3 第1章 三角形的初步知识-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 一 部 分 　 夯 实 基 础 三、八年级上册分章复习 第１章　三角形的初步知识 １．三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 次相接组成的图形叫做三角形． 三角形有三条边、三个内角、三个顶点． 组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两 边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边 的公共端点是三角形的顶点．三角形 ABC 用符号表示为△ABC,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示, AC 可用b表示,BC 可用a 表示． 注意:(１)三条线段要不在同一直线上, 且首尾顺次相接; (２)三角形是一个封闭的图形; (３)△ABC 是三角形ABC 的符号标记, 单独的△没有意义． ２．三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任 意两边之差小于第三边． 注意:(１)三边关系的依据是:两点之间, 线段最短; (２)围成三角形的条件是任意两边之和 大于第三边． ３．三角形的中线、角平分线、高线 (１)三角形的中线 三角形中,连 接 一 个 顶点和它对边中点的线段． 表示 法:如 图．①AD 是△ABC的BC 边上的中线． ②BD＝DC＝ １ ２BC． 注意:a．三角形的中线是线段; b．三角形三条中线全在三角形的内部; c．三 角 形 三 条 中 线 交 于 三 角 形 内 部 一点; d．中线把三角形分成两个面积相等的 三角形． (２)三角形的角平分线 三角形一个内 角 的 平分线与它的对边相交, 这个角的顶点与交点之 间的线段． 表示法:如图．①AD 是△ABC的∠BAC 的平分线． ②∠１＝∠２＝ １ ２∠BAC． 注意:a．三角形的角平分线是线段; b．三角形三条角平分线全在三角形的 内部; c．三角形三条角平分线交于三角形内部 一点; d．用量角器画三角形的角平分线． (３)三角形的高线 从三角形的一个顶点 向它的对边所在的直线作 垂线,顶点和垂足之间的 线段． 表示法:如图．①AD 是△ABC 的BC 边上 的高线． ②AD⊥BC 于D． ５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 ③∠ADB＝∠ADC＝９０°． 注意:a．三角形的高线是线段; b．锐角三角形三条高线全在三角形的 内部,直角三角形有两条高线是边,钝角三角 形有两条高线在三角形的外部; c．三角形三条高线所在直线交于一点． ４．全等图形 (１)能够完全重合的图形叫做全等图形． (２)特征:形状、大小都相等． ５．全等三角形 (１)两个能重合的三角形叫做全等三 角形． (２)性质:全等三角形的对应边相等、对 应角相等． ６．三角形全等的判定 ①三边对应相等(SSS) ②两边及夹角对应相等(SAS) ③两角及夹边对应相等(ASA) ④两角及一角对边对应相等(AAS) 【例１】　(泰安中考题)如图,把一直尺放置 在一个三角形纸片上,则下列结论正确的是 (　　) A．∠１＋∠６＞１８０° B．∠２＋∠５＜１８０° C．∠３＋∠４＜１８０° D．∠３＋∠７＞１８０° 【解题思路】　由直尺的两边互相平行,根据 平行线的性质可得到相等的角,并结合对顶 角的性质等知识通过等角代换,把各选项中 的两个角转化为同一个三角形的内角或外 角,然后结合三角形的内角和定理、三角形外 角的性质等知识进行分析、判断． 【解答过程】　解:如图所示,由于直尺的两边 互相平行,则AB∥CD,从而可知∠２＝∠７, ∠３＝∠５,∠８＝∠４,∠３＋∠４＝１８０°,由此 可直接判断选项C错误; ∵∠６＝∠４,∴∠８＝∠６,∴∠１＋∠６ ＝∠１＋∠８．又∵∠１＋∠８＋∠９＝１８０°,∴ ∠１＋∠８＜１８０°,则∠１＋∠６＜１８０°,故选项 A错误; ∵∠２＋∠５＝∠２＋∠３＝∠９＋∠８＋ ∠３＝∠９＋１８０°,∴∠２＋∠５＝∠２＋∠３＞ １８０°,故选项B错误; ∵∠３＋∠７＝∠２＋∠３＞１８０°,可知选 项 D正确．故选择 D． 【例２】　(邵阳中考题)如图,在△ABC 中, ∠B＝４６°,∠C＝５４°,AD 平分∠BAC,交 BC 于D,DE∥AB,交AC 于E,则∠ADE 的大小是 (　　) A．４５° B．５４° C．４０° D．５０° 【解题思路】　先根据三角形内角和定理求出 ∠BAC 的度数,再根据角平分线的性质求得 ∠BAD 的度数,最后根据平行线的性质求 ６ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 得∠ADE 的度数． 【解答过程】　解:∵∠B＝４６°,∠C＝５４°,∴ ∠BAC＝８０°,∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD ＝ １ ２∠BAC＝４０° ,∵DE∥AB,∴∠ADE＝ ∠BAD＝４０°,故选择C． 【例３】　(南昌中考题)如图,AB∥DE,AC ∥DF,AC＝DF,不能判断△ABC≌△DEF 的是 (　　) A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC 【解题思路】　由已知条件可得两个三角形全 等具备了一边和一角相等两个条件,再结合 备选项中的条件,运用全等三角形的判定定 理进行判别即可． 【解答过程】　 解:∵AB∥DE,AC∥DF, ∴∠A＝∠D．又AC＝DF,当AB＝DE 时, △ABC≌△DEF(SAS);当∠B＝∠E 时, △ABC≌△DEF(AAS);当EF＝BC 时,无 法判定两个三角形全等;当EF∥BC 时,又 AB∥DE,可 得 ∠B ＝ ∠E,则 △ABC ≌ △DEF(AAS),故选择C． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是选 C,没有理解“SSA”此判定方法对一般三角 形不成立． 【方法规律】　当题目中已知两边“SS”时,根 据三角形全等的判定条件,可选择“SAS”或 “SSS”进一步探索推理的思路;若已知一边 一角“SA”时,可根据题意再补上一角或另一 边,应用“SAS”或“ASA”或“AAS”进行说 理;若已知两角“AA”时,则应补上一边,利 用“AAS”或“ASA”进行推理．总之,应根据 具体条件灵活选择适当的判定方法． 一、填空题 １．三角形的三边长分别为５,１＋２x,８, 则x 的取值范围是　　　　． ２．四条线段的长分别为 ５cm,６cm, ８cm,１３cm,以其中任意三条线段为边可以 构成　　　　个三角形． ３．如图是一块三角形木板的残余部分, 量得∠A＝１０５°,∠B＝３５°,则这块三角形木 板缺少的角的度数是　　　　． ４．如图,在△ABC 中,∠C＝９０°,AD 平分 ∠BAC,AB＝５,CD＝２,则△ABD 的面积是 　　　　． 二、选择题 ５．以下列各组线段为边,能组成三角形 的是 (　　) A．２cm,３cm,５cm B．５cm,６cm,１０cm C．１cm,１cm,３cm D．３cm,４cm,９cm ６．等腰三角形的一边长等于４,一边长 等于９,则它的周长是 (　　) A．１７ B．２２ C．１７或２２ D．１３ ７．适合条件 ∠A＝ １ ２∠B＝ １ ３∠C 的 ７ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 △ABC 是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ８．已知等腰三角形的一个角为７５°,则 其顶角为 (　　) A．３０° B．７５° C．１０５° D．３０°或７５° ９．下列说法:①形状相同的图形是全等 图形;②全等图形的大小相同,形状也相同; ③全等三角形的面积相等;④面积相等的两 个三角形全等;⑤若△ABC≌△A１B１C１, △A１ B１ C１ ≌ △A２B２C２,则 △ABC ≌ △A２B２C２．其中正确的说法有 (　　) A．２个 B．３个 C．４个 D．５个 １０．在 △ABC 和 △A′B′C′中,AB ＝ A′B′,∠B＝∠B′,补充条件后仍不一定能 保证△ABC≌△A′B′C′,则补充的这个条 件是　 (　　) A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′ D．∠C＝∠C′ 三、解答题 １１．如图,在△ABC 中,∠ABC＝４０°, ∠ACB＝７０°,AD 是BC 边上的高,AE 平 分∠BAC． (１)求∠BAE 的度数; (２)求∠DAE 的度数． １．如图所示,延长△ABC 的中线AD 到 点E,使DE＝AD,连接BE,EC,那么在四 边形 ABEC 中共有 　 　 　 　 对全等的三 角形． ２．如图,某同学把一块三角形状的玻璃 打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完 全一样的玻璃,那么最省事的方法是 (　　) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 ３．为了测量河两岸相对点A,B 的距离, 小明先在AB 的垂线BF 上取两点C,D,使 CD＝BC,再定出BF 的垂线DE,使A,C,E 在同 一 条 直 线 上 (如 图 所 示),可 以 证 明 △EDC≌△ABC,得ED＝AB,因此测得ED 的长就是AB 的长,判定△EDC≌△ABC 的 理由是 (　　) A．SAS B．ASA C．SSS D．HL ４．如图,O 为码头,A,B 两个灯塔与码 头的距离相等,OA,OB 为海岸线,一轮船从 码头开出,计划沿∠AOB 的平分线航行,航 行途中,测得轮船与灯塔A,B 的距离相等, ８ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 此时轮船有没有偏离航线? 画出图形并说明 你的理由． １．(黔西南州中考题)如图,已知AB＝ AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 △ABC≌△ADC 的是 (　　) A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝９０° ２．(深 圳 中 考 题 )如 图,△ABC 和 △DEF 中,AB＝DE,∠B＝∠DEF,添加 下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF (　　) A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F ３．(西宁中考题)课间,小明拿着老师的 等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如 图所示． (１)求证:△ADC≌△CEB; (２)从三角板的刻度可知AC＝２５cm, 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小 (每块砖的厚度相等)． ４．(龙岩中考题)如图,E,F 分别是等边 三角形ABC 的边AB,AC 上的点,且BE＝ AF,CE,BF 交于点P． (１)求证:CE＝BF; (２)求∠BPC 的度数． ９ 暑假大串联　八年级数学(浙江教育教材适用) 部分参考答案 第一部分　夯实基础 一、七年级上册过关检测 一、１．０,±１,±２　２．２　３．１１m＋１　４．１５０°　５．１．５×１０８　６．７８　１５　７． ４ ３　１　８．５０a 二、９．B　１０．D　１１．A　１２．C　１３．C　１４．B 三、１５．(１)－ １ ２　 (２)－１　(３)４－ ５　１６．(１)３　５　(２)８　３　(３)a－b＋c　１７．１０２００ 二、七年级下册过关检测 一、１．２＜x≤５　２．６０°　３．６　４．３５°　５．２００９　６．０或４或６　７．２０　８．１３７．５ 二、９．D　１０．A　１１．D　１２．B　１３．B　１４．C 三、１５．(１) x＝２ y＝１{ 　(２)x＝ ２ ３ １６．解:原式＝xy(x－y)２,当xy＝３,x－y＝－１时,原式＝３． １７．解:(１)４８x＋２４　(２)根据题意得:６０(x－３)＋３６＜４８x＋２４＜６０(x－２),解得１２＜x ＜１４,∵x 取整数,∴x＝１３,此时,４８x＋２４＝４８×１３＋２４＝６４８(人)．故这两个年级学生的总 人数是６４８人． １８．解:设A 种糖果购进x 千克,则B 种糖果购进３x 千克,根据题意列方程,得: ４８０ x －２＝ １２６０ ３x 解得x＝３０． 经检验,x＝３０是原方程的解,且符合题意． ３x＝９０． 答:A 种糖果购进３０千克,B 种糖果购进９０千克． 三、八年级上册分章复习 第１章　三角形的初步知识 [基础过关] 一、１．１＜x＜６　２．２　３．４０°　４．５ 二、５．B　６．B　７．B　８．D　９．B　１０．C 三、１１．解:(１)∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝１８０°,∠ABC＝４０°,∠ACB＝７０°, ∴∠BAC＝１８０°－４０°－７０°＝７０°, ∵AE 平分∠BAC, ∴∠BAE＝ １ ２∠BAC＝３５° ; (２)∵AD 是BC 边上的高, ∴∠ADB＝９０°, 􀅰１􀅰 ∴∠B＋∠BAD＝９０°, ∴∠BAD＝９０°－∠B＝９０°－４０°＝５０°, ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝５０°－３５°＝１５°． [综合提升] １．４　２．C　３．B ４．解:此时轮船没有偏离航线．理由:设轮船在C 处,如图所示,航行时C 与A,B 的距离 相等,即CA＝CB,OC＝OC．已知AO＝BO,由“SSS”可证明△AOC≌△BOC,所以∠AOC＝ ∠BOC,即没偏离航线． [中考热身] １．C　２．C ３．(１)证明:由题意,得AC＝CB,∠ACB＝９０°,AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC＝∠CEB＝９０°, ∴∠ACD＋∠ECB＝９０°,∠ACD＋∠DAC＝９０°, ∴∠ECB＝∠DAC． 在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC＝∠CEB ∠DAC＝∠ECB AC＝CB ì î í ïï ïï , ∴△ADC≌△CEB(AAS)． (２)解:由题意,得AD＝４a,BE＝３a, ∵△ADC≌△CEB, ∴CD＝BE＝３a, 在Rt△ACD 中,根据勾股定理,得AD２＋CD２＝AC２, ∴(４a)２＋(３a)２＝２５２, 解得a＝５． 答:砌墙砖块的厚度a 为５cm． ４．(１)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB＝BC,∠A＝∠EBC,∵BE＝AF,∴△BCE ≌△ABF,∴CE＝BF;(２)解:由(１)得△BCE≌△ABF,∴∠PCB＝∠ABF,∴∠PCB＋ ∠PBC＝∠ABF＋∠PBC＝∠EBC＝６０°,∵∠CPB＋∠PCB＋∠PBC＝１８０°,∴∠BPC＝ １８０°－(∠PCB＋∠PBC)＝１８０°－６０°＝１２０°． 第２章　特殊三角形 [基础过关] 一、１．３６°　２．３　３．４　４．６５°　５．２ 二、６．C　７．D　８．C　９．C 三、１０．BD＝CD 或BE＝CF．说明△BDE≌△CDF． [综合提升] １．６cm 或１４cm　２．４３cm２ 􀅰２􀅰