2025年福建省厦门市湖里区五缘实验学校中考数学模拟试卷

2025年福建省厦门市湖里区五缘实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025的倒数是(    ) A. B. 2025 C. D. 2.如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是(    ) A. B. C. D. 5.一元一次不等式组的解集为(    ) A. B. C. D. 6.如图，一束平行于主光轴图中的虚线的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完.”设梨有x个，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.某校秋季运动会裁判将18名三级跳远运动员的成绩录入电脑后，计算得出运动员成绩的平均数为米，方差为核对成绩时，发现3号运动员成绩应为米，错误输入为米，16号运动员成绩应为米，错误输入为米，更正后实际成绩的方差是，则(    ) A. B. C. D. 9.如图已知过外一点A向作两条割线分别交于点D，B和点E，C，其中，，经测量得知，则弧BC的度数不可能是(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象上有，两点.下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算的结果等于______. 12.如图，已知CD是的高线，且，，则______ 13.已知命题“若，则”是假命题，则c的值可以是______. 14.若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为______. 15.《墨子天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形EFGH，若AB：：2，则四边形EFGH的外接圆的半径为______. 16.如图，是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且，，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当最小时，则______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 如图，点C，E在线段BF上，，，，求证： 19.本小题8分 先化简，再求值：，其中 20.本小题8分 成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，每个成语都表示一定的意义，在语句中可承担主语、宾语、定语等成分.语文课上，老师组织“成语故事我会讲”活动，在黑板上写出了四个成语如图所示，并将分别写有字母A、B、C、D的四个小球除字母外其他均相同放入一个不透明的布袋中，参加活动的同学在布袋中随机摸出一个小球，然后将小球放回布袋搅匀，再讲出小球上对应字母的成语故事. 参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“刻舟求剑”是______事件；填“随机”“不可能”或“必然” 用列表或画树状图的方法，求参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“愚公移山”的概率. 21.本小题8分 如图，AB是的直径，BP是的切线，OP交于点 如图，作的角平分线，交BP于点要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； 在的条件下，若，求的长结果保留 22.本小题10分 【问题背景】小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有A、B两种农作物的相关信息如表： A作物 B作物 每平方米种植株数株 2 10 单株产量千克 经调研发现：种植A作物，每平方米每增加1株，A作物的单株产量就减少千克； 若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植. 【问题解决】种植A作物，设每平方米增加x株为正整数，用含x的代数式表示： ①每平方米有______株； ②单株产量为______千克. 要使A作物每平方产量达到千克，则每平方米A作物应种植多少株？ 设这100平方米的上地中有a平方米用来种植A作物，且要求每平方米种植A作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植10株B作物，当这100平方米的总产量不低于496千克时，求a的取值范围. 23.本小题10分 汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图：步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长度； ③后测量 … 如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位，，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题： 求充电站的宽MN的长； 该充电站有30个停车位，求QM的长参考数据：， 24.本小题12分 已知二次函数m：与一次函数n：， 求证：对任意的实数k，函数m与n的图象总有两个交点； 设m与n的图象相交于A，B两点，m的图象与y轴相交于点C，记与的面积分别为，为坐标原点，求证：总是定值； 对于二次函数m，是否存在实数a，b，使得当时，恰好有，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25.本小题14分 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、 如图1，求证：； 如图2，连接DM、DN，延长ND交BC于点H，若F为MN的中点， ⅰ求证：； ⅱ求的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据倒数的定义得2025的倒数为， 故选： 2.【答案】C  【解析】解：该立体图形的主视图是上下两层，上层1个正方形，下层3个正方形，上层正方形在最右边． 故选： 根据主视图是从正面看到的图形分析即可． 本题考查了几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：A、选项图形有3条对称轴，不符合题意； B、选项图形有4条对称轴，不符合题意； C、选项图形有2条对称轴，符合题意； D、选项图形有6条对称轴，不符合题意． 故选： 轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此确定对称轴即可求解． 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键． 5.【答案】D  【解析】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故选： 分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， 故选： 由平行线的性质推出，求出，由三角形的外角性质得到 本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到 7.【答案】B  【解析】解：设梨有x个，则人数可表示为或， 由题意可列方程 故选： 根据孩童人数不变列方程即可． 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键． 8.【答案】B  【解析】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为，实际的两个数的和为， 所以更正后实际成绩的平均数是x与原来平均数相同，方差变小， 所以， 故选： 根据算术平均数和方差的定义解答即可． 本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：连接CD，OB，OC，，， ， 由外角的性质可得，， ， 弧BC的度数最小为：， 不可能是， 故选： 连接CD，OB，OC，得到，由三角形外角的性质得到，继而得到，得出弧BC的度数不可能是，即可得到答案． 本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象上有，两点， 到对称轴的距离为2， A、当时，抛物线开口向上，到对称轴的距离小于2，则，故此选项错误； B、当时，抛物线开口向上，若时，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，则，故此选项错误； C、当时，抛物线开口向下，到对称轴的距离大于2，则，故此选项正确； D、当时，抛物线开口向上，到对称轴的距离大于2，则，故此选项错误； 故选： 得到抛物线的对称轴为直线，然后比较点A、点B离直线的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据幂的乘方法则求出即可． 本题考查了幂的乘方，能熟记幂的乘方法则是解此题的关键，注意：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 12.【答案】4  【解析】解：是的高线， ， ，， ， 故答案为： 根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：当，时，，即， 说明命题“如果，那么”是假命题， 所以c的值可以是等． 故答案为：答案不唯一 根据不等式的基本性质三判断即可． 本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14.【答案】  【解析】解：根据题意可得，， ， 故答案为： 根据题意可得，，代入代数式，即可求解． 本题考查了因式分解，代数式求值，反比例函数与一函数交点问题， 15.【答案】2  【解析】解：：：2， 正方形ABCD与正方形EFGH的相似比为3：2， 正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为9：4， 正方形ABCD的面积为18， 正方形EFGH的面积为8， 正方形EFGH的边长为 四边形EFGH的外接圆的直径为4， 四边形EFGH的外接圆的半径为 故答案为： 由题意得正方形ABCD与正方形EFGH的相似比为3：2，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为9：4，可得正方形EFGH的面积为8，则可得正方形EFGH的边长为，进而可得四边形EFGH的外接圆的直径为4，从而可得答案． 本题考查位似变换、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质、正方形的性质等相关知识点是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：过点A作于点H，连接AD， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形DEFG是矩形， ，，， ， 当且仅当A、G、F三点共线时，取得最小值为4， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 当最小时，则 故答案为 17.【答案】  【解析】解：原式 利用绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， 根据平行线的性质求出，根据线段的和差求出，利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质求出，再根据平行线的判定定理即可得证． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 19.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】先利用分母分式的加减法法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】随机．    【解析】解：由题意得，参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“刻舟求剑”是随机事件． 故答案为：随机． 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“愚公移山”的结果有：，，，，，，，共7种， 参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“愚公移山”的概率为 根据随机事件的定义可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“愚公移山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义、概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】见解析；    【解析】图形如图所示： 连接 是的切线， ， ， ，，， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长 根据要求作出图形即可； 连接CD，证明≌，推出，解直角三角形求出OB，可得结论． 本题考查作图-基本作图，圆周角定理，切线的性质，角平分线的定义，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】    【解析】①由题意，每平方米种植A作物的株数为原种植数2株加上增加的x株， 每平方米有株． 故答案为： ②由题意，单株产量原为千克，每增加1株减少千克， 单株产量为千克． 故答案为： 由题意，设每平方米增加x株， 总产量为 或 对应株数为6株或8株． 由题意，二次函数， 当时，A作物每平方米产量最大． 此时株数为7株，产量为千克/平方米． 又总产量为， 又， ①依据题意，由每平方米种植A作物的株数为原种植数2株加上增加的x株，从而可以判断得解； ②依据题意，由单株产量原为千克，每增加1株减少千克，从而可以判断得解； 依据题意，设每平方米增加x株，故总产量为，可得，从而可以判断得解； 依据题意，二次函数，则当时，A作物每平方米产量最大，故此时株数为7株，产量为千克/平方米，又总产量为，可得，进而可以判得解． 本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23.【答案】充电站的宽MN的长约为；   QM的长约为  【解析】四边形PQMN是矩形， ， 四边形KLRT是矩形， ， ， ， 在中，，， ， 答：充电站的宽MN的长约为； 四边形PQMN是矩形， ， ， 在中，， 由题意得，， 在中，， 该充电站有30个停车位， ， 答：QM的长约为 根据题意，结合图形，得到KT，TM的长，从而得到KM的长，在中求出MN，从而得到结果； 由题意，在中求出RM，在中求出BQ，即可得到QM的长，从而得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 24.【答案】解：联立方程， 消去y得 ， ， 对任意的实数k，函数m与n的图象总有两个交点； 设 ，， 则 ， 是方程  的两根， 由根与系数的关系知：， 令，则， ， ，  总是定值 ； 存在，理由如下： ， 当  时，y 有最大值 ， ，函数的对称轴为 ， 当  时， 函数值会随着 x 增大而增大， 把和代入二次函数得 ， 则 ， ，b 是方程  的两根且这两根均小于4， ，   【解析】把两函数联立得到一元二次方程，根据根的判别式即可求解； 设 ，，根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，再根据二次函数的解析式求出C点坐标，得到，再代入  即可求解； 先把二次函数化为顶点式，当  时，y 有最大值 ，根据当  时，恰好有 ，故 ，而函数的对称轴为 ，得到函数值会随着 x 增大而增大，把和代入二次函数，再根据根与系数的关系得到，故可求出  的值． 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用判别式、根与系数的关系是解题的关键． 25.【答案】见解析；   ⅰ见解析；   【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， 连接CF， 四边形ABCE沿直线CE折叠， ，， ， ， ， ； ⅰ证明：如图，连接CF， 四边形ABCD是正方形， ，， 四边形ABCE沿直线CE折叠， ，， ，， ， ≌， ， ， 是MN的中点， ， ， ， ， ， ， ； ⅱ解：如图2，连接CF，交DM于O， 设，则， 设， ，， ∽， ， ， ，，， 在中，， ， 舍去或， ，， 由知，， ， ，， ， ， 由知，， ， ， ， 四边形DQCF是平行四边形， ， 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理从而得出结论； 连接CF，可证得≌，从而，从而，可推出，从而，进一步得出结论； 连接CF，交DM于O，取AB的中点G，连接CG，EG，可推出，设，，则，，在中，由勾股定理列出，从而得出，可推出四边形DQCF是平行四边形，从而，进而得出结果． 本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$