精品解析：吉林省吉林市实验中学2024-2025学年高三下学期模拟考试数学试题

吉林市实验中学高三毕业班学校模拟考试 数学试题 说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 已知集合，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合的补集，再求两集合的交集. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 2. 在复数范围内，下列命题是真命题的是（ ） A. 的平方根只有 B. 是1的平方根 C. 是纯虚数 D. 复数对应的点在第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】的平方根是和，所以选项错误；1的平方根是和1，所以选项错误；是纯虚数，所以选项正确；，所以选项错误． 【详解】的平方根是和，所以选项错误； 1的平方根是和1，所以选项错误； 是纯虚数，所以选项正确； ，它对应的点在虚轴上，所以选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查复数的计算化简，考查复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 若函数对任何实数都有成立，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性可得，然后计算函数的最小值可得结果. 【详解】由题可知：，所以函数的对称轴为 则，所以 所以函数的值域为 故选：C 4. 如图，已知分别是的中点，交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用三点共线求得，进而求得的值，进而得到的值. 【详解】因为分别是的中点，易知， 设， 由向量加法的平行四边形法则可得， 由于三点共线，则，解之得 从而=， 所以，则 故选：A. 5. 已知m，n，l为三条不同直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 6. 若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 28 B. 56 C. 36 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 7. 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 8. 已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为O，顶点到的距离分别为，则（ ） A. 平面 B. O到平面的距离为1 C. 平面平面 D. 正方体的棱长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理、面面相交的性质进行求解判断即可. 【详解】对于A，因为到的距离分别为1，2，显然不相等， 所以不可能与平面平行，因此选项A不正确； 对于B，的交点为，显然是的中点， 因为平面，顶点到的距离为， 所以到的距离为1，因此选项B正确； 对于C，因为到的距离分别为，到的距离为， 因此，即， 设平面，所以， 因为是正方形，所以， 又因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因此有平面，而，所以平面平面，因此选项C正确； 对于D，设正方体的棱长为， 因为平面平面，所以令平面平面， 因为平面平面，所以在平面的射影与共线， 显然，，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 因此选项D正确， 故选：BCD. 10. 已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是8 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解. 【详解】由，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 又， ， 当且仅当，即时等号成立， 即，解得，故C正确，D错误； 故选：AC． 11. 已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据选项中的函数解析式，结合，逐项运算、判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得， 又由，所以A正确； 对于B中，函数，可得， 又由，所以B不正确； 对于C中，函数，可得， 又由，所以C不正确； 对于D中，函数， 当时，，可得，所以； 当时，，可得，所以； 当时，，可得，所以， 所以D正确. 故选：AD. 【点睛】对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则数列的前4项的和为________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出数列的前4项，再利用裂项相消法求和. 【详解】数列中，由，得，而， 则， 所以 . 故答案为： 13. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】理解题意构建数学模型，利用排列组合进行解题. 【详解】由图可知，若想通过6次移动最终停在-2位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L， 则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在-2上的排法为 所有移动结果的总数为，所有落在-2上的概率为 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线距离公式求出然后根据余弦定理和列式化简，即可求解. 【详解】双曲线方程为：，双曲线的渐近线方程为：， 假设A是双曲线渐近线上的一点，双曲线的左焦点为， 右焦点为.如图示： 到渐近线的距离为：， 在中，， 又，， 在中根据余弦定理：， 又，， ，，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，，且． （1）求角； （2）求边的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解； （2）利用三角形为锐角三角形，列出不等式即可求得取值范围. 【小问1详解】 因为，， 所以， 故，由边化角得, 又，故得到， 在三角形中， 即， 用和差角公式展开得 整理得，因为，故． 又是三角形的内角，所以，解得 【小问2详解】 已知是锐角三角形， 所以即则① 根据余弦定理得，即， 解得，② 将②代入①中，整理得又，解得 16. 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 芯片甲件数 8 12 40 32 8 芯片乙件数 7 18 40 29 6 （1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在第（1）问的前提下，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． ①记为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望； ②假设各件芯片是否合格相互独立，求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率． 【答案】（1），；（2）①分布列见解析；期望为66；②． 【解析】 【分析】（1）根据概率及所给表格直接求解； （2）（i）随机变量的所有取值为90，45，30，-15，求其对应的概率即可得出分布列及期望（ii）设生产的5件芯片乙中合格品件，则次品有件，求出n，计算概率即可求解. 【详解】（1）设芯片甲为合格品为事件，芯片乙为合格品为事件， 则，． （2）（i）随机变量的所有取值为90，45，30，-15． ；； ；； 所以，随机变量的分布列为： 90 45 30 -15 的数学期望为． （ii）设生产的5件芯片乙中合格品件，则次品有件 依题意，得，解得，．所以，或． 设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件， 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）根据面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为是的中点，所以是三角形的中点，所以，且， 因为底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为侧面是正三角形，是的中点，所以， 又因为侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面， 取的中点，连接，则，所以， 以为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量，则，取， 又， 设直线CF与平面所成角为，故； 所以直线CF与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）当时， 单调递增；当时，单调递减 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于的函数，结合导数来证明即可. 【小问1详解】 ，，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 【小问2详解】 ． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 19. 对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． （1）若，求的值． （2）设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，可得，进而可得的通项公式； （2）①结合（1）可得，进而可得的通项公式；②可得，利用放缩法可得，再结合裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 由题意可设：，则， 若，则， 且，可得， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林市实验中学高三毕业班学校模拟考试 数学试题 说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 已知集合，,则（ ） A. B. C. D. 2. 在复数范围内，下列命题是真命题的是（ ） A. 的平方根只有 B. 是1的平方根 C. 是纯虚数 D. 复数对应的点在第三象限 3. 若函数对任何实数都有成立，则的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知分别是中点，交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 6. 若为一组数第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 28 B. 56 C. 36 D. 40 7. 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为O，顶点到的距离分别为，则（ ） A. 平面 B. O到平面的距离为1 C. 平面平面 D. 正方体的棱长为 10. 已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是8 C. 的最小值是 D. 的最大值是 11. 已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则数列前4项的和为________． 13. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为___________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，，且． （1）求角； （2）求边的取值范围． 16. 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 芯片甲件数 8 12 40 32 8 芯片乙件数 7 18 40 29 6 （1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在第（1）问的前提下，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． ①记为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望； ②假设各件芯片是否合格相互独立，求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 19. 对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． （1）若，求的值． （2）设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$