点坐标为 或 ； （3）解：当 在 轴下方时，连接 ，如图， 依题意，当 是等腰三角形时，只能 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ 为 的垂直平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当 在 轴上方时， ①当 时，如图，连接 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ②当 时，如图，设 ， 交于点 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 解得： （舍去）或 ， ∴ ， ③当 为等腰三角形， 时，如图， ， ， ∴ ， 综上所述， 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．（2025·湖北武汉·三模）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1， 为第二象限内抛物线上一点， 交 于点 ，若 与 相似，求点 的横坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 和 交于点 ，若点 在直线 上，求 的值． 【答案】(1) (2)点 的横坐标为 或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当 时， ；当 时， ；分别求解即可； （3）设 ， ， ，由题意可得 轴，抛物线的对称轴为直线 ，从而可得 ， ，求出直线 的解析式为 ，同理可得直线 的解析式为 ，结合题意可得 ，由①可得 ，由②可得 ，从而得出 ，整理可得 ，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：在 中，令 ，则 ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ 为等边三角形， ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 连接 、 ， ∵ 与 相似， ∴当 时， ， ∴ ， ∴设直线 的解析式为 ， 将 代入解析式可得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 可得 ， 解得： ， （不符合题意，舍去）， 此时点 的横坐标为 ； 当 时， ，即 ， ∴ ， 过点 作 于 ，则 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 将 代入解析式可得 ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 可得 ， 解得： ， （不符合题意，舍去）； 此时点 的横坐标为 ； 综上所述，点 的横坐标为 或 ； （3）解：设 ， ， ， 由题意可得 轴，抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ， ， 设直线 的解析式可得 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 同理可得直线 的解析式为 ， ∵直线 和 交于点 ， ∴ ， 由①可得： ，由②可得： ， ∴ ， 整理可得： ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（2024·广东佛山·三模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点B，连接 、 ． (1)求b、c的值及 的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着 方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着 方向以 个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒， 轴交 于E， 轴交抛物线于F，连接 、 ． ①当 时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得 与 相似的t的值． 【答案】(1) ， ， (2)① ；② 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出 即可； （2）①如图2，延长 交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出 ， ，进而得到 ，再证明四边形 是平行四边形得到 ，然后解方程求解即可； ②如图3，连接 ， ，过N作 轴于G，根据题意分两种情况： 和 ，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 和点 ， ∴ ，解得 ； 则 ，∴ ， 当 时， ，则 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：①如图2，延长 交x轴于G， 由题意， ， ， ， ∴ 是等腰直角三角形，则 ， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵当 时， ， ∴ ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ，则 ，即 ， 解得 ， ， 当 时， ，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴ ； ②如图3，连接 ， ，过N作 轴于G， 由①知， ，则 ， ∵ , ， ∴要使 与 相似，分两种情况： 当 时， ∵ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ （不合题意，舍去）； 当 时，则 ，又 ， ∴ 是等腰直角三角形，∴ ， , ∴ ，则 ， 此时 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ， 综上，当 时， 与 相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——四边形问题 1．（2025·山东淄博·三模）如图①，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，在 轴上有一个动点 ，其中 ． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，过点 作 于点 ，设 的周长为 ， 的周长为 ，若 ，求 的值． (3)如图②，动点 ， 同时从 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 ， 运动到 秒时， 沿 所在的直线翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，请直接判定此时四边形 的形状，并求出点 坐标． 【答案】(1) (2)m的值为 (3)四边形 为菱形，H点的坐标为 【分析】（1）利用交点式可直接写出抛物线的解析式； （2）（2）如图①，易得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，则 ， ，接着用 分别表示出 和 ， ，然后证明 ，则根据相似三角形的性质得 ，从而解关于 的方程可确定 的值； （3）如图③， 交 轴于 ，利用折叠的性质得 ， ，加上 ，则可判断四边形 为菱形，所以 轴，接着证明 ，利用相似比可表示出 ， ，则 ， ，所以 点的坐标可表示为 ，然后 点的坐标代入抛物线解析式得到 ，于是解关于 的方程求出 可确定 点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为 ， 即 ； （2）解：如图， 当 时， ，则 ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 而 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 整理得 ，解得 （舍去）， ， 的值为 ； （3）解：如图， 交 轴于 ， ， ， ， 沿 所在的直线翻折，点 恰好落在抛物线上 点处， ， ， ， ， 四边形 为菱形， 轴， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， ， ， ， 点的坐标为 ， 点在抛物线上， EMBED Equation.DSMT4 ， 整理得 ，解得 （舍去）， ， 点的坐标为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判断与性质和相似三角形的判断与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比表示线段之间的关系，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质． 2．（2025·内蒙古包头·三模）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止． (1)求抛物线 的表达式； (2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由． (3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值． 【答案】(1) (2)四边形 是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ，由点 在 上，可知 ， ，连接 ，得出 ，则 ，当 时， ，进而得出 ，然后证明 ，即可得出结论； （3）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明 ，根据 得出 的最小值为 ，利用勾股定理求得 ，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：四边形 是平行四边形． 理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ． ∵点 在 上， ∴ ， ， 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （3）解：如图2，由题意得， ，连接 ． 在 上方作 ，使得 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ （当 ， ， 三点共线时最短）， ∴ 的最小值为 ， ∵ ， ∴ ， 即 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究：如图，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ． 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ，过点 作 于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2) 是平面内任意一点，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的坐标； (3)当 的周长最大时，求点 的坐标； (4) 的最小值是_____． 【答案】(1) (2) ， ， (3)点 的坐标为 (4) 【分析】（1）利用待定系数法将点 和 代入 即可求得抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式 求得点C，分两种情况：当以 为边时，平行四边形 ，设 ，根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可；同理可得四边形 为平行四边形时，求得点 ；当以 为对角线时，求得点 即可； （3）利用待定系数法求直线 直线的解析式为 ，根据点坐标求得 为等腰直角三角形，则 ，可求得 的周长为 ，那么，当 最大时 的周长最大，设点 ，则点 ，有 ，当 时 的周长最大，求得点 的坐标即可； （4）连接CD，过点B作 ，且过点D作 ，在 中， ，则 ，当点G、点D和点C共线时取得最小值，有 ，求得 ， 和 ，结合 计算即可． 【详解】（1）解：将点 和 代入 得 ，解得 ， 则抛物线的解析式为 ； （2）解：由抛物线的解析式为 ， 令 ，得 ， 则点 ， 当以 为边时，如图，存在点 和 ， 设 ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ，解得 ， 则点 ； 同理可得四边形 为平行四边形时，点 ； 当以 为对角线时，如图，存在点 ， 同理可得四边形 为平行四边形时，点 ； 故点 ， ， ； （3）解：设直线 直线的解析式为 ， 将点 和 代入得 ，解得 ， 则直线 直线的解析式为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 轴，垂足为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， 则 的周长为 ， 那么，当 最大时 的周长最大， 设点 ，则点 ， ∴ ， ∴当 时， EMBED Equation.DSMT4 的周长最大， 则点 的坐标为 ； （4）解：连接 ，过点B作 ，且过点D作 ，如图， 在 中， ， 则 ， 当点G、点D和点C共线时取得最小值，此时 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、中点坐标公式、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数的最值和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键熟悉二次函数的性质刚和直角三角形的性质，掌握分类讨论方能求的全部的解． 4．（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1， 为平面直角坐标系的原点，过定点 的直线 与抛物线 交于点 （点 在点 左侧）． (1)若 ，则求直线 的解析式； (2)若 ，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求 点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点 作与抛物线 均有唯一公共点的直线 ，直线 的交点为 ，若 ，求 的值． 【答案】(1) (2)存在， 或 或 (3)4或5 【分析】（1）将 代入 ，求出k即可； （2）先求出定点 ，联立抛物线和直线 ，得到 ，则 ，由 得到 ，则 ，那么直线 ， ， ， ，则 ，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解； （3）设 ，联立直线 与抛物线得到一元二次方程，则 ，设直线 ，与抛物线联立得到 ，由点 作与抛物线 均有唯一公共点，则 ， ，那么直线 ，同理可得直线 ，联立两直线求得 ，则 ，由 ，结合两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 由题意得将 代入 得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ； （2）解：由 得 ， ∵直线 过定点， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 联立得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴直线 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， ① 为对角线时， ， ∴ ， ∴ ； ② 为对角线时， 则 ， ∴ ，直线 ∴ ， ， ∴ ； ③ 为对角线时， 则 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 综上所述：存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 点的坐标为 或 或 ； （3）解：设 ， 联立得： ， ∴ ， ∴ ， 设直线 ， 联立 ， 整理得： ， ∵点 作与抛物线 均有唯一公共点， ∴ ， ， ∴直线 ， 同理可得直线 ， ∴联立得： ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 整理得： ， 解得： ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂． 5．（2025·辽宁鞍山·三模）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ， （ ）是直线 上方抛物线上的两点，且 ． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作 轴交 于点D，过点N作 轴交 于点E，设四边形 的周长为 ． ①求 与m之间的函数关系式； ②若四边形 为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形 的周长相等，请直接写出此时四边形 周长的取值范围． 【答案】(1)点 ，点 (2) ， 且 (3)① ；② 或 ；③ 【分析】（1）将抛物线的解析式 化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标； （2）根据点B，C的坐标求出直线 的解析式，由 ， （ ）是直线 上方抛物线上的两点，确定 ， （ ），且 ，因为 ，得 ，将点M，N的坐标代入即可得出 ，并确定m的取值范围为 且 ； （3）①根据已知条件，易证四边形 为平行四边形，由 , ，求得 ，由（2）得，点 的坐标为 ，过点 作 于点 ，易证 ，得 ，即 ，平行四边形 的周长 ，当 时， ，当 时， ； ②若平行四边形 为菱形，即 ，由①得 ， ，当 时， ，即 ，求解并判断是否符合 即可；当 时， ，即 ，求解并判断是否符合 即可； ③ 当 时， ， ，当 时， ， ，若恰好存在四个M点，使四边形 的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得 ． 【详解】（1）解： 抛物线的解析式 ，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， ， 点B，C的坐标分别为：点 ，点 ； （2）设直线 的解析式为 ，由点 ，点 ， 得 ， ， ， 直线 的解析式为 ， ， （ ）是直线 上方抛物线上的两点， ， （ ），且 ， 如图所示，过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，m的取值范围为 且 ； （3）① 轴， 轴， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 点 的坐标为： ， ， 由（2）得，点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形 的周长 ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 综上所述， ； ②若平行四边形 为菱形， ， 由①得 ， ， ， 当 时， ，即 ，解得 （舍）， ， 当 时， ，即 ，解得 ， （舍）， 综上所述， 或 ； ③ 当 时， ， ， 当 时， ， ， 如图所示，四边形 的周长 的图象为抛物线上的实线， 若恰好存在四个M点，使四边形 的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， ． 【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数综合——其他问题 1．（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的 倍还大 ( 为常数)，则称此点为“ 倍大点”，例如 、 都是“ 倍大点”． 【验证感知】若 时，“ 倍大点”为 ，则一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“ 倍大点”，求 的取值范围； 【拓展延伸】若 时，二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大点”，求 的取值范围． 【答案】[验证感知] ；[知识应用] 或 ；[拓展延伸] 或 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键； [验证感知]根据题意“ 倍大点”在 上，联立直线解析式，即可求解； [知识应用]联立反比例函数解析式，得出一元二次方程，根据一元二次方程根判别式的意义，即可求解； [拓展延伸]分两种情况讨论，设 ， ；①抛物线与直线相切；②当 时， ，且当 时， ，此时图像上有且只有 个“ 倍大点”，解不等式，即可求解． 【详解】解：[验证感知]当 ，“ 倍大点”为 ， 则“ 倍大点”在 上， 联立 解得： ∴一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标为 ； [知识应用]解：依题意，“ 倍大点”在 上， 当反比例函数 存在“ 倍大点” ∴ 有解， ∴ ∴ 解得： 或 [拓展延伸]∵ ，则“ 倍大点”在 上， 设 ， ∵二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大点”， ①当 时， 即 ， ∴ 解得： ②当 时， ，且当 时， 解得： 综上所述， 或 2．（2025·云南玉溪·三模）已知抛物线 交x轴于 ， ，交y轴于C，点 是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且 的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点 在该抛物线上，且 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2)① ；②2025 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利用二次函数的解析式解答即可；②利用已知条件求得m，n的值，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 交 轴于 、 ， ∴ ， 解得： ； （2）解：①由（1）得：抛物线解析式为 ， ∵点 是第四象限内抛物线上的一个动点． ∴ ， ∵ 为整数，且 的值也为整数， ∴ ， 当 时， ， ∴满足条件的点 的坐标为 ； ②∵点 在该抛物线上，点 是第四象限内抛物线上的一个动点． ， ∴ 轴， ，且直线 与抛物线交于点M，N， ∵ ， ∴ ，即 ∴方程 ，即 的实数根为m，n， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．（2025·山东临沂·三模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数 与x轴的交点坐标是 ，所以函数 是“零点函数”，1是该函数的“零点”． (1)请完成以下两个小题： ①下列函数中，是“零点函数”的为（   ） A．         B．         C． ②请写出下列函数的“零点”：一次函数 的“零点”是______，二次函数 的“零点”是______； (2)已知二次函数 是“零点函数”（a，b，c是常数， ）． ①若 ， ，函数的“零点”是 ， ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式： ②若一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，“零点函数” 满足下列条件：① ，② ，试确定线段 长度的取值范围． 【答案】(1)①A；② ，1 (2)① 或 ；② 【分析】本题考查一次函数与x轴图象的交点问题，二次函数图象与 轴的交点问题，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，逐一进行判断即可；②令 ，求出 的值即可； （2）①令 ，根据根与系数之间的关系，结合 ，以及函数与x轴的两个交点之间的距离为8，求出 的值即可； ②令 ，得到 ，根据 ，得到 ，根与系数的关系，得到 ，进而得到 ，根据 ，得到 ，进而得到 ，根据二次函数的增减性求出 的范围即可． 【详解】（1）解：①当 时， ；故 是零点函数； 对于 ，与 轴没有交点，不是零点函数； 当 时， ，故 与 轴没有交点，不是零点函数； 故选：A； ②当 时， ；故一次函数 的“零点”是 ； 当 时， ；故 的零点是1； 故答案为： ，1； （2）① ， ∴ ， ∵二次函数 是“零点函数”，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上， ∴ ，当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，即： ， ∴ ， ∴ ， 解得： 或 （舍去）； ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ； ②令 ， 整理，得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵一次函数 与二次函数 相交于点 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，其开口向上，对称轴为直线 ， ∴当 时， 最大； 当 时， 最小； ∴ ， ∴ ． 4．（2025·湖北·三模）已知抛物线 ． (1)如图1，当抛物线的图象经过点 ，且对称轴在 轴右侧时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，若点 是直线 下方抛物线上一点，作 ，垂足为点 ，设 ，求 的最大值及此时点 的坐标； (2)若抛物线交 轴于点 ，设 ． ①求 与 的函数解析式； ②将直线 和直线 与 轴围成的区域（不含边界）记为 ，当 随 的增大而增大时，抛物线将 分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)① ，② 有最大值为 ，此时点 (2)① ，② 【分析】（1）①将 代入 ，根据对称轴在 轴右侧，得出 ，即可得出解析式； ②过点 作 轴交 于点 ，则 ，求得 ，设点 ，则点 ，求得 关于 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （2）①分当点 在 轴上方或与点 重合时，当点 在 轴下方时，两种情况讨论，据此求解即可； ②画出图形，知当 时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，据此求解即可． 【详解】（1）解：① 抛物线的图象经过点 ， ， ． 对称轴在 轴右侧， ， ， ． ②过点 作 EMBED Equation.DSMT4 轴交BC于点 ，则 ，如图， 当 时， ； 当 时， ， 点 ， ． 设 ， 解得 ． 设点 ，则点 ， ． ， ， ， 当 时， 有最大值为 ，此时点 ． （2）①当 时， ， 点 ． 当点 在 轴上方或与点 重合时， 或 ， ； 当点 在 轴下方时， ， ． 综上所述， ② ，当 时， ，当 ， ， ，当 时， ，当 ， ， 画出两个一次函数图像如下，将直线 和直线 与 轴围成的区域（不含边界）记为M，那么 中横、纵坐标均为整数的点有： ， ， ， ， ， ， , ，共8个， EMBED Equation.DSMT4 ， 时， ， 时， ，如图所示： 观察图像，可知当 随 的增大而增大时， 或 ， 对称轴为 ， 当 时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，此时对称轴在 轴的右侧，即 ，如图所示： 解方程 ，得 （舍去负值）； 解方程 ，得 （舍去负值）； EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，待定系数求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 5．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系 中，抛物线 ． (1)已知抛物线 的对称轴是直线 ，求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，若点的横坐标为整数，则称这样的点为横整点． 抛物线 与直线 交于 两点，将抛物线在 两点之间的部分记作曲线 （不含 两点），若 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据对称轴公式，求出 的值，即可得出结果； （2）联立抛物线 与直线 ，求出 点的坐标，根据 上恰有两个横整点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴是直线 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）联立 ，得： ， 解得： ， 不妨设 点的横坐标为 ， ∵ 上恰有两个横整点， 当点 在点 左侧时，则：两个横整点的横坐标为： ， ∴ ， ∴ ； 当点 在点 右侧时，则：两个横整点的横坐标为： ， ∴ ， ∴ ； 综上： 或 ． 6．（2025·山东日照·三模）平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，点 ． (1)若 轴，求抛物线的解析式； (2)点 为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有 ，求a的取值范围； (3)在（1）的条件下，若点 在直线 上，点 在抛物线 上，求证：当 时，h的最大值是4． 【答案】(1) (2) 或 (3)见解析 【分析】（1）根据 轴，可得 ，得 ，解得 ，即得， （2）可得抛物线为 ，对称轴为 ，当 时，开口向上， A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，最低点在端点 时， ，都有 ．当 时，开口向下，顶点为最高点，最低点在端点 或 ，当 时， ，得 ； （3）可得 ，得 ，可得 ，得 ，得 ， 根据h有最大值，知 ，故当 时，h取得最大值 ． 【详解】（1）解：∵ 轴， ∴点 ，点 的纵坐标相同， 即 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； （2）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ， ∴函数解析式为 ， ∴ ， ∴对称轴为 ， 当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，y随x增大而增大，最低点出现在端点 时， ，如图： 故当 时，都有 ． 当 时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点 或 ，如图： ∴当 时， ， 即： ， 解得： ， 综上， a的取值范围为 或 ；          （3）证明：∵点 在直线 上，点 在抛物线 上， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， 当 时，h无最大值， 当 时，h有最大值， ∴当 时，h取得最大值 ， ∵对称轴为 ， ∴ ， ∴ 在对称轴右侧， ∴h随a的增大而减小， 由（2）知， ， ∴当 时，h取得最大值，为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，增减性，二次函数与一次函数综合，二次函数最值，熟练掌握是解题的关键． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 19 / 24 _181$$ 专题10 中考压轴题 题型概览 题型01 几何压轴——平移 题型02 几何压轴——对称 题型03 几何压轴——旋转 题型04 二次函数综合——线段问题 题型05 二次函数综合——面积问题 题型06 二次函数综合——角度问题 题型07 二次函数综合——三角形问题 题型08 二次函数综合——四边形问题 题型09 二次函数综合——其他问题 几何压轴——平移 1．（2025·山东日照·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，在 中， ， 是斜边 上的中线． 【初步探究】（1）如图2，将 沿 方向平移，当点C落在点D的位置时，D，B的对应点分别是 、 ，连接 、 ．“笃学”小组发现四边形 的形状是矩形，请你证明这一结论． 【深入思考】（2）“勤思”小组将 绕点D顺时针旋转得到 ， 、 的对应点分别是N，M，若 ， ． ①如图3，当 时， 与 交于点E， 与 交于点P，求线段 的长． ②连接 ，当 时，请直接写出N到 的距离． 2．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片 为矩形，且 厘米， 厘米，点E，F分别为边 ， 的中点，沿 将纸片剪成两部分，将纸片 沿纸片 的对角线 方向向上平移． ①当纸片 平移至点 与 的中点O重合时，两个纸片重叠部分 的面积与原矩形纸片 的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分 的面积与原矩形纸片 的面积之比是 时，则平移距离 为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片 为菱形， ， 时，将纸片 沿其对角线 剪开，将纸片 沿 方向向上平移．当两个纸片重叠部分 的面积与纸片 的面积之比为 时，求平移距离 （用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片 中， ， 厘米， 厘米，取 ， 中点D，E，将 沿 剪开，得到四边形 和 ，将 绕点D顺时针旋转得到 ．在 旋转一周的过程中，求 面积的最大值． 3．（2025·山西朔州·三模）综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形 中， ， ， 分别是 ， ， 边上的点，连接 ， ．若 ，判断 与 之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将 沿 方向平移到 ，连接 ．根据平移的性质，可判断四边形 是平行四边形，再证明 ，得到 ，继而得到 ． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形 改为菱形 ， ，如图2， ， ， 分别是 ， ， 边上的点，连接 与 交于点 ．若 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ， 交于点 ， ．判断 与 的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，过点 作 于点 ，交 边于点 ，连接 ， ．若 ， ，请直接写出 的最小值． 几何压轴——对称 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ． (1)如图1，当 EMBED Equation.DSMT4 时，猜想四边形 的形状，并说明理由． (2)如图2，当 ， 时，请判断线段 之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若 ， ，在 和 中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出 与 重叠部分的面积． 2．（2025·河南商丘·三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形 中， 是 的中点，连接 ，将 沿 翻折到 ．延长 交 于点 ，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形 ”改为“正方形 ”其他条件不变，求 的值； (3)如图3，将正方形 绕点 逆时针旋转 ，得到正方形 ， 与 相交于点 ，延长 交 于点 ．若 ，求 的长． 3．（2025·广东东莞·三模）在 中， ， ，点 在边 上（点 不与点 ，点 重合），连接 并将 绕点 逆时针旋转 得到 ． (1)如图1，连接 ． 与 的位置关系为 ， 与 的数量关系是 ； 请用等式表示 ， 和 的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，若 的最小值为2，求 的长． 几何压轴——旋转 1．（2025·江苏泰州·三模）问题呈现 在正方形 中，点E在边 上，点F在边 上，连接 得到 且 ，把 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ． 【独立思考】（1）如图①，当 的延长线经过点B时，求证： 是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点 作 交正方形 的对角线 于点M，且经过 边的中点N，判断 与 的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得 ． ①在图②中，求 的长； ② 绕点A旋转的过程中，直接写出点 到 的最大距离． 2．（2025·广东中山·三模）【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 ，在等边 中，点 是 的中点，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，连接 和 ．试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明． (1)请你根据图 的情况，解答老师提出的问题； (2)“善思小组”发现，如图 ，连接 和 ，则直线 垂直平分线段 ，请你根据图 的情况加以证明； (3)“智慧小组”突发奇想，如图 ，当 时，旋转角 的余弦值是多少？请你思考此问题，并求出结果 3．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 边上的点，且 ，求出图中线段 ， ， 之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将 绕着点 逆时针旋转 到 位置，根据“旋转的性质”分析 与 之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形 中， ， ， ，且 ， ， ，求 的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形 中， ， 与 互补，点 、 分别在射线 、 上，且 ．当 ， ， 时，求出 的周长． 4．（2025·山西大同·三模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在 中， ，点D是 的中点，连接 ，分别过点A，B作 的平行线相交于点E． 猜想证明：（1）判断四边形 的形状，并证明你的结论； 操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接 ，交 于点O，然后将 绕A点逆时针旋转得到 （点D，E的对应点分别为 ， ），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点E'恰好与点D重合时， 与 交于点H，求证： ； ②若 ， ，当线段 所在直线与 所在直线平行时，直接写出点E， 之间的距离． 5．（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形 为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边 中，点D为内部一点，且 平分 ， 连接 ， 将线段 绕点D 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．求证：四边形 是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形 中， ， ， 线段 的垂直平分线 分别交 与 的角平分线于E， F， 连接 ， ． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线 平分 ， 点C， D分别在射线 ， 上，若 且四边形 是等直四边形，则 的长为 ． （直接写出结果） 6．（2025·山东济宁·三模）综合探究 在平面内，已知 ，在射线 上分别取点 ，同时点 （与点 不重合）为射线 上一动点，连接 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ． (1)如图1，当 ．且点 在线段 上运动时，试判断线段 与 有什么样的位置关系． (2)如图2，若 ，且点 在线段 上运动，则（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，当 时，点 在线段 上运动．在点 运动的过程中，在 上方作正方形 ，直线 与直线 相交于点 ．若 ，求线段 的最大值． 二次函数综合——线段问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于点 和点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点 ，使得 是以 底的等腰三角形，求点 的坐标： (3)设 为直线 上方的抛物线上一点，连接 ，以 为邻边作平行四边形 ，则平行四边形 面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点 ，且 ，则 的最小值为___________． 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中点 ， ． (1)求地物线的解析式； (2)线段 上有一动点P，连接 ，当 的值最小时，请直接写出此时点P的坐标和 的最小值． 3．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线 （b、c为常数， ）与 轴相交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，抛物线上的点 的横坐标为 ，且 ． (1)若 ． ①求抛物线的顶点 和点 的坐标； ②当 时，求 的值； (2)若点 的坐标为 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 轴，与抛物线的另一个交点为 ，当 的最大值为 时，求 的值． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线 与直线 交于A，B两点，且点 的坐标为 ，点 的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2) 为直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ． （ⅰ）当线段 取最大值时，求点 的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点 作 交直线 于点 ，若抛物线 与线段 只有一个交点，直接写出 的取值范围． 二次函数综合——面积问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ， (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点， 的面积为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式： (3)如图3，在（2）的条件下，抛物线顶点为 ，点 在 的延长线上，连接 EMBED Equation.DSMT4 ，过点 作 垂直于 轴于点 交 于点 ，若 ， ，求 的值． 2．（2025·山东济南·三模）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点 为第四象限抛物线上的点，连接 、 、 、 ，且 和 相交于点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标． (3)如图2，设点 ， 是直线 下方抛物线上的两动点，且 ，过点 作 轴，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．求 的最大值． 3．（2025·海南省直辖县级单位·三模）已知抛物线 （ 是常数且 ），其顶点为 ． (1)求该抛物线的对称轴及顶点 的坐标； (2)如图1，当该抛物线经过原点 时： ①求抛物线的函数解析式； ②点 在 轴上方的抛物线上运动，若点 的横坐标为 ，且 ，求 ； (3)如图2，抛物线与 轴的两个交点为 ，若 ，直接写出 的取值范围． 4．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 为常数，且 与 轴交于点 ． (1)若 ，该抛物线与 轴交于点 ． ①求该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标． ②过线段 上一点 作 轴于E， 的延长线交抛物线于 ，若 ，求 的值． (2)已知点 在该抛物线上，且直线 经过该抛物线的顶点，设 与 轴， 轴所围成的三角形面积为 ，且 ，求 的最小值． 二次函数综合——角度问题 1．（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 (点 在原点的左侧，点 在原点的右侧)，与 轴交于点 ， ． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接 ，点 是直线 上方抛物线上的点，连接 ， ． 交 于点 ，当 时，求点 的坐标． (3)如图2，点 的坐标为 ，点 是抛物线上的点，连接 ，是否存在点 ，使 或 等于 ？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线 ，与 轴交于点 和点 （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，且 ，抛物线的顶点为 ． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点 的坐标_____； (2)若点 在此抛物线上， 轴于点 ， 与直线 相交于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，求点 的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线 上是否存在一点 ，使直线 与直线 的夹角等于 的2倍．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·湖北襄阳·三模）若一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点 的坐标为 ，二次函数 的图象过 ， ， 三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点 作 轴交抛物线于点 ，点 在抛物线上（ 轴左侧），若 恰好平分 ，求直线 的表达式； (3)如图②，若点 是第四象限内抛物线上的一点，连接 交 于点 ，连接 ， ，求 的最大值． 二次函数综合——三角形问题 1．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C． (1) ___________， ___________． (2)如图1，点P为直线 下方抛物线上一点，连接 交 于点D，求 的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线 上一动点，当 是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 2．（2025·安徽池州·三模）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设 为直线 上一点． ①当 为直角三角形时，求n的值； ②当 时，已知点A关于y轴的对称点为 ，射线 交抛物线于点P．若 ，求点P的横坐标． 3．（2022·辽宁锦州·三模）如图，已知抛物线 过点 ，与 轴交于点 ，点 在 轴上， ，点 是抛物线的顶点，点 是直线 上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点 坐标； (2)若点 关于直线 的对称点 在 轴上，求点 的坐标； (3)点 是抛物线对称轴 上的一动点（点 不与点 、 重合），过点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ，当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标． 4．（2025·湖北武汉·三模）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1， 为第二象限内抛物线上一点， 交 于点 ，若 与 相似，求点 的横坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 和 交于点 ，若点 在直线 上，求 的值． 5．（2024·广东佛山·三模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点B，连接 、 ． (1)求b、c的值及 的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着 方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着 方向以 个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒， 轴交 于E， 轴交抛物线于F，连接 、 ． ①当 时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得 与 相似的t的值． 二次函数综合——四边形问题 1．（2025·山东淄博·三模）如图①，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，在 轴上有一个动点 ，其中 ． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，过点 作 于点 ，设 的周长为 ， 的周长为 ，若 ，求 的值． (3)如图②，动点 ， 同时从 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 ， 运动到 秒时， 沿 所在的直线翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，请直接判定此时四边形 的形状，并求出点 坐标． 2．（2025·内蒙古包头·三模）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止． (1)求抛物线 的表达式； (2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由． (3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究：如图，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ． 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ，过点 作 于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2) 是平面内任意一点，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的坐标； (3)当 的周长最大时，求点 的坐标； (4) 的最小值是_____． 4．（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1， 为平面直角坐标系的原点，过定点 的直线 与抛物线 交于点 （点 在点 左侧）． (1)若 ，则求直线 的解析式； (2)若 ，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求 点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点 作与抛物线 均有唯一公共点的直线 ，直线 的交点为 ，若 ，求 的值． 5．（2025·辽宁鞍山·三模）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ， （ ）是直线 上方抛物线上的两点，且 ． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作 轴交 于点D，过点N作 轴交 于点E，设四边形 的周长为 ． ①求 与m之间的函数关系式； ②若四边形 为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形 的周长相等，请直接写出此时四边形 周长的取值范围． 二次函数综合——其他问题 1．（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的 倍还大 ( 为常数)，则称此点为“ 倍大点”，例如 、 都是“ 倍大点”． 【验证感知】若 时，“ 倍大点”为 ，则一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“ 倍大点”，求 的取值范围； 【拓展延伸】若 时，二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大点”，求 的取值范围． 2．（2025·云南玉溪·三模）已知抛物线 交x轴于 ， ，交y轴于C，点 是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且 的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点 在该抛物线上，且 ， ，求 的值． 3．（2025·山东临沂·三模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数 与x轴的交点坐标是 ，所以函数 是“零点函数”，1是该函数的“零点”． (1)请完成以下两个小题： ①下列函数中，是“零点函数”的为（   ） A．         B．         C． ②请写出下列函数的“零点”：一次函数 的“零点”是______，二次函数 的“零点”是______； (2)已知二次函数 是“零点函数”（a，b，c是常数， ）． ①若 ， ，函数的“零点”是 ， ，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式： ②若一次函数 与二次函数 相交于点 和 ，“零点函数” 满足下列条件：① ，② ，试确定线段 长度的取值范围． 4．（2025·湖北·三模）已知抛物线 ． (1)如图1，当抛物线的图象经过点 ，且对称轴在 轴右侧时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，若点 是直线 下方抛物线上一点，作 ，垂足为点 ，设 ，求 的最大值及此时点 的坐标； (2)若抛物线交 轴于点 ，设 ． ①求 与 的函数解析式； ②将直线 和直线 与 轴围成的区域（不含边界）记为 ，当 随 的增大而增大时，抛物线将 分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围． 5．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系 中，抛物线 ． (1)已知抛物线 的对称轴是直线 ，求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，若点的横坐标为整数，则称这样的点为横整点． 抛物线 与直线 交于 两点，将抛物线在 两点之间的部分记作曲线 （不含 两点），若 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求 的取值范围． 6．（2025·山东日照·三模）平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，点 ． (1)若 轴，求抛物线的解析式； (2)点 为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有 ，求a的取值范围； (3)在（1）的条件下，若点 在直线 上，点 在抛物线 上，求证：当 时，h的最大值是4． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 19 / 24 $$