第一章 集合综合测试-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第一章 集合综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 2．设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合为全集的非空真子集，且与不相等，若，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 7．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 8．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 13．已知集合，则中的元素个数为 ． 14．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 16．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 17．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 19．已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 2．设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：B. 4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 5．已知集合为全集的非空真子集，且与不相等，若，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件推得，画出韦恩图，根据各选项逐一判断即得. 【详解】由与不相等，且，可得，如图所示. 对于A,由图知，显然，如, 而,即A错误； 对于B，由图知，因，则成立，即B正确； 对于C，由图知，，如， 而，即C错误； 对于D，由可得，则，故D错误. 故选：B. 6．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 7．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 8．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 11．已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 13．已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的描述法写出集合的元素即可得解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 14．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 16．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 17．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 19．已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$