第07讲 第一、二章・查漏补缺与综合拔高难点巅峰突破（尖子生压轴题突破满分思维特训）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第07讲 第一、二章・查漏补缺与综合拔高难点巅峰突破 （尖子生压轴题突破满分思维特训） 【题型1 判断元素与集合的关系】 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 【题型3 求集合的子集与真子集】 【题型4 集合中的基本运算】 【题型5 容斥原理的应用】 【题型6 复杂型分类讨论】 【题型7 集合新定义综合】 【题型8 常用逻辑用语综合】 【题型1 判断元素与集合的关系】 例1．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 【变式1-2】设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 例2．1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 【变式2-1】已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）本题首先可代入，然后将不等式转化为，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据题意得出不等式组或，然后依次求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得或， 故集合. （2）因为且， 所以或， ，即，解得或， ，即，解得， 综上所述，或，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数的取值范围，考查分数不等式和高次不等式的解法，一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零，解本题时还应注意容易遗漏这个情况，是难题. 【变式2-2】已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 【答案】(1)A中其他所有元素为，，2 (2)0不是A中的元素，答案见解析 (3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解. （2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可. （3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可. 【详解】（1）由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． （3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由（2）知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【变式2-3】（24-25高一上·重庆·期中）设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】(1) (2)，，或， (3) 【分析】（1）代入，解方程求解可得； （2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，. （2）因为，则，即， 当2为方程的根时，则，解得； 当2不为方程的根时，则. 综上所述，，，或，. （3）， 若，， 则，又， 所以有，解得 验证：当时，， 不满足集合S恰有两个元素，故； 若，由， ， 则，又，则，又， 所以，即. 由，则，即，解得. 验证：当时， 也不满足集合S恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和2. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 【题型3 求集合的子集与真子集】 例3．已知集合其中，，其中则与的关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先任取，分同为奇数或同为偶数和一奇一偶两种情况向集合B进行变形，得到形式，说明同理任取，变形为说明得到. 【详解】任取 当同为奇数或同为偶数时， 当一奇一偶时， 因为所以， 所以 所以 任取， ， 所以 所以 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，还考查了转化化归分类的思想，属于难题. 【变式3-1】，非空集合，是的子集，且，使得都有，则满足条件的集合对共 对. 【答案】70 【分析】根据题意，按照集合A中元素的最大值分3种情况讨论，求出每种情况下集合对数量，由加法原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分3种情况讨论： ①A中最大的元素为2，此时或，共有2种情况，B只有1种情况，则此时集合对有对； ②A中最大的元素为3，此时或或或，A有4种情况，B有4-1=3种情况， 则此时集合对有对； ③A中最大的元素为4，此时或或或或或或或，A有8种情况，B有8-1=7种情况， 则此时集合对有对； 则符合题意为集合对有2+12+56 =70对， 故答案为：70. 【点睛】本题考查集合的子集，集合间的关系，属于较难题. 【变式3-2】设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有 种． 【答案】129 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，， ，，或，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ， ，， 是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 【变式3-3】若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 【变式3-4】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 【点睛】关键点点睛： 第二问①利用不完全归纳法总结出集合所有非空子集的元素和的总和的求法； 第二问②的关键是理解“交替和”的定义，探究出集合所有非空子集的交替和的总和的求法. 【题型4 集合中的基本运算】 例4．（多选）已知为全集，集合满足：为的非空子集，且．对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有（    ） A． B． C． D．不包含于 【答案】AD 【分析】由集合交、并、补的运算，逐项判断即可. 【详解】由，知错误； 当，有时，，满足条件，且，所以B不一定错误； 当时，，又，所以此时，所以C不一定错误； 因为，所以，所以，D错误． 故选:AD． 【变式4-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、 、、、、、、、、 、、，共个， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 【变式4-2】已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 【变式4-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据两集合区间长度相等，只需考虑其中一个端点是否在另一个集合内即可，依次逐项分析即可得解. 【详解】对A，因为集合的区间长度都为2，所以当集合B的左端点在集合A上时，满足题意，此时，即，故A正确； 对B，因为集合的区间长度都为2，所以只需满足，即时，则有且，故B正确； 对C，由于两集合区间长度相同，所以集合的右端点落在集合A上即可满足条件，所以正确，故C正确； 对D，当集合A区间的左端点大于集合B区间的右端点时，，不满足题意，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于发现两个集合的区间长度相同，所以满足题意的集合关系，转化为其中一个集合的端点在另一个集合上即可. 【变式4-4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 【题型5 容斥原理的应用】 例5．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 【变式5-1】有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A.    【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. 【变式5-2】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 【答案】B 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为， 喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，②+③+④得⑤，①⑤得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故选：B 【变式5-3】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 【变式5-4】某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 【答案】 160 290 【分析】根据题意画出Venn图，表示只去第一天的人，表示只去第二天的人，表示只去第三天的人.表示只去第一天与第二天的人，表示只去第一天与第三天的人，表示只去第二天与第三天的人，表示三天都去的人，要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，由此计算可得答案. 【详解】解：根据题意画出Venn图，如图所示： 表示只去第一天的人， 表示只去第二天的人， 表示只去第三天的人， 表示只去第一天与第二天的人， 表示只去第一天与第三天的人， 表示只去第二天与第三天的人， 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，，，∴，，，， ∴，， ∴，∴，， 则这三天参加活动的最少有：人. 故答案为：160，290. 【题型6 复杂型分类讨论】 例6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 【变式6-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 【变式6-2】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交集可知，解一元二次方程可得a的值，验证是否符合题意； （2）利用根与系数的关系即可求得答案. （3）由题意判断出，分类讨论B的情况，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以，即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且， 所以. （3）因为，且，故, 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上，. 【题型7 集合新定义综合】 例7．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)7 【分析】（1）根据连续生成数集的定义判断即可； （2）根据连续生成数集的定义判断即可； （3）先证是连续生成数集，进而，再证不是连续生成数集，即可求解正整数的最大值. 【详解】（1），， ∵，∴不是连续生成数集. （2）若为连续生成数集，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数集. （3）当时，，，，，，，，是连续生成数集，所以， ∵中至多有10个元素，∴， 假设是连续生成数集，不妨设 ， 当时，中至多有7个元素，不成立， 若，因为是中最小的元素，此时，不成立， 因此必有，为使，必有， 此时，，所以，， ∵中至多有10个元素，， ∴， ， 即不成立. ∴假设不成立，不是连续生成数集. 假设是连续生成数集，则是连续生成数集，矛盾， 所以假设不成立.结合（2）结论，可知的最大值为7. 【变式7-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【详解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 【变式7-3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：当时，． 【答案】(1)集合是“封闭集”， 集合不是“封闭集”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2）因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即① 所以当时，② 则①②为 也即，命题得证． 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 【变式7-4】（24-25高一下·湖南·阶段练习）对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数. (1)设，请直接写出集合； (2)设，求出非空整数集合的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值. 【答案】(1)； (2)27； (3)2或3或4. 【分析】（1）设，结合题设定义直接写出集合； （2）设有个元素，由，则，证得，再假设得到矛盾，则有，即可得； （3）先证，如，结合结论得，进而有，注意验证. 【详解】（1）若，由集合新定义知. （2）设有个元素，下证， 一方面，，则， 所以，即， 而， 这表明了满足题意，此时，故； 另一方面：若，不妨设且， 由题意可知， 而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立， 但这与有80个元素矛盾，所以. 综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是27. （3）一方面：先证， ， 因此只要，就有， 而，所以， 所以，即， 从而. 另一方面：如果， 那么， 从而，同理， 由定义得，即满足距离的三角不等式； 所以，即， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 综上所述，所有可能取值为2或3或4. 【变式7-5】（24-25高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据集合的定义，即可求解； （2）首先写出集合，再根据，推理集合中元素的对应关系，即可证明； （3）根据，，以及，再由不等式的关系得到的取值范围，即可证明. 【详解】（1）根据题意，由,则，； （2）由于集合，且， 所以中也只包含四个元素，即， 于是，剩下的， 由于 所以， 注意到，于是； （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ， 中最小的元素为，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则， 依题意有，即， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是． 【题型8 常用逻辑用语综合】 例8．已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 【答案】答案见解析 【分析】由特称命题为假求参数a的范围，即得集合A，根据所选条件判断集合A、B的包含关系，讨论、求参数m的范围. 【详解】由已知命题为假，则为真， 当，显然不成立； 当，只需； 所以， 选①：若“”是“”的必要不充分条件，则， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选②：“”是“”的充分条件，则，而， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选③：由， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以. 【变式8-1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 【变式8-2】已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【详解】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 【变式8-3】24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 【变式8-4】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 【变式8-5】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）设全集为，，. (1)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围；（若多个选择，只对第一个选择给分.） (2)命题均有，若为真命题，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）选①，根据交集的定义，分别在，条件下根据关系列不等式求的取值范围；选②由可得，分别在，条件下列不等式求的取值范围；选③由可得，结合已知列不等式求的取值范围； （2）首先根据全称命题的否定求出，由为真命题，可得，再根据（1）中①可得时的范围，求其补集即为时的范围. 【详解】（1）若选①，因为，． 当时，，即，此时满足； 当时，由可得，或， 解得，或， 综上所述：实数的取值范围为. 若选②，因为，所以， 又，， 当时，，即，此时满足； 当时，由可得，化简可得方程组无解， 综上所述，实数的取值范围为； 若选③，因为，所以， 又，， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. （2）由题意若为真命题，即使得成立，则， 根据（1）①时实数的取值范围为, 所以时，则的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设中的最大元素为， 将其余元素分组：，，，…，，共组， 一定不包含. 若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾. 所以中元素不能多于个. 所以当时，中元素个数最多，为个. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由“完美集”的定义即可判断①错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断②正确；③错误；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断④正确. 【详解】由题意， 对于①：，， 故， 所以集合是“完美集”，故①错误； 对于②：集合是“完美集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或， 即，因为为正数，若都小于等于2，则，所以至少有一个大于2，故②正确； 对于③：由B可知，一元二次方程当取不同值时， 的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故③错误； 对于④：设，则， 所以，又， 当时，，此时“完美集”不存在， 当时，，则，不合题意， 当时，，所以只能是， 由，代入解得， 所以此时“完美集”只有一个，为，故④正确. 综上，正确结论的个数有个. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：对于②③：由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，再进行判断. 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 二、多选题 6．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在括号中可以填入的符号是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对和的不同理解，即可一一判断各选项. 【详解】当把看成一个元素，看成一个集合时，，即A正确，B错误； 当把看成一个集合时，是任意一个集合的子集，则，故C正确； 当把看成集合时，其子集可理解为和，故是的真子集的，即D正确. 故选：ACD. 8．有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】A. 由得到集合A，B没有公共元素判断；B.由得到集合A的元素都是集合B中的元素判断；C.由包含判断；D.由得到集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同判断. 【详解】A. 即集合A，B没有公共元素，故正确； B. 即集合A的元素都是集合B中的元素，则，反之由元素个数不能判断，故错误； C. 包含，故错误； D. 即集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同，但个数相同，元素不一定相同，故错误， 故选：BCD 9．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 10．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验. 三、填空题 11．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 12．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据且，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，解得，， 因此的取值范围为, 故答案为：. 13．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据是真命题、是真命题求出实数的取值范围，再由若命题是假命题、是真命题可得答案. 【详解】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 15．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 四、解答题 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 17．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 18．（24-25高二下·北京朝阳·期中）设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可． 【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合； （2）若集合A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有． ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合A具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合A具有性质， 所以有，这说明集合A具有性质； 综合以上可知集合A具有性质. 19．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知非空集合满足以下两个条件：①；②若，则. (1)若中只有1个元素，求. (2)证明：. (3)若，证明：中有两个元素互为相反数. (4)试问“中有偶数元素”是“中有奇数元素”的什么条件？说明你的理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)充分不必要条件，理由见解析. 【分析】（1）根据集合满足的条件可得，求得即可； （2）根据，说明，又即可证明； （3）由，结合集合元素特点，列举集合的元素，即可证明； （4）根据（1）中所求结果，结合充分性和必要性的判定，即可判断. 【详解】（1）若中只有一个元素，根据题意可得：，解得，所以. （2）证明：因为，所以，又，所以. （3）证明：若，则，即， 所以，即， 所以，即， 因为与互为相反数，所以中有两个元素互为相反数. （4）由（1）知，若，则中只有奇数元素，没有偶数元素，所以由“中有奇数元素”推不出“A中有偶数元素”. 若中有偶数元素，不妨设为，则，且为奇数， 所以中必有奇数元素，所以由“中有偶数元素”可以推出“中有奇数元素”. 故“中有偶数元素”是“中有奇数元素”的充分不必要条件. 20．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】(1)，，，； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【详解】（1）因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 第一、二章・查漏补缺与综合拔高难点巅峰突破 （尖子生压轴题突破满分思维特训） 【题型1 判断元素与集合的关系】 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 【题型3 求集合的子集与真子集】 【题型4 集合中的基本运算】 【题型5 容斥原理的应用】 【题型6 复杂型分类讨论】 【题型7 集合新定义综合】 【题型8 常用逻辑用语综合】 【题型1 判断元素与集合的关系】 例1．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型2 根据元素与集合的关系求参数】 例2．1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【变式2-1】已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）若且，求实数的取值范围. 【变式2-2】已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 【变式2-3】（24-25高一上·重庆·期中）设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【题型3 求集合的子集与真子集】 例3．已知集合其中，，其中则与的关系为 A． B． C． D． 【变式3-1】，非空集合，是的子集，且，使得都有，则满足条件的集合对共 对. 【变式3-2】设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有 种． 【变式3-3】若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3-4】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【题型4 集合中的基本运算】 例4．（多选）已知为全集，集合满足：为的非空子集，且．对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有（    ） A． B． C． D．不包含于 【变式4-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【变式4-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 【题型5 容斥原理的应用】 例5．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式5-2】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 【变式5-3】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【变式5-4】某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 【题型6 复杂型分类讨论】 例6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【变式6-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【变式6-2】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 【题型7 集合新定义综合】 例7．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 【变式7-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【变式7-3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：当时，． 【变式7-4】（24-25高一下·湖南·阶段练习）对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数. (1)设，请直接写出集合； (2)设，求出非空整数集合的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值. 【变式7-5】（24-25高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【题型8 常用逻辑用语综合】 例8．已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 【变式8-1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【变式8-2】已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【变式8-3】24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式8-4】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【变式8-5】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）设全集为，，. (1)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围；（若多个选择，只对第一个选择给分.） (2)命题均有，若为真命题，求的范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 3．（24-25高一上·上海·期中）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 二、多选题 6．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在括号中可以填入的符号是（  ） A． B． C． D． 8．有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 9．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 10．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 12．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 13．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 15．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 四、解答题 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 18．（24-25高二下·北京朝阳·期中）设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 19．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知非空集合满足以下两个条件：①；②若，则. (1)若中只有1个元素，求. (2)证明：. (3)若，证明：中有两个元素互为相反数. (4)试问“中有偶数元素”是“中有奇数元素”的什么条件？说明你的理由. 20．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$