专题09 统计与概率（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题09 统计与概率 题型概览 题型01 数据的收集与整理 题型02 数据分析 题型03 求概率 题型04 统计与概率综合 ( 题型01 )数据的收集与整理 1．（2025·江西新余·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是 ． 2．（2025·重庆·三模）下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（    ） A．调查重庆市2025年空气质量情况 B．调查全国中学生对人工智能的了解 C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查 D．对长江流域水质情况的调查 3．（2025·江苏扬州·三模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批导弹的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况 C．考察人们保护海洋的意识 D．了解全班同学的身高的现状 4．（2025·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（     ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的极差是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差甲，乙组数据的方差乙，则乙组数据比甲组数据稳定 5．（2025·河南信阳·三模）下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 6．（2025·云南临沧·三模）丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的有人 D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人 7．（2025·湖北·三模）2025年某市将有96000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，计划从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（   ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．96000名考生是总体 C．1000名学生是样本容量 D．每位考生的数学成绩是个体 8．（2025·浙江绍兴·三模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动，活动时间为2024-2026年．目前，国际上常用身体质量指数“”（）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． (1)【设计调查方式】 有下列选取样本的方式中最合理的是（   ） A．随机调查全校的名同学的身高体重 B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重 C．随机调查该校名九年级同学的身高体重 (2)【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了50名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 频率 求表中的值． (3)【数据应用】 若该校九年级共有名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 9．（2025·河南新乡·三模）某学校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校2000名学生进行随机抽样调查，收集整理最喜爱的书籍类型（A．科普，B．名著， C．杂志，D．其他）数据，绘制出如图所示两幅不完整的统计图．由此估计该校最喜爱名著的学生有 名． 10．（2025·安徽阜阳·三模）为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 11．（2025·广西南宁·三模）如图反映了某地年月的平均气温和降水量情况，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（   ） A．月平均气温在以下 B．从月到月，气温逐渐升高 C．从月到月，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，，月的降水量较多 12．（2025·宁夏中卫·三模）今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示； B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 14和16 15 B型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中______，_______； (2)请计算表中c的值；（需要写出计算过程） (3)随着电商行业持续火爆，快速分拣工作量日益增大，该快递分拣站计划再购进一批智能机器人，你认为应该购进A型号机器人还是B型号机器人，请说明理由． 13．（2025·广西南宁·三模）吃元宵是元宵节的传统习俗之一．某食品厂为了解市民对2024年销售较好的A，B，C，D四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择A种元宵的有75人，选择B种元宵的有200人，则选择C种元宵的有 人． 14．（2025·甘肃酒泉·三模）为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（   ） 组别 参赛者成绩 频数 A 4 B m C 12 D 12 E 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在B组 D．m的值为15 15．（2025·辽宁盘锦·三模）为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图和统计表． 组别 睡眠时间 根据图表提供的信息，回答下列问题： (1)求统计图中的； (2)抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在组的有多少人？ (3)睡眠时间少于小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？ 16．（2025·湖北武汉·三模）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为，，，四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)本次测试共调查了________名学生；扇形统计图中，等级部分所对应的圆心角的度数为________； (2)若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少人？ (3)若等级为优，等级为良，等级为合格，等级为不合格，写出你对“学生体能”状况的看法和合理化建议． 17．（2025·浙江杭州·三模）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)直接写出本次调查的学生总人数____； (2)补全条形统计图； (3)该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 18．（2025·江苏扬州·三模）“少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”．值2025年学业水平考试临近，扬州某中学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期研学游活动，选取了A（瘦西湖），B（扬州世博园），C（扬州大运河博物馆），D（江都引江水利枢纽）四个研学基地，参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为了解该校学生对四个基地的选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)被抽取学生总人数= ，在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为 ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)若该中学有800名中学生参加本次活动，则选择江都引江水利枢纽研学基地的学生大约有多少人？ 19．（2025·广东深圳·三模）5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 20．（2025·贵州铜仁·三模）贵州是全国唯一一个没有平原的省份，青山绿水造就了风景如画的壮丽风景．小敏家计划今年暑假来贵州游玩，在网上搜索了贵州5座名山，为了更清楚地展示它们的海拔高度（如表），下列的统计图中，最合适的是（   ） 山名 梵净山 韭菜坪 雷公山 黔灵山 丹霞山 海拔（m） 2572 2901 2179 1396 1896 A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 21．（2025·安徽滁州·三模） 核心素养·数据意识（综合与实践）为了了解麦穗长度的情况，某中学生物社团兴趣小组在试验田里种植了新品种大麦，开展了一次课外实践调查研究． 【确定调查方式】 （1）张华计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ．（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本； ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本； ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本． 【整理分析数据】 （2）张华采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 根据图表信息，回答下列问题： ①频率分布表中的 ； ②请把频数直方图补充完整．（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 m 0.45 0.30 0.09 合计 1 ( 题型0 2 )数据分析 1．（2025·河南信阳·三模）某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 2．（2024·山东青岛·三模）已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ． 3．（2025·浙江金华·三模）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下： 项目 基础知识 操作能力 创新能力 成绩 则此应聘者的总成绩是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建三明·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2025·河南信阳·三模）在“迎新杯”篮球比赛中，某队首发5名球员的身高 （单位：cm）分别是∶ ，，，，， 则这组数据的中位数是 （   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邢台·三模）为了解七年级学生一次数学测试成绩情况，随机选取15名学生，其成绩的平均数和中位数都是85分，后来发现在登记成绩时，将一名学生的成绩由74分误写成84分，再经过重新计算后，正确的平均成绩为分，成绩的中位数为分，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建福州·三模）在一次中考体育模拟测试中，某班51名学生参加测试（满分为50分），成绩统计如表，部分数据被遮盖．下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 成绩（分） 44 45 46 47 48 49 50 人数（人） 2 6 20 7 A．中位数、众数 B．中位数、方差 C．平均数、众数 D．平均数、方差 8．（2025·云南红河·三模）某中学举行了“世界读书日”知识竞赛活动，七年级800名学生全部参赛．从中随机抽取50名学生的竞赛成绩（成绩用表示），按以下五组进行整理：；；C：；D：；E：．绘制如下频数分布直方图，已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79，则抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 ． 9．（2025·河南郑州·三模）在体育考试中我校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是 ． 10．（2025·江苏盐城·三模）现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（    ） A．众数为8 B．众数为9 C．中位数为8 D．中位数为9 11．（2025·湖南邵阳·三模）某学校发起了“温暖传递，书香永续”捐书活动．活动结束后，该校九年级8个班捐书册数统计如下（单位：册）：146，148，143，146，150，151，155，153．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．146，148 B．148，149 C．146，149 D．146，150 12．（2025·广东深圳·三模）一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河南信阳·三模）统计某班50名同学的左眼裸眼视力数据后整理得到统计表如下，这组数据的众数是 ． 视力 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 3 5 8 8 10 8 6 2 14．（2025·河南驻马店·三模）某校在“科学教育月”期间开展了科普知识竞赛，25名参赛同学的得分情况如图所示．这些同学成绩的众数是 分． 15．（2025·河南郑州·三模）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研，现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下： 信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确） A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10    B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10 信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写． 统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 ______ B 10 8 (2)样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是______人． (3)决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由． (4)调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法． 16．（2025·陕西西安·三模）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 17．（2024·河南·三模）省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 1.01 根据上述信息回答下列问题： (1)表格中的____________；____________． (2)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 18．（2025·河南驻马店·三模）甲、乙两名射击队员参加射击选拔赛，规则如下：每人射击10枪，射击总环数较大的队员晋级，若总环数相同，则选择射击成绩稳定性更好的队员晋级．两人的射击成绩（单位：环）如下． 甲：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10． 乙：7，7，8，8，8，8，8，8，9，9． 应选择 队员晋级．（填“甲”或“乙”） 19．（2025·江苏扬州·三模）一组数据，，，的方差与另一组数据2，5，8，的方差 ．（填“相等”或“不等”） 20．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一：（如图） 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，80，82，82，80，82，80，82，80，82，82，80． 请根据以上信息，解答下列问题； (1)求所抽取的学生成绩为C等级的人数； (2)求所抽取的学生成绩在B等级数据的中位数_______分；方差_______（不写单位）． (3)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 21．（2025·山东聊城·三模）为弘扬传统民俗文化，某校组织七、八年级全体学生参加了知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下：65  87  59  96  79  67  89  97  77  100  83  69  89  94  56  97  69  78  81  88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1； （数据分成5组：） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2； d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 m 25% 169.1 八年级 82 82 n 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)若本次八年级共有500人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有______人； (4)你认为学生测试成绩较好的是______年级（填“七”或“八”）．理由是（说出两点即可）． 22．（2025·河北石家庄·三模）嘉嘉进行了10次射击测试（单位：环），如果这10次射击成绩的平均数为8.6，方差为0.442，最后两次射击测试成绩分别为8.5，8.7，则嘉嘉前8次射击成绩的方差为（   ） A．0.555 B．0.55 C．0.442 D． 23．（2025·广东中山·三模）为设计学校数学节活动，学校制定了，两种方案供老师和学生打分，再根据得分情况选择最终的活动方案，其中编号为老师评委打分，号为学生评委打分（满分分），打分结果如下： ．得分情况统计表： 评委编号 方案得分 方案得分 b．得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 方案 方案 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空： ， ； （填“”“”或“”）． (2)为减少极端值对数据的影响，如果将，两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是 （填写序号）． 方案，得分的平均数均没有变化； 方案，得分的中位数均没有变化； 方案，得分的众数均没有变化； (3)既要考虑办学生喜爱的数学节，也要充分考虑老师的意见，学校决定不去掉最高分和最低分，但是赋予教师评委打分和学生评委打分的权重，请你计算方案的最终得分． 24．（2025·广西玉林·三模）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各800名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 36.4 八年级 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)按学生的实际成绩，从中位数和方差中选一个进行分析，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． (3)如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？ 25．（2025·陕西西安·三模）2025年5月24日至31日是第二十五个全国科技活动周，5月30日是第九个全国科技工作者日．各地围绕公众关注的人工智能、航空航天、深海深地探测等领域，广泛开展各类科普宣传活动．为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，参加活动的每一位学生至少要提交1件科创作品，现从七、八年级参加活动的学生中各随机抽取50名学生，调查其提交作品的件数．得到如下统计图表： 七年级50名学生提交作品的件数分布表 提交作品件数（件） 1 2 3 4 5 人数（人） 7 10 15 12 6 八年级50名学生提交作品的件数条形统计图 【数据的分析】根据整理出的数据得到如下有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 n 3 1.48 八年级 m 4 x 1.01 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ， ； 【数据的应用与评价】 （2）若八年级共有400人参加活动，请估计八年级提交作品的总件数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级参加活动的学生提交作品件数情况进行比较，并做出评价． 26．（2025·山西大同·三模）园艺研习活动中，同学种植月季花树给学校花园做景观造型．已知红色、黄色两种颜色的月季花树分别种植了12棵，从育苗到移栽均在同等条件下进行，一段时间后，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两种颜色月季花树高度的频数： 高度 131 135 136 140 144 148 149 频数 红色 0 1 1 5 2 2 1 黄色 1 0 2 2 4 2 1 b．两种颜色月季花树高度的有关统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 红色 142 140 m 黄色 142 n 144 请根据上述信息回答下列问题： (1)填空______，______； (2)在这两组花树中，高度的整齐度更好的是______（填“红色”或“黄色”）； (3)根据造型设计，现要从这两种颜色的花树中各选择10棵，使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近，且方差都尽可能小．若黄色花树去掉了高度为和的两棵，则红色花树应去掉高度为多少的两棵？说明理由． ( 题型0 3 )求概率 1．（2025·湖北十堰·三模）下列事件是随机事件的是（    ） A．平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 D．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8 2．（2025·湖南怀化·三模）下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 3．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 4．（2025·江苏盐城·三模）盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． (1)求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 (2)小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）一个盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为 ． 6．（2025·河南信阳·三模）三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 7．（2025·河北邢台·三模）在正方形网格中已有个位置放入了涂色的方块，已知方块与正方形网格中的小正方形的边长相等，将方块、随机放入网格，已知只能放在位置、、、中的一个位置，只能放在位置、、、中的一个位置，根据方块、的位置不同，所有涂色的个方块组成不同的图案． (1)固定方块在位置上，随机移动方块，求个方块组成的图案是轴对称图形的概率； (2)同时移动方块、方块， 用画树状图或列表的方法求6个方块组成轴对称图形的概率； 8．（2025·上海奉贤·三模）布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是 ． 9．（2025·山东济南·三模）如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 10．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 11．（2025·山东济南·三模）如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 12．（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 13．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 15．（2025·河南信阳·三模）“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽合肥·三模）我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“”型数，如586，352等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·山东聊城·三模）某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为 ． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河南开封·三模）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 20．（2025·安徽六安·三模）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂） (1)小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率； (2)小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值． 21．（2025·安徽池州·三模）电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 22．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）一个布袋里装有2个红球，3个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ． 23．（2025·云南昆明·三模）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 ； (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． ( 题型0 4 )统计与概率综合 1．（2025·山东济宁·三模）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为______度，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数： (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 2．（2025·河北唐山·三模）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)图中的度数是多少度？并把图条形统计图补充完整； (2)该校九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为多少人； (3)测试老师想从位同学（分别记为、、、，其中为小亮）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小亮的概率． 3．（2025·福建福州·三模）某学校举行了以“美丽鼓楼”为主题的演讲比赛．赛后组委会整理参赛同学成绩，将成绩按分数段分为四组，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．来自公众号勤学教室请根据图表提供的信息，解答下列问题： 组别 成绩（分） 频数（人） 百分比 A 8 B C 16 D 4    (1)①表中______，______； ②补全频数分布直方图： (2)若用扇形统计图描述成绩分布情况，求B组所对应扇形的圆心角的度数； (3)比赛结果显示，成绩不低于90分的4名同学中有1名男生和3名女生，学校从这4名同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率（用列表或树状图法）． 4．（2025·湖南邵阳·三模）为培养学生的AI素养，某校采用随机抽样调查，研究学生对人工智能知识的了解程度，并根据调查数据绘制成以下扇形统计图和有待完成的条形统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角为______度； (2)请补全条形统计图； (3)若该学校共有学生2000人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中对人工智能知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； (4)若从对人工智能知识达到“了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加市级人工智能知识竞赛，请用画树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 5．（2025·江苏盐城·三模）中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 (1)请写出统计表中a，b的值： _____， _____； (2)已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ (3)小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 统计与概率 题型概览 题型01 数据的收集与整理 题型02 数据分析 题型03 求概率 题型04 统计与概率综合 ( 题型01 )数据的收集与整理 1．（2025·江西新余·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是 ． 【答案】②→④→③→① 【分析】此题考查了折线统计图，调查收集数据的过程与方法，以及统计表，统计的步骤大致为：数据的收集，数据的整理，绘制统计图，分析统计图．根据数据的收集与整理顺序判断即可． 【详解】解：统计步骤应为： ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势． 则统计步骤正确的是②→④→③→①． 故答案为：②→④→③→①． 2．（2025·重庆·三模）下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（    ） A．调查重庆市2025年空气质量情况 B．调查全国中学生对人工智能的了解 C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查 D．对长江流域水质情况的调查 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 【详解】解：A．调查重庆市2025年空气质量情况，适合抽样调查，不合题意； B．调查全国中学生对人工智能的了解，适合抽样调查，不合题意； C．“神州二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查，适合全面调查，符合题意； D．对长江流域水质情况的调查，适合抽样调查，不合题意； 故选C． 3．（2025·江苏扬州·三模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批导弹的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况 C．考察人们保护海洋的意识 D．了解全班同学的身高的现状 【答案】D 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A. 了解一批导弹的使用寿命，采用抽样调查； B. 了解全国九年级学生的视力状况，采用抽样调查； C. 考察人们保护海洋的意识，采用抽样调查； D. 了解全班同学的身高的现状，采用全面调查； 故选：D． 4．（2025·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（     ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的极差是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差甲，乙组数据的方差乙，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【分析】由极差求法、事件分类、抽查与普查定义及由方差判定数据稳定性逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、一组数据2，3，3，4，5，6的极差是，原说法错误，不符合题意； B、“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，不是必然事件，原说法错误，不符合题意； C、了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽查（抽样调查），不采用普查（全面调查），原说法错误，不符合题意； D、根据，可得乙组数据比甲组数据稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查极差求法、事件分类、抽查与普查及由方差判定数据稳定性等知识，熟记相关概念是解决问题的关键． 5．（2025·河南信阳·三模）下列说法正确的是（　　） A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C．“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、事件的分类，根据抽样调查与全面调查以及事件的分类的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应进行抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行全面调查，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·云南临沧·三模）丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，海拔余米，全城面积达平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的有人 D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有万人，则选择自驾方式出行的大约有万人 【答案】A 【分析】本题主要考查了统计图的实际应用，根据统计图的信息关联找出有用的信息是解题的关键；用自驾人数2000除以其所占总人数百分率即可得出样本容量；用单位减去公共交通与自驾的百分比即可得出的值；用样本容量乘以公共交通占总人数的百分率即可得出实际人数；用万人乘以自驾人数占样本容量的百分率即可得出实际人数，按照以上方法依次求出答案，然后进一步对比即可． 【详解】解：A：本次抽样调查的样本容量是，选项A错误； B：扇形统计图中，选项B正确； C：样本中选择公共交通出行的人约有：（人），选项C正确； D：万游客中选择自驾方式出行的约有：（万人），选项D正确． 故选：A． 7．（2025·湖北·三模）2025年某市将有96000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，计划从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（   ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．96000名考生是总体 C．1000名学生是样本容量 D．每位考生的数学成绩是个体 【答案】D 【分析】本题考查了样本，总体，样本容量，个体等知识，掌握以上知识是关键． 根据总体“总体是指考察的对象的全体”，个体“个体则是总体中的每一个考察的对象”，样本“样本是从总体中抽取的一部分个体，用于代表总体进行研究或统计分析”，样本容量“样本容量是指样本中个体的数量”等概念辨析即可． 【详解】解：A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故原选项错误，不符合题意； B、96000名考生的数学成绩是总体，故原选项错误，不符合题意； C、样本容量是1000，故原选项错误，不符合题意； D、每位考生的数学成绩是个体，正确，符合题意； 故选：D ． 8．（2025·浙江绍兴·三模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动，活动时间为2024-2026年．目前，国际上常用身体质量指数“”（）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． (1)【设计调查方式】 有下列选取样本的方式中最合理的是（   ） A．随机调查全校的名同学的身高体重 B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重 C．随机调查该校名九年级同学的身高体重 (2)【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了50名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 频率 求表中的值． (3)【数据应用】 若该校九年级共有名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 【答案】(1)C (2) (3)人 【分析】本题考查了调查方式，样本估计总体，频率与频数等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （1）根据调查方式的特征逐一判断即可； （2）根据减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以即可求解； （3）通过乘以九年级健康类型频率即可求解． 【详解】（1）解：A．随机调查全校的名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意； B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意； C．随机调查该校名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意； 故选：C； （2）解：（人）， ∴； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级健康类型为正常的人数有人． 9．（2025·河南新乡·三模）某学校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校2000名学生进行随机抽样调查，收集整理最喜爱的书籍类型（A．科普，B．名著， C．杂志，D．其他）数据，绘制出如图所示两幅不完整的统计图．由此估计该校最喜爱名著的学生有 名． 【答案】600 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用样本估计总体，根据喜爱A类的学生的人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出喜欢C类的人数所占的百分比，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：， （名）； 故答案为：600． 10．（2025·安徽阜阳·三模）为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，用6000乘以样本中竞赛成绩低于80分的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是2640， 故选：B． 11．（2025·广西南宁·三模）如图反映了某地年月的平均气温和降水量情况，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（   ） A．月平均气温在以下 B．从月到月，气温逐渐升高 C．从月到月，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，，月的降水量较多 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图，折线统计图，根据统计图获取信息逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、月平均气温在以下，原选项说法正确，不符合题； 、从月到月，气温逐渐升高，从月到月，气温逐渐降低，原选项说法错误，符合题； 、从月到月，降水量逐渐减少，原选项说法正确，不符合题； 、冬冷夏热，，月的降水量较多，原选项说法正确，不符合题； 故选：． 12．（2025·宁夏中卫·三模）今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示； B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 14和16 15 B型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中______，_______； (2)请计算表中c的值；（需要写出计算过程） (3)随着电商行业持续火爆，快速分拣工作量日益增大，该快递分拣站计划再购进一批智能机器人，你认为应该购进A型号机器人还是B型号机器人，请说明理由． 【答案】(1)20，15 (2)20 (3)B型号机器人，理由见解析 【分析】本题考查统计图表，求中位数，众数和平均数，利用平均数做决策： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用平均数做决策即可． 【详解】（1）解：B型号的智能机器人分拣快递数量为20（万件）的数量最多， ∴； A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的数据排序后，第5个数据和第6个数据均为15； ∴； 故答案为：20，15； （2）解：（万件）； 故答案为：20； （3）解：应购进B型号机器人，理由如下： B型号的智能机器人每天可分拣的平均快递数量为20万件大于A型号的智能机器人每天可分拣的平均数量15万件，故应购进B型号的智能机器人． 13．（2025·广西南宁·三模）吃元宵是元宵节的传统习俗之一．某食品厂为了解市民对2024年销售较好的A，B，C，D四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择A种元宵的有75人，选择B种元宵的有200人，则选择C种元宵的有 人． 【答案】125 【分析】本题主要扇形统计图，用B的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再用参与调查的人数减去A、B、D的人数即可得到C的人数． 【详解】解：人， ∴一共调查了500人， 人， ∴选择C种元宵的有125人， 故答案为：125． 14．（2025·甘肃酒泉·三模）为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（   ） 组别 参赛者成绩 频数 A 4 B m C 12 D 12 E 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在B组 D．m的值为15 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C的百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用运用总数分别减去其他组的频数，即可判定D，最后获利问题的答案． 【详解】解：抽取的总人数为：， 即样本容量为50，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ∵样本容量为50， ∴排在中间位置的数为第位， 则， 故中位数落在C组， 故选项C不符合题意； 依题意，，故选项D符合题意； 故选：D． 15．（2025·辽宁盘锦·三模）为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图和统计表． 组别 睡眠时间 根据图表提供的信息，回答下列问题： (1)求统计图中的； (2)抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在组的有多少人？ (3)睡眠时间少于小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？ 【答案】(1) (2)人 (3)八年级：，九年级： 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、可能性，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据扇形统计图可以求得的值； （2）利用条形图求出八年级的学生人数，可得九年级的学生人数，再利用组九年级的百分比即可求解； （3）根据统计图中的数据即可求解． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：八年级的学生人数为（人）， ∵八年级与九年级的学生人数相同， ∴九年级的学生人数为（人）， ∴九年级学生睡眠时间在组的有（人）； （3）解：八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：， 九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：． 16．（2025·湖北武汉·三模）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为，，，四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)本次测试共调查了________名学生；扇形统计图中，等级部分所对应的圆心角的度数为________； (2)若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少人？ (3)若等级为优，等级为良，等级为合格，等级为不合格，写出你对“学生体能”状况的看法和合理化建议． 【答案】(1)50， (2)估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人； (3)合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率 【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；求出B等级的人数，进而求出B等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数； （2）用600乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：（人）， （人）， ， 故答案为：50，； （2）解：（人）． 答：估计八年级学生中体能测试结果为等级的学生约有72人； （3）解：合格率虽然较大，但仍需加强锻炼，争取人人合格，提高优良率． 17．（2025·浙江杭州·三模）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)直接写出本次调查的学生总人数____； (2)补全条形统计图； (3)该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)人 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体． （1）利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数； （2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图； （3）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可． 【详解】（1）本次调查的学生总人数：， 故答案为：； （2）在线听课的学生有：（人）， 补全的条形统计图如下图所示； （3）（人）， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人． 18．（2025·江苏扬州·三模）“少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”．值2025年学业水平考试临近，扬州某中学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期研学游活动，选取了A（瘦西湖），B（扬州世博园），C（扬州大运河博物馆），D（江都引江水利枢纽）四个研学基地，参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为了解该校学生对四个基地的选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)被抽取学生总人数= ，在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为 ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)若该中学有800名中学生参加本次活动，则选择江都引江水利枢纽研学基地的学生大约有多少人？ 【答案】(1)50， (2)见解析 (3)128人 【分析】（1）根据C有16人，占比为可求得总人数，再根据圆心角等于乘以A的占比即可得到答案； （2）由（1）算出的总人数，分别减去A，C，D的人数，即可求出B的人数； （3）根据样本的比例估算总体的比例，总人数乘以D的占比即可得到答案； 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， A所在的扇形的圆心角的度数为， （2）解：（人）， 补充条形统计图如下： （3）解：（人）， 答：选择江都引江水利枢纽研学基地的学生大约有128人． 【点睛】本题主要考查了数据的分析，条形统计图，样本估算整体等知识点，解决此题的关键是注意计算的正确性． 19．（2025·广东深圳·三模）5网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如下图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C．2029年直接经济产出约为2020年直接经济产出的10倍 D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图， 观察统计图可知2024年直接经济产出和间接经济产出，再作差解答A；再观察统计图解答B即可；观察统计图可知2029年直接经济产出和2020年直接经济产出，再作商解答C；观察统计图可知2024到2025年直接经济产出和间接经济产出的增长金额，并求出增长率，比较解答D． 【详解】解：观察统计图可知2024年直接经济产出为3万亿，间接经济产出为6万亿，所以直接经济产出比间接经济产出少（万亿），则A正确； 观察统计图可知2020年到2030年，直接经济产出逐年增长，间接经济产出也逐年增长，则B正确； 观察统计图可知2029年直接经济产出是5万亿元，2020年直接经济产出为0.5万亿元，可知，即2029年直接经济产出约是2020年直接经济产出的10倍，所以C正确； 观察统计图可知2024到2025年直接经济产出分别为3万亿，3.3万亿，可知其增长率为，2024到2025年间接经济产出分别为6万亿，6.3万亿，可知其增长率为，可知增长率不同，所以D不合理． 故选：D． 20．（2025·贵州铜仁·三模）贵州是全国唯一一个没有平原的省份，青山绿水造就了风景如画的壮丽风景．小敏家计划今年暑假来贵州游玩，在网上搜索了贵州5座名山，为了更清楚地展示它们的海拔高度（如表），下列的统计图中，最合适的是（   ） 山名 梵净山 韭菜坪 雷公山 黔灵山 丹霞山 海拔（m） 2572 2901 2179 1396 1896 A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 【答案】A 【分析】本题考查了统计图的选择，统计表，根据条形统计图，折线统计图，扇形统计图的特点，即可解答．熟练掌握各种统计图的特点是解题的关键． 【详解】解：根据条形统计图能清楚地表示每一个项目的具体数目， 所以，为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是条形统计图， 故选：A． 21．（2025·安徽滁州·三模） 核心素养·数据意识（综合与实践）为了了解麦穗长度的情况，某中学生物社团兴趣小组在试验田里种植了新品种大麦，开展了一次课外实践调查研究． 【确定调查方式】 （1）张华计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ．（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本； ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本； ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本． 【整理分析数据】 （2）张华采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 根据图表信息，回答下列问题： ①频率分布表中的 ； ②请把频数直方图补充完整．（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 m 0.45 0.30 0.09 合计 1 【答案】（1）③，（2）①0.12，②频数直方图见解析，（3） 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，频数、频率之间的关系，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可． （2）①用1减去其他频率即可求出m的值． ②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本． 故答案为：③． （2）①频率分布表中的 故答案为：0.12． ②麦穗长度频率分布在之间的频数有． 频数直方图补全如图所示． （3）， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为． ( 题型0 2 )数据分析 1．（2025·河南信阳·三模）某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 【答案】D 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和极差的求法．分别求出平均数、中位数、众数和极差进行判断即可． 【详解】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为： 16，19，24，25，25，27，32，35，37，40， 极差：， 平均数：， 众数：出现次数最多的数是25， 中位数：． 故选：D． 2．（2024·山东青岛·三模）已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握方差公式， 先求出三个数的和，再根据方差公式代入，即可求解，进而得出结论． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 3．（2025·浙江金华·三模）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下： 项目 基础知识 操作能力 创新能力 成绩 则此应聘者的总成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数，根据三项成绩依次按，，的比例进行求解即可，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． 【详解】解：此应聘者的总成绩是， 故选：． 4．（2025·福建三明·三模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可． 【详解】解：甲的最终得分为：； 乙的最终得分为：； 丙的最终得分为：； 丁的最终得分为：； 故甲的最终得分最高，将被录用； 故选A． 5．（2025·河南信阳·三模）在“迎新杯”篮球比赛中，某队首发5名球员的身高 （单位：cm）分别是∶ ，，，，， 则这组数据的中位数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，解题关键是理解中位数的概念． 先将数据排序，再求出中位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，， 中位数是， 故选：A ． 6．（2025·河北邢台·三模）为了解七年级学生一次数学测试成绩情况，随机选取15名学生，其成绩的平均数和中位数都是85分，后来发现在登记成绩时，将一名学生的成绩由74分误写成84分，再经过重新计算后，正确的平均成绩为分，成绩的中位数为分，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了中位数和平均数．根据题意中位数和平均数的定义即可得到答案． 【详解】解：， 正确的平均成绩； 原来的中位数是85分，将84分写成74分，最中间的数还是85分， ， 故选：B． 7．（2025·福建福州·三模）在一次中考体育模拟测试中，某班51名学生参加测试（满分为50分），成绩统计如表，部分数据被遮盖．下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 成绩（分） 44 45 46 47 48 49 50 人数（人） 2 6 20 7 A．中位数、众数 B．中位数、方差 C．平均数、众数 D．平均数、方差 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差和众数，根据表格中的数据可知中位数和众数都为48，而平均数和方差与遮住的数据有关，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴成绩为48的人数最多，即众数为48分， 把这51名学生的成绩按照从高到低排列，那么第26名的成绩一定是48分，即中位数为48分， ∴中位数和众数不变，平均数和方差都与遮住的数据有关， 故选：A， 8．（2025·云南红河·三模）某中学举行了“世界读书日”知识竞赛活动，七年级800名学生全部参赛．从中随机抽取50名学生的竞赛成绩（成绩用表示），按以下五组进行整理：；；C：；D：；E：．绘制如下频数分布直方图，已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79，则抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数．根据频数分布直方图结合中位数的定义计算即可求出中位数． 【详解】解：将50名同学的成绩按从低到排列，则第25位，第26位的成绩的平均即为中位数． ，， 将C组的数据按从低到排列为70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79， ∴第25位，第26位的成绩为77，78， 则中位数为：． 故答案为：． 9．（2025·河南郑州·三模）在体育考试中我校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是 ． 【答案】26 【分析】本题考查了折线统计图，中位数的定义，先从折线统计图得6名学生的体育成绩为；24，24，26，26，26，30，结合中位数的定义，即可作答． 【详解】解：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，26，26，26，30， 则排在中间位置的数是26，26， ∴这组数据的中位数是26． 故答案为：26 10．（2025·江苏盐城·三模）现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（    ） A．众数为8 B．众数为9 C．中位数为8 D．中位数为9 【答案】D 【分析】先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时），再据此分析这组数据． 本题主要考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数）是解题的关键． 【详解】解：数据10出现2次，7、8、9各出现1次， ∴众数是10 ． 将数据排序为7，8，9，10，10 ，数据个数5（奇数），中间的数是9， ∴中位数是9 ． 故选：D． 11．（2025·湖南邵阳·三模）某学校发起了“温暖传递，书香永续”捐书活动．活动结束后，该校九年级8个班捐书册数统计如下（单位：册）：146，148，143，146，150，151，155，153．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．146，148 B．148，149 C．146，149 D．146，150 【答案】C 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：出现了2次，出现的次数最多， 这组数据的众数是146个； 把这些数从小到大排列为：143，146， 146，148，150，151，153，155， 则中位数是（个． 故选：C． 12．（2025·广东深圳·三模）一组数据：，这组数据的众数和极差分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数和极差，根据众数和极差的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数据中，出现的次数最多，最大数据是，最小数据是， ∴这组数据的众数为，极差为， 故选：． 13．（2025·河南信阳·三模）统计某班50名同学的左眼裸眼视力数据后整理得到统计表如下，这组数据的众数是 ． 视力 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 3 5 8 8 10 8 6 2 【答案】5.0 【分析】本题考查众数．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】解：这组数据中，5.0出现的次数最多，是10次，因此这组数据的众数是5.0， 故答案为：5.0． 14．（2025·河南驻马店·三模）某校在“科学教育月”期间开展了科普知识竞赛，25名参赛同学的得分情况如图所示．这些同学成绩的众数是 分． 【答案】98 【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此可得答案． 【详解】解：∵得分为98分的人数有9人，人数最多， ∴这些同学成绩的众数为98分， 故答案为：98． 15．（2025·河南郑州·三模）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研，现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下： 信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确） A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10    B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10 信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写． 统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 ______ B 10 8 (2)样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是______人． (3)决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由． (4)调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法． 【答案】(1)8； (2)140； (3)作为消费者，我会选择B品牌，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了众数，用样本频数估计总数，利用平均数，中位数，众数等作决策，样本的代表性等知识点，解题的关键是熟练掌握各项概念． （1）利用众数的概念进行求解即可； （2）找出符合条件的人数，利用总量乘其占比即可得出符合条件人数； （3）利用平均数，中位数，众数等作决策即可； （4）从样本容量或样本的广泛性角度进行分析即可． 【详解】（1）解：通过信息一可知A组数据中出现次数最多的是8， ∴众数是8（分）； 补充如图 统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 B 10 8 （2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人）， 即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人． 故答案为：140； （3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于A品牌，说明其翻译准确性更好； （4）解：存在的不足： ①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小， 改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人； ②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差； 改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本． 这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠； ③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标； 改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项． 16．（2025·陕西西安·三模）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 【答案】(1)82，78，20 (2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 (3)名 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 17．（2024·河南·三模）省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 1.01 根据上述信息回答下列问题： (1)表格中的____________；____________． (2)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】(1)；3 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，方差，掌握相关概念的意义，并能从统计图表中获取相关信息是解题分关键． （1）分别根据中位数，平均数的意义算出即可； （2）根据所得数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可． 【详解】（1）由表格可知，八年级投稿篇数数据由小到大排列的第25、26个数据分别为3，4， 七年级投稿平均数： 故答案为：；3 （2）从平均数来看，八年级学生的平均数高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，说明八年级波动较小，则八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 18．（2025·河南驻马店·三模）甲、乙两名射击队员参加射击选拔赛，规则如下：每人射击10枪，射击总环数较大的队员晋级，若总环数相同，则选择射击成绩稳定性更好的队员晋级．两人的射击成绩（单位：环）如下． 甲：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10． 乙：7，7，8，8，8，8，8，8，9，9． 应选择 队员晋级．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了求平均数和方差，并根据方差作决策，先求甲、乙的总环数、平均数和方差，再进行比较，在总环数相同的情况下，选择方差较小的即可． 【详解】解：甲的总环数：， 则， ∴， 乙的总环数：， 则， ∴， ∵甲、乙的总环数相同，， ∴乙的射击成绩稳定性更好， ∴应选择乙队员晋级， 故答案为：乙． 19．（2025·江苏扬州·三模）一组数据，，，的方差与另一组数据2，5，8，的方差 ．（填“相等”或“不等”） 【答案】相等 【分析】本题考查了方差的意义，解题关键是理解方差的意义． 将前一组数据分别减去8，与后一数据比较，再作出判断． 【详解】解：将数据，，，中每个数都减去8，得2，5，8，， 所以数据，，，与数据2，5，8，的波动相同， 所以它们的方差相等． 故答案为：相等． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一：（如图） 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，80，82，82，80，82，80，82，80，82，82，80． 请根据以上信息，解答下列问题； (1)求所抽取的学生成绩为C等级的人数； (2)求所抽取的学生成绩在B等级数据的中位数_______分；方差_______（不写单位）． (3)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】(1)7人 (2)81，1 (3)120人 【分析】本题主要考查中位数，方差以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出C等级的人数； （2）根据中位数和方差的定义求解即可； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可得出结论． 【详解】（1）解：样本容量为：， （人）， 即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人； （2）解：把学生成绩在B等级数据从小到大排列为：80，80，80，80，80，80，82，82， 82， 82， 82，82， 位于正中间的两个数分别为80，82， ∴所抽取的学生成绩在B等级数据的中位数分； 平均数为， 方差为； 故答案为：81；1 （3）解：（人）， 答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人． 21．（2025·山东聊城·三模）为弘扬传统民俗文化，某校组织七、八年级全体学生参加了知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下：65  87  59  96  79  67  89  97  77  100  83  69  89  94  56  97  69  78  81  88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1； （数据分成5组：） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2； d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 m 25% 169.1 八年级 82 82 n 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)若本次八年级共有500人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有______人； (4)你认为学生测试成绩较好的是______年级（填“七”或“八”）．理由是（说出两点即可）． 【答案】(1)82，30% (2)见解析 (3)25 (4)八，见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、平均数与方差等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）根据中位数的定义和扇形统计图中优秀人数的圆心角与360度的比值分别计算即可； （2）先求出七年级20名学生成绩在的人数，进而可补全统计图； （3）利用样本估计总体的思想求解即可； （4）从平均数、优秀率和方差的角度进行分析即可得到结论． 【详解】（1）解：将七年级20名学生的成绩按由小到大排列如下： 56，59，65，67，69，69，77，78，79，81，83，87，88，89，89，94，96，97，97，100． 排在第10、11位的是：81，83， ， 八年级优秀率， 故答案为：82，30%； （2）解：七年级20名学生成绩在的人数为：（人）， 补全后的频数分布直方图如下： （3）解：八年级此次测试成绩不及格的学生约有：（人）， 故答案为：25； （4）解：学生测试成绩较好的是八年级，理由如下： 从平均数看：八年级平均数＞七年级平均数，说明八年级平均成绩较高； 从优秀率看：八年级优秀率＞七年级优秀率，说明八年级优秀率较高； 从方差看：八年级方差＜七年级方差，说明八年级成绩波动较小． 22．（2025·河北石家庄·三模）嘉嘉进行了10次射击测试（单位：环），如果这10次射击成绩的平均数为8.6，方差为0.442，最后两次射击测试成绩分别为8.5，8.7，则嘉嘉前8次射击成绩的方差为（   ） A．0.555 B．0.55 C．0.442 D． 【答案】B 【分析】本题考查求方差，先求出前8次射击成绩的平均数，然后根据方差公式进行计算即可． 【详解】嘉嘉最后两次射击测试成绩分别为8.5，8.7，10次射击成绩的平均数为8.6， 前8次射击成绩的平均数是， 嘉嘉10次射击成绩的方差为0.442， 这8次射击成绩的方差． 故选B． 23．（2025·广东中山·三模）为设计学校数学节活动，学校制定了，两种方案供老师和学生打分，再根据得分情况选择最终的活动方案，其中编号为老师评委打分，号为学生评委打分（满分分），打分结果如下： ．得分情况统计表： 评委编号 方案得分 方案得分 b．得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 方案 方案 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空： ， ； （填“”“”或“”）． (2)为减少极端值对数据的影响，如果将，两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是 （填写序号）． 方案，得分的平均数均没有变化； 方案，得分的中位数均没有变化； 方案，得分的众数均没有变化； (3)既要考虑办学生喜爱的数学节，也要充分考虑老师的意见，学校决定不去掉最高分和最低分，但是赋予教师评委打分和学生评委打分的权重，请你计算方案的最终得分． 【答案】(1)，，； (2)； (3)分． 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）根据中位数，众数，方差的定义，进行分析，即可求解； （）根据题意，从中位数，众数，平均数，方差分析，即可求解； （）根据加权平均数即可求解． 【详解】（1）解：种方案得分从小到大排序为：，，，，，，，， ∴中位数， ， ∵种方案得分出现次数最多， ∴众数， ∵种方案得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴ ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：依题意，去掉一个最低分和一个最高分之前，两种方案平均分相同去掉一个最低分和一个最高分之后，，，，则种方案得分的平均数小于种方案得分的平均数，故错误； ，两种方案得分的中位数均没有变化； ，两种方案得分的众数均没有变化； 故答案为：； （3）解：教师评委的平均分为， 学生评委的平均分为， ∴方案最终得分为：， 答：方案最终得分为分． 24．（2025·广西玉林·三模）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各800名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 36.4 八年级 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)按学生的实际成绩，从中位数和方差中选一个进行分析，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． (3)如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？ 【答案】(1)7，90，84 (2)八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一），理由见解析 (3)640名 【分析】本题考查了方差、中位数，众数，用样本估计总体，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． （1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，根据众数定义求出b的值，根据中位数定义可求出c； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩， ； 七年级10名学生成绩中出现次数最多的是90，因此众数； 把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 故答案为：7，90，84； （2）解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一）； （3）解：（名）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有640名． 25．（2025·陕西西安·三模）2025年5月24日至31日是第二十五个全国科技活动周，5月30日是第九个全国科技工作者日．各地围绕公众关注的人工智能、航空航天、深海深地探测等领域，广泛开展各类科普宣传活动．为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，参加活动的每一位学生至少要提交1件科创作品，现从七、八年级参加活动的学生中各随机抽取50名学生，调查其提交作品的件数．得到如下统计图表： 七年级50名学生提交作品的件数分布表 提交作品件数（件） 1 2 3 4 5 人数（人） 7 10 15 12 6 八年级50名学生提交作品的件数条形统计图 【数据的分析】根据整理出的数据得到如下有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 n 3 1.48 八年级 m 4 x 1.01 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ， ； 【数据的应用与评价】 （2）若八年级共有400人参加活动，请估计八年级提交作品的总件数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级参加活动的学生提交作品件数情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1），3，；（2）1320件；（3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八年级提交作品件数情况多于七年级 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义及意义、条形统计图与统计表相关联，用样本估计总体． （1）根据中位数、加权平均数和众数的定义求解即可； （2）根据样本根据总体解答即可； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可． 【详解】解：（1）八年级50名学生中位数是第25个数和第26个数的平均数， ∵， ∴第25个数和第26个数是3和4， ∴， 根据统计图可知：， 根据统计表可知：， 故答案为：，3，． （2）（件）， 所以估计八年级提交作品的总件数为1320件． （3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八年级提交作品件数情况多于七年级． 从众数看：八年级众数高于七年级众数，所以八年级提交作品件数最多的多于七年级． 从中位数看：八年级中位数高于七年级中位数，所以八年级一半人数提交的作品件数大于，七年级一半人数提交的作品件数大于3． 从方差看：八年级方差低于七年级方差，所以八年级提交作品件数情况比七年级更稳定． 答案不唯一，合理即可． 26．（2025·山西大同·三模）园艺研习活动中，同学种植月季花树给学校花园做景观造型．已知红色、黄色两种颜色的月季花树分别种植了12棵，从育苗到移栽均在同等条件下进行，一段时间后，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两种颜色月季花树高度的频数： 高度 131 135 136 140 144 148 149 频数 红色 0 1 1 5 2 2 1 黄色 1 0 2 2 4 2 1 b．两种颜色月季花树高度的有关统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 红色 142 140 m 黄色 142 n 144 请根据上述信息回答下列问题： (1)填空______，______； (2)在这两组花树中，高度的整齐度更好的是______（填“红色”或“黄色”）； (3)根据造型设计，现要从这两种颜色的花树中各选择10棵，使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近，且方差都尽可能小．若黄色花树去掉了高度为和的两棵，则红色花树应去掉高度为多少的两棵？说明理由． 【答案】(1)140，144 (2)红色 (3)红色花树应去掉高度为和的两棵，理由见解析 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数，方差等，根据题中得到正确的数据是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可； （2）从方差进行分析即可得出答案； （3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案． 【详解】（1）12棵红色的月季花树中高度为的数量最多 ∴； 12棵黄色的月季花树中高度在第6和第7的为144和144 ∴中位数； （2）红色的方差为黄色的方差为∵ ∴高度的整齐度更好的是红色； （3）因为原来两种颜色花树高度的平均数相同，要使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近， 所以应去掉的红色花树中两棵树的高度和尽可能接近． 又因为要使方差尽可能小， 所以应去掉离平均数较远的两棵， 所以应选择去掉和的两棵． ( 题型0 3 )求概率 1．（2025·湖北十堰·三模）下列事件是随机事件的是（    ） A．平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 D．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：A、平面内，过圆内一点的直线与圆相交，这是必然事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是，这是不可能事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯，这是随机事件，符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8，这是不可能事件，不符合题意； 故选；C． 2．（2025·湖南怀化·三模）下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，根据事件的分类，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； 、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意； 、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意； 、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意； 故选：． 3．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：，，则y随x的增大而增大， ，，则y随x的增大而减小， ，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种， ∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是． 故答案为：． 4．（2025·江苏盐城·三模）盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． (1)求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 (2)小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择游览同一景点的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个景观，且每个景观被选择的概率相同， ∴丹顶鹤自然保护区被选中的概率为； （2）解：列表如下： 小盐小城 由表格可知， 一共有9种等可能性的结果数，其中两人选择游览同一景点的结果数有3种， ∴两人选择游览同一景点的概率为． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）一个盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率计算；根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：2个白球、5个红球和8个黄球，总数为：， ∵红球有5个， ∴红球的概率为：， 故答案为：． 6．（2025·河南信阳·三模）三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据相关运算法则计算判断，记，这3张卡片分别为，列表得出所有等可能的结果数，以及抽取两张卡片上整式运算都正确的结果数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：，3个整式运算中正确的有，两个， 记，这3张卡片分别为， 根据题意列表如下： A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 由表中数据可知，总共有中情况，其中抽取两张卡片上整式运算都正确的有两种情况， 任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，列表法与树状图求概率，熟练掌握相关运算法则，列表法与树状图法求概率，以及概率公式是解答本题的关键． 7．（2025·河北邢台·三模）在正方形网格中已有个位置放入了涂色的方块，已知方块与正方形网格中的小正方形的边长相等，将方块、随机放入网格，已知只能放在位置、、、中的一个位置，只能放在位置、、、中的一个位置，根据方块、的位置不同，所有涂色的个方块组成不同的图案． (1)固定方块在位置上，随机移动方块，求个方块组成的图案是轴对称图形的概率； (2)同时移动方块、方块， 用画树状图或列表的方法求6个方块组成轴对称图形的概率； 直接写出移动方块、方块后的个方块组成的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表法求概率．解决本题的关键是用列表法把方块、的所有可能性表示出来，再找出符合要求的位置出现的次数． 固定方块在位置上，随机移动方块，共有四个位置可放，其中使个涂色方块组成轴对称图形的位置有位置和，所以组成轴对称图形的概率是； 列表把所有的情况都表示出来，共有个等可能结果，其中结果为轴对称图形的结果共种结果，所以概率为；其中结果既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有种，所以概率是. 【详解】（1）解：固定方块在位置上，随机移动方块，共有四个位置可放， 其中使个涂色方块组成轴对称图形的位置有位置和， 成轴对称图； （2）解：同时移动方块、方块， 列表表示移动结果如下： 1 2 3 4 由表可知，共有个等可能结果， 其中结果为轴对称图形的结果是：，，，，，共种结果， 成轴对称图形， 其中结果既是轴对称图形又是中心对称图形的结果是和 既是轴对称图形又是中心对称图形． 8．（2025·上海奉贤·三模）布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率．根据概率的概念建立等量关系，解方程即可． 【详解】解：设布袋中有n个白球， 根据题意，得， 解得：， 则布袋中白球有4个； 故答案为：4． 9．（2025·山东济南·三模）如图，在扇形中，，．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和扇形的面积，分别表示出扇形和扇形的面积，再根据几何概率的概念求值即可． 【详解】解：扇形的面积：； 扇形的面积：． ∴点D落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 10．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【详解】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故选：B． 11．（2025·山东济南·三模）如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何概率；求出黑色区域面积占整个面积的比即可． 【详解】解：镖落在黑色区域的概率是； 故答案为：． 12．（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 13．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 14．（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 【答案】不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了列表法求概率，列表可知共有个等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，指针两次都落在白色区域的情况有种，再通过概率公式求出概率，最后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：不公平，理由如下，列表如下： 第二次转第一次转                               由表可知，共有种等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，分别为，，，，， ∴小王胜的概率为， ∵指针两次都落在白色区域的情况有种，分别为，，，， ∴小吴胜的概率为， ∵， ∴这个规则不公平． 15．（2025·河南信阳·三模）“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏的列出所有可能的结果，熟练掌握求概率的公式是解题关键． 将3张卡片分别记为A、B、C，然后利用列举法得出所有可能结果，再得出满足条件的结果，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将3张卡片分别记为A、B、C， 抽取的结果共有：，6种， 其中 “国家博物馆”排在第二目的地的有2种， ∴“国家博物馆”排在第二目的地的概率是． 故选：B． 16．（2025·安徽合肥·三模）我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“”型数，如586，352等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先列举出所有能组成的三位数，再找到能组成的“A”型数个数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：2，3，4这三个数可以组成的三位数有，共6个，其中是“A”型数的有，共2个， ∴从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为， 故选：C． 17．（2025·山东聊城·三模）某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有等可能性的结果数，再找到篮球、花样跳绳都在其中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，有以下选择： 选择篮球、足球、花样跳绳，选择篮球、足球、踢毽子，选择篮球、花样跳绳、踢毽子，选择足球、花样跳绳、踢毽子， 一共有4种选择，其中篮球、花样跳绳都在其中的有两种选择， ∴篮球、花样跳绳都在其中的概率为， 故答案：． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）在数学活动课上，老师将6种生活现象制成下图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列表法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．列出所有情况再根据概率公式求解即可． 【详解】解：把第一组卡片依次记为，第二组卡片依次记为，其中B（酒精燃烧）、C（铁棒生锈）和E（牛奶变质）为化学变化， 从每组中随机抽取一张的可能结果为，，，，，，，共9种等可能结果， 其中符合题意的结果数为2，即（）和，故所求概率为． 故选：A． 19．（2025·河南开封·三模）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 【答案】 【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可． 【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种， 其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为． 故答案为：． 20．（2025·安徽六安·三模）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂） (1)小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率； (2)小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值． 【答案】(1) (2)要使平衡情况有3种，的值为 【分析】本题考查的是利用列表法或画树状图法求解随机事件的概率； （1）先画树状图，得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．结合杠杆平衡的概率为，再分类讨论即可. 【详解】（1）解：画树状图如下： 从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果． 根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡． 所以杠杆平衡的情况有：左侧点，右侧点；左侧点，右侧点；左侧点，右侧点，共3种．此时杠杆恰好平衡的概率； （2）解：左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果．设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即． ∵杠杆平衡的概率为， 由概率公式可知平衡的情况数为种． 分情况讨论求出的值： 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，； 当米，米时，． 要使平衡情况有3种，的值为． 21．（2025·安徽池州·三模）电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出三道题的推送顺序的结果，再根据概率计算公式分别求出两人做容易题的概率，以及他俩至少有1人做容易题的概率，据此可得答案． 【详解】解：∵三道题的推送顺序的结果为：（难、中、易），（难、易、中），（中、难、易），（中、易、难），（易、难、中），（易、中、难）， ∴明明做到容易题有2种结果，慧慧做到容易题的结果有3种 ∴明明做到容易题的概率，慧慧做到容易题的概率； ∵明明和慧慧两人中，至少有一人做到容易题的结果有5种， ∴他俩至少有1人做到容易题的概率． 故选B． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）一个布袋里装有2个红球，3个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数是解答本题的关键． 先画树状图展示所有20 种等可能的结果数，再找出两次均摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红1 红2 白1 白2 白3 红1 红2，红1 白1，红1 白2，红1 白3，红1 红2 红1，红2 白1，红2 白2，红2 白3，红2 白1 红1，白1 红2，白1 白2，白1 白3，白1 白2 红1，白2 红2，白2 白1，白2 白3，白2 白3 红1，白3 红2，白3 白1，白3 白2，白3 摸球的结果共有 20种等可能结果，其中两次均摸到红球的有 2 种结果， 所以两次摸出的球都是红球的概率是． 故答案为：． 23．（2025·云南昆明·三模）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 ； (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算公式和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接根据概率公式进行计算即可． （2）先根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从四个比赛项目中抽取1个有4种等可能结果，其中恰好抽中“三字经”的只有1种结果， 恰好抽中“三字经”的概率是； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中都没有抽到“论语”的有6种结果， 都没有抽到“论语”的概率为． ( 题型0 4 )统计与概率综合 1．（2025·山东济宁·三模）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为______度，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数： (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 【答案】(1)80；72 (2)估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人； (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以C组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中恰好选中同一年级两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取了（名）． C组中八年级的学生人数为（人）， 扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（人） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人； （3）解：将七年级的2名同学分别记为甲、乙，八年级的2名同学分别记为丙、丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中同一年级两名同学的情况有4种， ∴P恰好选中同一年级两名同学的概率． 2．（2025·河北唐山·三模）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)图中的度数是多少度？并把图条形统计图补充完整； (2)该校九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为多少人； (3)测试老师想从位同学（分别记为、、、，其中为小亮）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小亮的概率． 【答案】(1)，见解析； (2)不及格的人数约有人； (3)． 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用树状图法求概率，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据级的人数是，所占的百分比是，据此即可求得总人数，利用乘以对应的百分比即可求得的值，然后利用百分比的意义求得级的人数，进而补全条形图； （）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案； （）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（人），故本次抽样测试的学生人数是40人； 的度数是，级人数为（人）， 把条形统计图补充完整，如图所示： （2）解：（人）， 故不及格的人数约有人； （3）解：根据题意画树状图如下： 共有种情况，选中小亮的有种， ∴选中小亮的概率． 3．（2025·福建福州·三模）某学校举行了以“美丽鼓楼”为主题的演讲比赛．赛后组委会整理参赛同学成绩，将成绩按分数段分为四组，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．来自公众号勤学教室请根据图表提供的信息，解答下列问题： 组别 成绩（分） 频数（人） 百分比 A 8 B C 16 D 4    (1)①表中______，______； ②补全频数分布直方图： (2)若用扇形统计图描述成绩分布情况，求B组所对应扇形的圆心角的度数； (3)比赛结果显示，成绩不低于90分的4名同学中有1名男生和3名女生，学校从这4名同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率（用列表或树状图法）． 【答案】(1)①12，40；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①先根据频数分布表求出总数，再求出a、b的值即可； ②根据求出b的值补全频数分布直方图即可； （2）用乘以B组的百分比，即可求出B组所对应扇形的圆心角的度数； （3）先列表格，然后根据概率公式求出结果即可； 【详解】（1）解：①总数为， ， ， ∴； ②补全频数分布直方图，如图所示：    （2）解：小组所占的百分比为， 对应扇形的圆心角的度数； （3）解：用、表示男生，用、表示女生，列表得： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的有6种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，画树状图或列表求概率，求扇形统计图的圆心角，解题的关键是熟练掌握统计图的特点． 4．（2025·湖南邵阳·三模）为培养学生的AI素养，某校采用随机抽样调查，研究学生对人工智能知识的了解程度，并根据调查数据绘制成以下扇形统计图和有待完成的条形统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角为______度； (2)请补全条形统计图； (3)若该学校共有学生2000人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中对人工智能知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； (4)若从对人工智能知识达到“了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加市级人工智能知识竞赛，请用画树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60， (2)见解析 (3)1500人 (4) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由“了解”的有15人，占，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得“不了解”的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的结果，再利用概率公式求得答案． 【详解】（1）解：∵“了解”的有15人，占， ∴接受问卷调查的学生共有：（人）， ∴扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：60，； （2）解：“不了解”的人数：（人）； 补全条形统计图得： （3）解：（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1500人． （4）解：画树状图得： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的结果有8种， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为． 5．（2025·江苏盐城·三模）中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 (1)请写出统计表中a，b的值： _____， _____； (2)已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ (3)小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 【答案】(1)，10 (2)估计最常使用“”的同学约有180名 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答； （2）用学生数乘以所占的比例即可解答； （3）先画树状图得所有等可能结果数以及恰好是和的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查学生数为：， 所以使用“”的同学的所占百分比为，即； “豆包”使用的学生数为：位，即． 故答案为：，． （2）解：（人）． 答：最常使用“”的同学有180位． （3）解：根据题意画树状图如下： 根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是和的结果数为2． ． 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$