2025年福建省中考数学模拟试卷

2025年福建省中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列.数据显示，DeepSeek发布20天后，其日活跃用户已达22150000人，将数据22150000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.一个由三棱柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.如图，，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.灯彩泉州花灯是国家级非物质文化遗产之一，泉州花灯起于唐代，盛于宋元.在泉州举办的元宵花灯展览筹备现场，工作人员准备了4盏不同主题的泉州花灯.观看灯展时，小闽和小越分别从这4盏花灯中选择了自己最喜爱的一盏花灯，则他们最喜爱的花灯是同一盏的概率为(    ) A. B. C. D. 7.古代建筑中，榫ǔ卯ǎ结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，AB与相切于点C，，延长AO交于点D，连接CD，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，有一块不规则的四边形木板ABCD，，，小伟先沿过点A与AB垂直的线裁剪，与CD的交点记为点E，再沿过点E与BC垂直的线裁剪，与BC交于点F，若裁剪下的与恰好可以拼成一个矩形，则木板ABCD的周长为(    ) A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 10.已知二次函数的图象经过，两点，则下列说法错误的是(    ) A. 该函数图象的对称轴为直线 B. 若为该函数图象上的点，当时，一定成立 C. 函数在处取得最值 D. 无论m取何值，均满足 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.分解因式：______. 12.某校准备组织七年级500名学生前往两岸青少年研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果绘制成如下统计图，估计七年级愿意去“五夫朱子文化园”的学生人数为______人. 13.如图，的边AC在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是______. 14.已知点，在同一象限，且是反比例函数图象上的两点，已知，请写出一个符合要求的k的整数值为______. 15.如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则______. 16.在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀.如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为3m，则灯带CD的长约为______结果精确到，参考数据： 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 如图，已知四边形ABCD是矩形，连接对角线AC，过点B作于点E，过点D作于点求证： 19.本小题8分 先化简，再求值：，其中 20.本小题8分 已知：，求证： 21.本小题8分 【项目背景】 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力.通过科学分析，为优化种植方案提供依据. 【数据收集与整理】 从两种小麦试验田中各随机抽取16株麦苗，测量苗高单位：，具体数据如下： 甲种小麦苗高：12，11，10，13，8，15，10，14，11，10，18，16，9，13，12，8 乙种小麦苗高：15，8，13，9，14，10，14，15，8，16，11，16，12，15，17，7 将数据分组整理如下： 表1 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 3 4 7 3 4 6 2 3 表2 统计量 甲种小麦 乙种小麦 平均数 a 中位数 b 众数 10 c 方差 10 【任务要求】 任务1：基础统计量计算 计算：______，______，______； 任务2：统计结论验证 基于数据验证以下结论的正确性______；填写正确的结论序号 ①抽取的甲种小麦的苗高有一半超过11cm； ②抽取的两种小麦的苗高最大值差异显著； ③若乙种小麦大约有640株，则苗高不低于16cm的株数约为120株. 任务3：种植决策建议 结合以下要求，给出种植建议并说明理由： 稳定性优先：选择方差更小的品种； 产量潜力：选择优质麦苗占比更高的品种. 22.本小题10分 如图，AC是正方形ABCD的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到 求证：B，D，E三点共线； 连接BF，交AE于点G，求的度数. 23.本小题10分 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线 求直线BC的函数表达式； 是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段PQ取得最大值时，求点P的坐标. 24.本小题12分 综合与实践 课题：借助并联电路，探究不等式或 已知：如图，在并联电路中，并联后的总电阻计算公式为 验证：在一个电压为12V的电路中，只有两个并联的可变电阻，，调节可变电阻并测得对应的电流，数据如下： 电阻单位： 电流单位： 电阻单位： 电流单位： 单独运行不并联 1 12 3 4 2 6 4 3 并联 18 7 若，，则并联后的电阻为______，电流为______； 发现：两个电阻并联后的电流与其中每一个电阻单独运行时相比，电路中的电流均变大，这意味着两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小. 请利用数学知识证明上述发现； 探究： 有同学发现，这一现象，也可以借助几何图形来解释，请你设计方案，并说明理由提示：可考虑借助图形面积来设计方案 25.本小题14分 如图，AB是的直径，CD是的弦，于点E，连接AC，AD，CO，并延长CO分别交和AD于点F，G，连接 求证：； 求证：； 连接BD，记BF分别交AD，CD于点M，N，若，，求GM的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：的相反数是， 故选： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.【答案】C  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】C  【解析】解：根据俯视图是从上面看到的图形可得： 故选： 根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 本题考查简单组合体的三视图，注重培养学生的空间想象能力，体现了直观想象的核心素养，正确记忆修改知识点是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：，， 两直线平行，内错角相等， ，， ， 即的度数为 故选： 先证明，再证明，从而可得答案． 本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 5.【答案】B  【解析】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项的运算法则分别判断即可． 本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：设4盏不同主题的泉州花灯为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可得：他们最喜爱的花灯是同一盏的概率 故选： 根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：由题意可得， ， 故选： 设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 8.【答案】C  【解析】解：AB与相切于点C，，，如图，连接OC， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选： 连接OC，根据切线的性质得出，则有，由得到，再利用直角三角形的性质即可求解． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：由题意可得：， ，，， 设，则， ， ， 解得：， ，， ， 四边形ABFE是矩形， ，， ， 木板ABCD的周长 故选： 根据题意可得，推出，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出x的值，再证明四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质求出AB、BF的长，再利用周长公式即可求解． 本题考查了勾股定理、矩形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：由条件可知该函数图象的对称轴为直线，故A选项说法正确，不符合题意； 函数在处取得最值，故C选项说法正确，不符合题意； 对称轴， ， 代入到，得， ，故D选项说法正确，不符合题意； 若，当时，y随x的增大而减小；若，当时，y随x的增大而增大； 若为该函数图象上的点，当时，不一定成立，故B选项说法错误，符合题意； 故选： 根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】 解：， ， 故答案为： 12.【答案】200  【解析】解：人， 故选： 由500乘以七年级愿意去“五夫朱子文化园”研学的学生人数的百分比即可得到答案． 本题考查的是利用样本估计总体，正确记忆修改知识点是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：，，， ， ， ， ， 故答案为： ，再进一步解答即可． 本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解是解题关键． 14.【答案】答案不唯一  【解析】解：由条件可知，，， ， ， ， 又，， ， 解得：， 符合要求的k的整数值为答案不唯一 故答案为：答案不唯一 根据题意得，，，代入整理得到，求出k的范围，即可解答． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15.【答案】2  【解析】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去， ， 故答案为： 根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出x的值，求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理的证明、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，作于点E，作于点F， 由题意得，，，， 根据光的反射可得，， 在和中， ， ≌， ， 同理可得：， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 灯带CD的长约为 故答案为： 作于点E，作于点F，由题意得，，，根据光的反射得到，，推出，，再解和求出OE，OF的长，得出OC，OD的长，再利用即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，添加垂线构造直角三角形是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：原式 根据立方根、零指数幂、绝对值的性质化简，再算加减即可． 本题考查了实数的运算、零指数幂、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 18.【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：四边形ABCD是矩形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 根据矩形性质的，，则，再根据即可依据“AAS”判定和全等，然后根据再全等三角形的性质即可得出结论． 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19.【答案】解：原式 ； 当时， 原式  【解析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握以上知识点是关键． 20.【答案】证明见解析．  【解析】证明：由题意可得：， ， ， ， ， ， 由条件可得，即，再进一步解答即可． 本题考查的是完全平方公式的应用，因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 21.【答案】    15  ①③  【解析】解：任务1：根据平均数计算方法可知： 乙种小麦苗高的平均数 ， ， 将甲种小麦苗高从小到大顺序排列，中位数为第8位和第9位的平均数， ， 由数据得，乙种小麦苗高的众数为15cm， ， 综上所述，，， 故答案为：；；15； 任务2： 由条件可知抽取的甲种小麦的苗高有一半超过11cm，故①正确； 甲种最大值为18cm，乙种最大值为17cm， 抽取的两种小麦的苗高最大值差异不显著，故②错误； 若乙种小麦大约有640株，则苗高不低于16cm的株数约为株，故③正确； 基于数据结论正确的有①③． 故答案为：①③； 任务3： 甲的方差小于乙的方差，故甲种小麦的稳定性更优， 甲种小麦的优质麦苗占比为，乙种小麦的优质麦苗占比为，所以甲种小麦的产量潜力更高， 建议种植甲种小麦． 任务1：根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； 任务2：根据中位数的意义和用样本估计总体即可得出结论； 任务3：比较两种小麦的稳定性和产量潜力即可得出结论． 本题考查了求平均数、中位数、众数、用样本估计总体、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22.【答案】证明见解析；     【解析】证明：如图，连接DE，BD，CE， 将绕着点A逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 四边形ABCD是正方形， ，， 是AC的垂直平分线， ， ，D，E三点共线； 解：四边形ABCD是正方形， ，，， 由旋转可得：，，， ，， ， 如图，连接DE，BD，CE，证明为等边三角形，可得，证明，，可得DE是AC的垂直平分线，可得，进一步可得结论． 由旋转可得：，，，可得，，求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，添加合适的辅助线是解答本题的关键． 23.【答案】；    【解析】由题意可得： ， ， ， 令，则， 解得：，， ， 令时，， ， 设直线BC为， ， 解得：， 直线BC为； 如图，过P作轴交BC于H，连接PC，PB， 设，则， ， ， 当时，面积最大，而BC为定值， 此时PQ最大， 利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可； 如图，过P作轴交BC于H，连接PC，PB，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案． 本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 24.【答案】；10A；   见解析；   见解析．  【解析】总电阻计算公式求出并联后的电阻， ，， 并联后的电阻， 电流为， 并联后的电阻为，电流为 故答案为：； 证明：，， ，， 并联后电阻比它们各自的电阻均要小． 作矩形ABCD，使得，， 则矩形ABCD面积， ， ， 以AB为边作矩形ABFE，使得矩形ABFE面积为，则点E，F落在AD，BC上， ， ， 同理可证： 利用总电阻计算公式求出并联后的电阻，再利用电压除以并联后的电阻即可求出电流； 利用不等式的性质即可证明； 利用矩形的面积设计方案即可． 本题考查了不等式的应用、矩形的性质，理解题意是解题的关键． 25.【答案】见解析；   见解析；    【解析】证明：是的直径，CD是的弦， ， ， 又， ， ， ； 证明：是的直径，CD是的弦，于点E， ，， ，即， 由得，， ， 又， ∽， ， 解：AB是的直径，如图，作于点H，连接OM， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 是的高， ， ， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：， ， ，， ，， ∽， ，即， ， 在中，， ， 设，则，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ∽， ，即， 解得：， 利用等边对等角和平行线的判定即可证明； 利用垂径定理得到，推出，进而得到∽，即可证明； 作于点H，连接OM，由AB是的直径得出，通过解求出AB，AD的长，再利用等面积法求出DE的长，通过证明∽得到，在利用正切的定义得出，设，利用列出方程，解出x的值，求出AG的长，再证明∽求出AM的长，即可求出GM的长． 本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点，学会作垂线构造直角三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$